Геометрические объекты

Треугольник

Треуго́льник, с тремя сторонами и тремя вершинами; фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной , и тремя соединяющими их . Эти точки A,B,CA, B, C называют вершинами треугольника, а отрезки AB,BC,CAAB, BC, CA, соединяющие эти точки, – сторонами треугольника (рис. 1).

Треугольник. Вершины и стороны треугольникаРис. 1.

Длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон. Сумма длин сторон треугольника называется его периметром. Иногда по каким-либо. соображениям выделяется одна из сторон, которая называется основанием треугольника; тогда две другие называются боковыми сторонами треугольника. В зависимости от соотношения длин сторон выделяются равносторонние (или правильные) треугольники (все стороны равны) и равнобедренные треугольники (две боковые стороны равны).

Три , каждый из которых образован двумя , исходящими из вершины треугольника и проходящими через две другие вершины, называются внутренними углами треугольника. Сумма величин внутренних углов треугольника равна 180°. Различают треугольники остроугольные (все углы острые), тупоугольные (один угол тупой) и прямоугольные (один угол прямой). В прямоугольном треугольнике две стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами, а третья – гипотенузой.

Треугольник разбивает на две области – выпуклую – внутреннюю часть треугольника, и невыпуклую – внешнюю часть треугольника. Иногда при определении треугольника к нему относят и его внутреннюю часть.

Равными (конгруэнтными) называются треугольники, стороны и углы которых соответственно равны. В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы. Два треугольника равны, если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника; или если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны сторонам и углу между ними другого треугольника; или если сторона и прилегающие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилегающим к ней углам другого треугольника.

Два треугольника называются подобными, если отношения длин соответствующих сторон равны и углы, заключённые между пропорциональными сторонами, также равны. Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника (с одним и тем же коэффициентом пропорциональности); или если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны; или если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.

Отрезок , опущенного из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону, от вершины до этой прямой, называется высотой треугольника (длину этого перпендикуляра также называют высотой треугольника). Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Отрезок прямой, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется треугольника. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, называемой центроидом треугольника. Центроид делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины. Отрезок внутреннего угла треугольника от вершины до противоположной стороны называется биссектрисой треугольника. Три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром , вписанной в треугольник (см. ниже). Биссектриса внутреннего угла делит противоположную углу сторону на отрезки, пропорциональные другим сторонам. Прямая, перпендикулярная стороне треугольника и проходящая через её середину, называется серединным перпендикуляром треугольника. Три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, являющейся центром описанной окружности (см. ниже). На рис. 1 показаны отрезки: AOAO – биссектриса угла при вершине AA, AMAM – медиана, AHAH – высота, MLML – серединный перпендикуляр.

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией. Окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника, называется вписанной окружностью. На рис. 2 показана окружность kk, вписанная в треугольник ABCABC, её радиус равен OD=OE=OFOD=OE=OF.

Треугольник. Вписанная окружностьРис. 2.

Окружность, проходящая через все вершины треугольника, называется описанной окружностью. На рис. 3 показана окружность KK, которая описана около треугольника ABCABC, её радиус равен OA=OB=OCOA=OB=OC.

Треугольник. Описанная окружностьРис. 3.

Некоторые основные связи между элементами треугольника состоят в следующем. Пусть a,b,ca, b, c – стороны треугольника (а также их длины), A,B,CA, B, C – противолежащие им углы. Для каждого треугольника справедливы , и :

asinA=bsinb=csinC=2R,\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin b}=\frac{c}{\sin C}=2R,где RR – радиус описанной окружности.

Величина площади

S=aha2=absinC2==2R2sinAsinBsinC==abc4R=pr=p(pa)(pb)(pc),S=\frac{ah_a}{2}=\frac{ab\sin C}{2}=\\=2R^2\sin A\sin B\sin C=\\=\frac{abc}{4R}=pr=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},

где hah_a – высота, опущенная на сторону aa (или её продолжение), p=(a+b+c)/2p=(a+b+c)/2 – полупериметр, rr – радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности

r=(pa)(pb)(pc)p==(pa)tanA2=4RsinA2sinB2sinC2=S2.r=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}=\\=(p-a)\tan\frac{A}{2}=4R\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}=\frac{S}{2}.Решение состоит в нахождении неизвестных сторон и углов треугольника по его известным сторонам и углам.

Редакция математических наук
  • Геометрия треугольника
  • Планиметрия