Це́лое число́, натуральное число либо нуль, либо число, противоположное по сложению некоторому натуральному числу (т. е. в сумме с ним дающее нуль). Иными словами, множество $\mathbb{Z}$ целых чисел – это расширение множества $\mathbb{N}$ натуральных чисел, которое получается путём добавления к $\mathbb{N}$ нуля $0$ и, для каждого натурального числа $n\in\mathbb{N}$, соответствующего противоположного числа, которое обозначается через $-n$. Таким образом, $$\mathbb{Z} = \{ \dots,-2,-1,0,1,2,\dots\} .$$На числовой прямой положительные целые (т. е. натуральные) числа расположены справа от $0$, а отрицательные целые числа (т. е. числа вида $-n$, где $n\in\mathbb{N}$) – слева.

Формальное математическое определение состоит в следующем. Рассмотрим множество $M=\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ пар $(m,n)$, где $m$ и $n$ – натуральные числа. Пары $(m,n)$ и $(m',n')$ назовём эквивалентными, $(m,n)\sim (m',n')$, если $m+n'=m'+n$. Тогда $\mathbb{Z}=M/\sim$ есть множество классов эквивалентности пар. Оно естественно представляется в виде объединения $\mathbb{Z}=\mathbb{N}\cup\{0\}\cup(-\mathbb{N})$ непересекающихся множеств, причём класс эквивалентности $[(m,n)]$ пары $(m,n)$ представляется элементом $m-n\in\mathbb{N}$, если $m>n$, элементом $0$, если $m=n$, и элементом $-(n-m)\in(-\mathbb{N})$, если $m<n$. Из этой конструкции видно, что каждое целое число можно представить в виде разности натуральных чисел.

Определённые на $\mathbb{N}$ операции сложения и умножения продолжаются на $\mathbb{Z}$ следующим образом:$$[(m,n)]+[(k,l)]=[(m+n,k+l)],\quad [(m,n)]\times[(k,l)]=[(mk+nl,ml+nk)],$$причём относительно сложения $\mathbb{Z}$ оказывается группой с нейтральным элементом $0$ (группа Гротендика полугруппы $\mathbb{N}$); обратный элемент задаётся формулой $-[(a,b)]=[(b,a)]$.

В элементарных терминах арифметические действия над целыми числами описываются следующим образом.

1. Сложение и вычитание. Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, надо сложить их модули и сумма будет иметь знак «$+$» при сложении положительных чисел и знак «$-$» при сложении отрицательных чисел. Например,$$2+5=7, \quad (-3)+(-8)=-11.$$При сложении двух чисел с разными знаками надо из большего модуля вычесть меньший и поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше. Например, $$(-7)+12=5, \quad 10+(-37)=-27.$$2. Умножение и деление. Произведение или частное целых чисел равно произведению или частному их модулей и имеет знак «$+$», если числа одного знака, и «$-$», если разного: $$3 \times 7=21,\quad(-6) \times (-10)=60,\quad 4 \times (-9)=-36,$$$$12:3=4,\quad 28:(-4)=-7,\quad (-60):(-12)=5.$$Результат деления одного целого числа на другое не всегда является целым числом, т. е. множество целых чисел $\mathbb{Z}$ не замкнуто относительно деления. На множестве $\mathbb{Z}$ определяется более общее понятие – деление с остатком. Для любых целых чисел $a$ и $b$, $b \neq 0$, существует единственный набор целых чисел $q$ и $r$, такой, что $a=bq+r$, $0 \leq r\lt |b |,$ где $a$ – делимое, $b$ – делитель, $q$ – частное, $r$ – остаток.

Основные свойства операций над целыми числами.

1. Если $a \in \mathbb{Z} , b \in \mathbb{Z}$, то $a+b \in \mathbb{Z} , a-b\in \mathbb{Z} , a \times b\in \mathbb{Z}$ (замкнутость).

2. $a+b=b+a, a \times b=b \times a$ (коммутативность).

3. $a + (b + c) = (a + b) + c, a × (b × c) = (a × b) × c$ (ассоциативность).

4. $a × (b + c) = (a × b) + (a × c)$ (дистрибутивность умножения относительно сложения).

5. $a + 0 = a, a × 1 = a$ (существование нейтрального элемента).

6. $a + (−a) = 0$ (существование противоположного элемента).