Ве́кторное простра́нство (линейное пространство), одно из фундаментальных понятий алгебры, обобщающее понятие совокупности (свободных) векторов. В векторном пространстве вместо векторов рассматриваются любые объекты, которые можно складывать и умножать на числа; при этом требуется, чтобы основные алгебраические свойства этих операций были такими же, как и для векторов в элементарной геометрии. В точном определении числа заменяются элементами любого поля $K$. Векторным пространством над полем $K$ называется множество $V$ с операцией сложения элементов из $V$ и операцией умножения элементов из $V$ на элементы из поля $K$, которые обладают следующими свойствами:

1. $x+y = y+x$ для любых $x, y$ из $V$, т. е. относительно сложения $V$ является абелевой группой.

2. $\lambda (x+y) = \lambda x+ \lambda y$ для любых $\lambda$ из $K$ и $x, y$ из $V$.

3. $(\lambda +\mu)x = \lambda x+ \mu x$ для любых $\lambda, \mu$ из $K$ и $x$ из $V$.

4. $(\lambda \mu)x = \lambda(\mu x)$ для любых $\lambda, \mu$ из $K$ и $x$ из $V$.

5. $1x = x$ для любого $x$ из $V$, здесь $1$ означает единицу поля $K$.

Примерами векторных пространств являются: множества $L^1, L^2$ и $L^3$ всех векторов из элементарной геометрии, соответственно на прямой, плоскости и в пространстве с обычными операциями сложения векторов и умножения на число; координатное векторное пространство $K^n$, элементами которого являются всевозможные строки (векторы) длины $n$ с элементами из поля $K$, а операции заданы формулами

$$\begin{aligned} (a_1, \ldots, a_n) + (b_1, \ldots, b_n) &= (a_1 +b_1, \ldots , a_n+ b_n),\\ \lambda (a_1, \ldots, a_n) &= (\lambda a_1, \ldots, \lambda a_n); \end{aligned}$$множество $F(M, K)$ всех функций, определённых на фиксированном множестве $M$ и принимающих значения в поле $K$, с обычными операциями над функциями:

$(f+g)(x) = f(x) +g(x)$, $(\lambda f)(x) = \lambda f(x)$.

Элементы векторного пространства $e_1, \ldots , e_n$ называются линейно независимыми, если из равенства $\lambda_1e_1 + \ldots + \lambda_ne_n = 0 \in V$ следует, что все $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n = 0 \in K$. В противном случае элементы $e_1, e_2, \ldots, e_n$ называются линейно зависимыми. Если в векторном пространстве $V$ любые $n+1$ элементов $e_1, \ldots, e_{n+1}$ линейно зависимы и существует $n$ линейно независимых элементов, то $V$ называется $n$-мерным векторным пространством, а $n$ – размерностью векторного пространства $V$. Если в векторном пространстве $V$ для любого натурального $n$ существует $n$ линейно независимых векторов, то $V$ называется бесконечномерным векторным пространством. Например, векторные пространства $L^1, L^2, L^3$ и $K^n$ соответственно 1-, 2-, 3- и $n$-мерны; если $M$ – бесконечное множество, то векторное пространство $F(M, K)$ бесконечномерно.

Векторные пространства $V$ и $U$ над полем $K$ называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение $\varphi : V \to U$ такое, что $\varphi (x+y) = \varphi (x) + \varphi (y)$ для любых $x, y$ из $V$ и $\varphi (\lambda x) = \lambda \varphi(x)$ для любых $\lambda$ из $K$ и $x$ из $V$. Изоморфные векторные пространства являются алгебраически неразличимыми. Классификация конечномерных векторных пространств с точностью до изоморфности даётся их размерностью: любое $n$-мерное векторное пространство над полем $K$ изоморфно координатному векторному пространству $K^n$. См. также Гильбертово пространство, Линейная алгебра.