Степенно́й ряд, функциональный ряд$$a_0+a_1z+...+a_n z^n + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n,$$где коэффициенты $a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots,$ – комплексные числа, не зависящие от комплексного переменного $z$. Областью сходимости степенного ряда является открытый круг $D=\{z:|z|<R\}$ с центром в точке $z=0$. Этот круг называется кругом сходимости степенного ряда, а его радиус $R$ – радиусом сходимости степенного ряда. В частных случаях круг сходимости может вырождаться в пустое множество (в этом случае $R=0$ и степенной ряд сходится в единственной точке $z=0$; пример даёт степенной ряд $1+1!z+ \ldots +n!z^n+ \ldots$) или совпадать со всей комплексной плоскостью (в этом случае$R=\infty$; пример даёт степенной ряд $$1+\frac{z}{1!}+\ldots+\frac{z^n}{n!}$$). Для действительных $z$ круг сходимости превращается в интервал сходимости на действительной оси. Радиус сходимости степенного ряда вычисляется через его коэффициенты по формуле Коши – Адамара $$\frac{1}{R} =\mathop{\overline{\mathrm{lim}}}\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| a_n \right|}.$$Во всех точках круга сходимости степенной ряд сходится абсолютно; в граничных точках этого круга (в точках окружности $|z|=R$) степенной ряд может как сходиться, так и расходиться, примеры дают степенной ряд $1+z+ \ldots +z^n+ \ldots,$ для которого $R=1$, этот степенной ряд расходится в каждой точке окружности $|z|=1$, и степенной ряд

$$1+\frac{z}{1^2}+\ldots+\frac{z^n}{n^2}+\ldots,$$для которого $R=1$ и который сходится во всех точках окружности $$|z|=1$$. В любой внешней точке круга сходимости (т. е. при $|z| > R$) степенной ряд расходится. Внутри круга сходимости сумма степенного ряда $$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$$является аналитической функцией; производные любого порядка функции $f(x)$ можно получить почленным дифференцированием данного ряда, при этом сам степенной ряд совпадает с рядом Тейлора своей суммы.