Ряд Те́йлора, степенной ряд $$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k,\tag{1}$$ где числовая функция $f$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$ и имеет в этой точке производные $f^{(k)}$ всех порядков. При определённых условиях ряд (1) сходится к $f(x)$ в некоторой окрестности точки $x_0$. Частичные суммы ряда (1) называются многочленами Тейлора. При $x_0=0$ разложение функции в ряду Тейлора принимает вид

$$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$$(этот ряд иногда называют рядом Маклорена), в частности, $$e^x=1+\frac{x}{1!}+\ldots+\frac{x^k}{k!}+\ldots,\tag{2}$$$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\ldots+(-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}+\ldots,\tag{3}$$$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\ldots+(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+\ldots,\tag{4}$$$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\ldots+(-1)^{k-1}\frac{x^k}{k}+\ldots\,.\tag{5}$$Ряды в правых частях (2)–(4) сходятся к функциям в их левых частях при любых значениях $x$, ряд в правой части (5) – при $-1 < x ⩽ 1$.

Если $x_0$ – комплексное число, функция $f$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$ в множестве комплексных чисел и дифференцируема в точке $x_0$, то существует окрестность этой точки, где функция $f$ является суммой своего ряда Тейлора (1). Если же $x_0$ – действительное число, функция $f$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$ в множестве действительных чисел и имеет в точке $x_0$ производные всех порядков, то функция $f$ может ни в какой окрестности $x_0$ не быть суммой своего ряда Тейлора. Например, функция $$f(x)=\begin{cases}e^{-1/x^2}&\text{при }x\neq0\\0&\text{при } x=0\end{cases}\tag{6}$$бесконечно дифференцируема на всей действительной оси, не равна тождественно нулю ни в какой окрестности нуля, а все коэффициенты её ряда Тейлора в нуле равны нулю.

Если функция раскладывается в некоторой окрестности данной точки в степенной ряд, то такой ряд единствен и является её рядом Тейлора в этой точке. Однако один и тот же степенной ряд может являться рядом Тейлора для разных действительных функций. Так, степенной ряд, у которого все коэффициенты равны нулю, является рядом Тейлора как для функции, тождественно равной нулю на всей действительной оси, так и рядом Тейлора для функции (6) в точке $x_0= 0$.

Достаточным условием сходимости ряда Тейлора (1) к действительной функции $f$ на интервале $(x_0-h, x_0+h)$ является ограниченность в совокупности всех её производных на этом интервале.

Ряд (1) опубликовал Б. Тейлор (1715), ряд, сводящийся к (1) простым преобразованием, – И. Бернулли (1694).