Функциона́льный ана́лиз, раздел математики, главной задачей которого является изучение бесконечномерных пространств и операций над их элементами. Возник в результате взаимного влияния, объединения и обобщения идей и методов различных разделов классического математического анализа, в первую очередь вариационного исчисления, теории множеств, линейной алгебры и многомерной геометрии. Функциональный анализ находит многочисленные применения как в самой математике, так и в различных областях современной физики (например, в квантовой механике, квантовой теории поля). В функциональном анализе нашли дальнейшее развитие и обобщение основные понятия классического анализа, такие как понятия функциональной зависимости и непрерывности. Методы функционального анализа позволяют устанавливать глубокие связи между различными разделами математики.

Функциональный анализ как самостоятельный раздел математики сложился на рубеже 19 и 20 вв. В процессе развития математики в 18–19 вв. обнаружилась общность ряда понятий и методов, которыми пользовались в самых различных областях алгебры и математического анализа. Так, была обнаружена глубокая аналогия между теорией экстремумов функций и вариационным исчислением, а также между свойствами систем линейных алгебраических уравнений и линейных дифференциальных уравнений. Оказалось, что свойства последовательностей функций, сходящихся в том или ином смысле (равномерно, в среднем и т. д.), во многом аналогичны свойствам сходящихся последовательностей чисел или точек пространства. Эти аналогии не случайны, они отражают общность реального физического содержания тех задач, которые привели к созданию указанных выше математических теорий и понятий. В результате выяснения этих аналогий возникли новые, весьма общие математические понятия, из которых наиболее важным является понятие пространства. Среди пространств, используемых в функциональном анализе, – банаховы пространства, векторные пространства, гильбертовы пространства, топологические пространства.

Уже для геометризации теории функций многих переменных понадобилось ввести понятие многомерного пространства. Создание многомерной геометрии позволило дать геометрическую интерпретацию ряду фактов арифметики, алгебры и математического анализа. Обобщение понятия пространства стимулировалось не только потребностями анализа и алгебры, но и развитием самой геометрии. Исследования, начавшиеся в связи с построением Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии, показали возможность построения геометрических теорий для «пространств», состоящих из произвольных элементов, удовлетворяющих той или иной системе аксиом. Базой для дальнейшего развития этих обобщённых геометрий явилась теория множеств, рассматривающая как единое целое произвольную совокупность любых элементов.

Среди пространств особенно важными для анализа оказались т. н. функциональные пространства, т. е. пространства, точками которых являются функции или числовые последовательности. Большинство функциональных пространств, встречающихся в математическом анализе (например, пространство $C[a, b]$ непрерывных на отрезке $[a, b]$ функций), равно как и большинство пространств числовых последовательностей, являются векторными пространствами. В них определены операции сложения элементов и умножения элемента на число (действительное или комплексное), обладающие обычными свойствами операций над векторами. Наиболее естественным бесконечномерным аналогом евклидова пространства является гильбертово пространство $l_2$, для элементов которого, помимо указанных выше операций, определена операция образования скалярного произведения с обычными свойствами, что позволяет вводить понятие ортогональности. Изучение конкретных примеров векторных пространств привело к выделению класса т. н. банаховых пространств. Для каждого элемента $x$ такого пространства определена норма $\|x\|$ – действительное число, обладающее свойствами длины вектора. Наличие нормы позволяет определить понятие расстояния между элементами $x, y$ как числа $\|x-y\|$, понятия шара, окрестности элемента, предельной точки множества, сходимости последовательности элементов и ряд других, обобщающих соответствующие понятия классического анализа. Понятия сходимости, предельной точки и т. д. могут иметь различный конкретный смысл в зависимости от природы элементов пространства и от определения нормы. Благодаря этому одна и та же теорема о банаховых пространствах может иметь ряд конкретных истолкований в различных конкретных случаях, что придаёт этим теоремам большую общность.

Одновременно с развитием и обобщением понятия пространства шло развитие и обобщение понятия функции. Так, в вариационном исчислении рассматриваются переменные величины, зависящие не от числового аргумента, а от некоторой линии (функции), например длина дуги кривой, соединяющей данные точки, площадь, ограниченная замкнутой кривой, и т. д. Подобные величины получили название функционалов. Можно сказать, что функционал – это числовая функция, определённая на некотором функциональном пространстве. В дальнейшем под функционалом стали понимать числовую функцию, определённую на произвольном (чаще всего векторном) пространстве. На функционалы были перенесены такие основные понятия и операции классического анализа, как непрерывность и предельный переход. В результате этого вариационное исчисление, послужившее в своё время одним из важных источников и стимулов возникновения функционального анализа, превратилось в значительной мере в одну из глав последнего (теория экстремумов функционалов). Понятие функционала играет первостепенную роль в функциональном анализе, отсюда и возник сам термин «функциональный анализ» (т. е. исчисление функционалов). Однако содержание функционального анализа уже давно вышло за рамки изучения одних только функционалов.

Понятие функционального пространства позволило связать дифференциальные, интегральные, разностные и другие уравнения с рассмотрением преобразований пространств. Выяснение общих свойств уравнений различного вида привело к созданию общей теории операторов. Ныне при изучении операторов находят широкое применение методы теории функций комплексного переменного, абстрактной алгебры и других математических дисциплин. Изучаются пространства, элементами которых являются операторы, определяются понятия сходимости последовательности операторов, алгебраические действия над ними и т. д.

Решающее влияние на развитие функционального анализа оказали такие физические теории, как квантовая механика, квантовая теория поля и др. Фактически многие понятия функционального анализа широко использовались физиками задолго до того, как этим понятиям было дано строгое математическое обоснование. В свою очередь, идеи функционального анализа влияют на развитие физических теорий.