Нера́венства (в математике), отношения, связывающие два числа $a$ и $b$ посредством одного из знаков: $<$ (меньше), $\leq$ (меньше или равно), $>$ (больше), $\geq$ (больше или равно), $≠$ (не равно), т. е.

$a < b,\; a ⩽ b,\; a > b,\; a ⩾ b,\; a ≠ b.$Иногда несколько неравенств записывают вместе, например $a < b < c$.

Неравенства обладают многими свойствами, общими с равенствами. Так, неравенство остаётся справедливым, если к его обеим частям добавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число. Точно так же можно умножить обе части неравенства на одно и то же положительное число. Однако если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то смысл неравенства (кроме неравенства $≠$) изменится на противоположный (знак $<$ заменяется на $>$, а знак $>$ – на $<$). Члены неравенства можно переносить из одной части в другую с изменением знака, например неравенство $a+b < c$ эквивалентно неравенству $a < c - b$. Из неравенства $a < b$ и $c < d$ следует $a+c < b+d$ и $a-d < b-c$, т. е. одноимённые неравенства ($a < b$ и $c < d$) можно почленно складывать, а разноимённые неравенства ($a < b$ и $d > c$) – почленно вычитать. Если числа $a, b, c$ и $d$ положительны, то из неравенств $a < b$ и $c < d$ следует также $ac < bd$ и ${a}/{d} <{b}/{c}$, т. е. одноимённые неравенства (между положительными числами) можно почленно перемножать, а разноимённые – почленно делить.

Неравенства, в которые входят величины, принимающие различные числовые значения, могут быть верны для одних значений этих величин и неверны для других. Так, неравенство $x^2-4x+3 > 0$ верно при $x=4$ и неверно при $x=2$. Для неравенств этого типа возникает вопрос об их решении, т. е. об определении границ, в которых следует брать входящие в неравенства величины для того, чтобы неравенства были справедливы. Так, переписывая неравенство $x^2-4x+3 > 0$ в виде $(x-1)(x-3) > 0$, можно заметить, что оно будет верно для всех $x$, для которых либо $x < 1$, либо $x > 3$; эти неравенства и являются решением исходного неравенства.

Ниже приводятся одни из самых известных неравенств.

Неравенство для модулей. Для любых действительных или комплексных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ справедливо неравенство

$|a_1+a_2+...+a_n| ⩽ |a_1|+|a_2|+\ldots+|a_n|.$Неравенства для средних. Наиболее известны неравенства, связывающие гармоническое, геометрическое, арифметическое и квадратичное средние:

$\begin{aligned}\frac{n}{a_1^{-1} +a_2^{-1}+\dots +a_n^{-1}} &\leq \sqrt[n]{a_1a_2\dots a_n} \leq \frac{a_1+a_2 +\dots + a_n}{n}\\ &\leq \sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\dots + a_n^2}{n}};\end{aligned}$здесь все числа $a_1, a_2, \ldots, a_n$ положительны.

Неравенства для сумм и их интегральные аналоги. Таковы, например, неравенство Буняковского, неравенство Гёльдера, неравенство Коши, неравенство Минковского.

Неравенства для некоторых классов последовательностей и функций. Примером может служить неравенство Чебышёва для монотонных числовых последовательностей и функций.

В линейном программировании ограничения на неизвестные $x_1, x_2, \ldots, x_n$ часто задаются в виде системы неравенств

$a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+\ldots+a_{in}x_n ⩽ b_i,\quad i=1, 2, ..., m.$

Неравенства имеют существенное значение для всех разделов математики. В теории чисел целый раздел этой дисциплины – диофантовы приближения – полностью основан на неравенствах, аналитическая теория чисел тоже часто оперирует с неравенствами. В геометрии неравенства постоянно встречаются в теории выпуклых тел и в изопериметрической задаче (см. Изопериметрическое неравенство). В теории вероятностей многие утверждения формулируются с помощью неравенств (например, неравенство Чебышёва для вероятности отклонения случайной величины от её математического ожидания). В функциональном анализе определение нормы в линейном пространстве включает условие $\left \|x+y\right \| \leq \left \|x\right \|+\left \|y\right \|$, которое иногда называют аксиомой треугольника. В вычислительной математике неравенства применяются для оценки погрешности приближённого решения задачи.