Компле́ксное число́, число вида $x+iy$, где $x$ и $y$ – действительные числа, а $i$ – т. н. мнимая единица (величина, квадрат которой равен −1); $x$ называется действительной частью, а $y$ – мнимой частью числа $z=x+iy$ (обычно действительную часть числа $z$ обозначают $\text{Re} z$, а мнимую – $\text{Im}z$). При $y=0$ комплексное число $z$ считают совпадающим с действительным числом $x$. При $x=0, y≠0$ число $z$ называется чисто мнимым. Комплексные числа $x+iy$ и $x-iy$ называются комплексно сопряжёнными. Арифметические действия над комплексными числами производятся по правилам действий над многочленами с использованием равенства $i^2=–1$. Свойства действий над комплексными числами такие же, как и над действительными числами, но для комплексных чисел понятия «больше» и «меньше» не имеют смысла.

Любое уравнение $x^n+a_1x^{n-1}+ ...+a_n=0$, где $a_1,...,a_n$ – комплексные числа, имеет в множестве комплексных чисел $n$ корней (с учётом их кратности).

Геометрически комплексное число $z=x+iy$ изображается точкой ($x,y$) в комплексной плоскости. Если полярные координаты точки ($x,y$) обозначить $r$ и $\varphi$, т. е. $r=\sqrt {x^2+y^2}$ – модуль числа $z$ (его обозначают $\big |z\big|$), а $\varphi$ – его аргумент, то $z=x+iy$ можно представить в тригонометрической форме  ($z=r (\cos\ φ+i \sin \ φ)$. Тригонометрическая форма удобна для умножения комплексных чисел и извлечения корней, поскольку

 $$r(\cos\varphi+i \sin \varphi)\cdot \rho(\cos\psi+i \sin \psi)=r\rho(\cos(\varphi+\psi)+i \sin (\varphi+\psi)),$$
$$\sqrt[n]{r(\cos \varphi)+i \sin \varphi})=\sqrt[n]r \bigg(\cos\bigg(\frac{\varphi}{n}+ \frac{2\pi k}{n}\bigg)+i \sin \bigg(\frac {\varphi}{n}+\frac{2 \pi k}{n}\bigg)\bigg), \\k=0,1,..., n-1.$$Уже в древности в некоторых задачах сталкивались с квадратными корнями из отрицательных чисел, такие задачи считались неразрешимыми. Первые обоснования простейших действий с комплексными числами появились в 16 в., но долгое время к ним относились с настороженностью. Задача об извлечении корня степени $n$ из данного числа была в основном решена в работах А. де Муавра (1707, 1724) и английского математика Р. Котеса (1722). Термин «комплексное число» ввёл (1803) Л. Карно, но в употребление термин вошёл после работ К. Гаусса (1831). Широкое распространение комплексные числа получили к концу 18 в., значительную роль сыграло истолкование их как точек комплексной плоскости. Использование комплексных чисел придало законченный вид многим разделам математического анализа. Комплексные числа широко применяются в физике и технике (в гидродинамике, аэродинамике, электротехнике, атомной физике и пр.). В технической литературе мнимую единицу часто обозначают $j$.