Пло́скость, простейшая поверхность. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Некоторые характеристические свойства плоскости: 1) плоскость есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую, проходящую через любые две её точки; 2) плоскость есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек.

Плоскость – алгебраическая поверхность первого порядка: в декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением первой степени. Общее уравнение (полное) плоскости:

$$Ax +By+Cz+D=0,\tag1$$где $A, B, C, D$ – постоянные, причём $A$, $B$ и $C$ одновременно не равны нулю; в векторной форме:

$$(r,N)+D =0,$$где $r$ – радиус-вектор точки $M(x, y, z)$ плоскости, вектор $N=(A, B, C)$ перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор), $(·,·)$ означает скалярное произведение. Направляющие косинусы вектора $N$:

$$\begin{aligned}\cos \alpha&=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}, \\ \cos \beta &= \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}, \\ \cos \gamma &= \frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}. \end{aligned}$$Если один из коэффициентов в уравнении (1) равен нулю, то оно называется неполным. При $D=0$ плоскость проходит через начало координат; при $A=0$ (или $B=0$, или $C=0$) плоскость параллельна оси $Ox$ (соответственно $Oy$, или $Oz$); при $A=B=0$ (или $A=C=0$, или $B=C=0$) плоскость параллельна плоскости $Oxy$ (соответственно $Oxz$ или $Oyz$).

Уравнение плоскости в отрезках:

$$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1,$$

БРЭ. Т. 26.БРЭ. Т. 26.где $a=-\frac{D}{A}$, $b=-\frac{D}{b}$, $c=-\frac{D}{C}$ – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$ (рис.).

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0,y_0,z_0)$, перпендикулярно вектору $N=(A, B, C)$:

$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0;$$в векторной форме:

$$((r-r_0), N)=0,$$где $r_0=(x_0,y_0,z_0)$.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки $M_i(x_i,y_i,z_i)$, $i=1,2,3$, не лежащие на одной прямой:

$((r-r_1), (r_2-r_1), (r_3-r_1))=0,$

где $(·,·,·)$ означает смешанное произведение, иначе

$$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix}=0.$$Нормальное (нормированное) уравнение плоскости:

$$x\cos \alpha+y\cos \beta+z\cos \gamma - p=0;\tag 2$$в векторной форме:

$(r,N^0)-p=0,$где $N^0$ – единичный вектор, $p$ – расстояние от плоскости до начала координат. Уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) умножением на нормирующий множитель

$$μ= \pm\dfrac{1}{\sqrt{A^2 +B^2+C^2}}$$(знаки $μ$ и $D$ противоположны).

Отклонение точки $M_1(x_1,y_1,z_1)$ от плоскости:

$$δ=x_1\cos\alpha +y_1\cos\beta +z_1\cos\gamma-p;$$

$δ\gt 0$, если $M_1$ и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противном случае $δ\lt 0$. Расстояние от точки до плоскости равно $∣δ∣$.

Если две плоскости заданы уравнениями (1), то для угла $φ$ между ними справедливо равенство

$$\cos φ = \dfrac{A_1A_2 +B_1B_2 +C_1C_2}{\sqrt{(A_1^2 +B_1^2 +C_1^2)(A_2^2+ B_2^2 +C_2^2)}};$$в векторной форме:

$$\cos\phi= \dfrac{(N_1,N_2)}{|N_1||N_2|}.$$Плоскости параллельны, если

$$\dfrac{A_1}{A_2} =\dfrac{B_1}{B_2} =\dfrac{C_1}{C_2}\quad\text{или}\quad[N_1,N_2]=0,$$где $[·,·]$ означает векторное произведение. Плоскости перпендикулярны, если

$$A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2 =0\quad\text{или}\quad(N_1,N_2) =0.$$Пучком плоскостей называется множество плоскостей, проходящих через линию пересечения двух плоскостей. Если две плоскости заданы в виде (1), то уравнение любой плоскости пучка имеет вид

$$α(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+β(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0,$$где $α$ и $β$ – любые числа, не равные одновременно нулю.

Уравнение плоскости впервые встречается у А. Клеро (1731). Уравнение плоскости в отрезках, по-видимому, впервые получено Г. Ламе (1816–18), нормальное уравнение ввёл немецкий математик О. Гессе (1861).