Фу́нкция (от лат. functio – исполнение, осуществление), одно из основных понятий математики, означающее зависимость одних переменных величин от других. Слово «величина» в этом определении понимается в самом широком смысле: это может быть именованное число, отвлечённое число (действительное или комплексное), несколько чисел (т. е. точка пространства) и вообще элемент любого множества.

Действительная функция одного действительного переменного

В простейшем случае, когда величина – действительное число, понятие «функция» определяется следующим образом. Пусть каждому числу $x$ из заданного множества $E$ поставлено в соответствие число $y$, обозначаемое $y=f(x)$ (читается «игрек равен эф от икс»). Тогда говорят, что на множестве $E$ задана функция $y=f(x)$, $x∈E$. При этом употребляются следующие термины: $x$ – независимое переменное, или аргумент; $y$ – зависимое переменное, или функция; $E$ – множество значений, которые может принимать $x$, – область определения, или область задания функции (областью определения функции может быть множество всех действительных чисел, интервал, отрезок и т. п.). Слова «поставлено в соответствие» означают, что указан определённый способ, по которому для каждого $x∈E$ находится значение $y=f(x)$. Этот способ в данном случае обозначен символом $f$. Для обозначения функции применяются и другие буквы, например $y=g(x)$, $y=F(x)$, $s=h(t)$, $v=φ(s)$.

Во всех случаях, когда употребляется термин «функция», подразумевается, если не оговорено противное, однозначная функция, т. е. такое соответствие, при котором каждому значению аргумента $x$ соответствует только одно значение функции $y$. Если одному и тому же значению аргумента соответствует несколько (быть может, даже бесконечное множество) значений $y$, то $y=f(x)$ называется многозначной функцией аргумента $x$.

Способы задания функции

Аналитический способ задания функции

Наиболее распространён аналитический способ задания функции, при котором функция задаётся формулой, устанавливающей, какие вычислительные операции надо произвести над $x$, чтобы найти $y$. Например, $y=2x+1$, $y=3x^2$, $y=\sqrt{x^2-1}$, $y=x/(x+1)$, $y=\cos x$. При этом считается, что областью определения функции является множество всех тех значений $x$, при которых выполнимы все операции, указанные в формуле. Например, областью определения функции $y=3x^2$ является множество всех действительных чисел, областью определения функции $y=\ln(x-1)$ – полупрямая $x > 1$, областью определения функции $y=\sqrt{1-x^2}$ – отрезок $–1 ⩽ x ⩽ 1$. Функция может быть задана разными формулами на разных частях области определения. Например, функция $y=\cos x$, $–π ⩽ x ⩽ 0$, $y=1$, $0 < x < 1$, $y=1/x$, $1 ⩽ x ⩽ 2$, задана на отрезке $–π ⩽ x ⩽2$ тремя разными формулами.

Часто используется задание функции с помощью предельного перехода, в частности в виде сходящегося ряда – бесконечной суммы или сходящегося бесконечного произведения. Например, $$e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!},\\ \sin\,x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},\\ \sin\,x=x\prod_{n=1}^{\infty} \left( 1-\frac{x^2}{\pi^2n^2}\right).$$При аналитическом способе задания функция может быть задана явно, когда дано выражение $y$ через $x$, т. е. формула имеет вид $y=f(x)$; неявно, когда $x$ и $y$ связаны между собой уравнением $F(x,y)=0$; а также параметрически, когда соответствующие друг другу значения $x$ и $y$ выражены через третью переменную величину $t$, называемую параметром. Так, функция $y=\sqrt{1-x^2}$, $–1 ⩽ x ⩽ 1$ и имеется в виду арифметический корень, может быть задана неявно в виде $x^2+y^2-1=0$ – или параметрически в виде $x=\cos t$, $y=\sin t$ , $0 ⩽ t ⩽ π$.

Иногда функция задаётся с помощью словесной формулировки; например, функция Дирихле равна 1, если $x$ – число рациональное, и равна 0, если $x$ – число иррациональное. Эту же функцию можно записать в виде

$$\lim_{n→∞} \lim_{m→∞}(\cos πxn!)^{2m}.$$

Графический способ задания функции

Распространён графический способ задания функции. Графиком функции $y=f(x)$, $y∈E$, называется множество точек плоскости с прямоугольными координатами $(x,y)$, где $x∈E$, $y=f(x)$. Графический способ задания функции широко применяется на практике. Так, многие процессы изменения одной величины в зависимости от другой исследуются с помощью кривых, записанных с помощью самопишущих приборов. Хотя график функции и не даёт возможности точного определения численных значений $x$ и $y$, он наглядно отражает качественное поведение функции (непрерывность, монотонность, максимумы и минимумы, точки перегиба и т. д.) и поэтому является важным средством исследования функции.

Табличный способ задания функции

При табличном способе задания функция задаётся в виде таблицы, в которой для каждого значения аргумента указывается соответствующее ему значение функции. Такой способ задания функции часто применяется в тех случаях, когда область определения состоит из конечного числа значений.

Действительная функция нескольких действительных переменных

Функция от двух переменных определяется следующим образом. Рассматривается множество $E$ упорядоченных пар чисел $(x,y)$. Если каждой паре $(x,y)∈E$ поставлено в соответствие действительное число $z$, то говорят, что на множестве $E$ определена функция $z=f(x,y)$ от двух переменных $x$ и $y$. Т. к. каждой паре чисел $(x,y)$ соответствует на плоскости точка с координатами $(x,y)$, то функция $f(x,y)$ задана на множестве $E$ точек плоскости. График функции $z=f(x,y)$ можно изобразить в трёхмерном пространстве, где задана прямоугольная система координат $(x,y,z)$, в виде множества точек $(x,y,f(x,y))$, проекции которых на плоскость $(x,y)$ принадлежат множеству $E$. Например, график функции $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$, $x^2+y^2 ⩽ 1$ и имеется в виду арифметический корень, изображается верхней половиной шаровой поверхности радиуса 1 с центром в начале координат.

Аналогично можно рассматривать множество $E$, состоящее из упорядоченных систем $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ из $n$ чисел, и функцию $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ от $n$ переменных, определённую на множестве $E$.

Общее понятие функции

Пусть заданы множества $E$ и $E_1$ элементов любой природы и пусть каждому элементу $x∈E$ поставлен в соответствие элемент $y∈E_1$, обозначаемый $y=f(x)$. Тогда говорят, что задана функция $y=f(x)$, $x∈E$, что часто записывается как $f:E→E_1$.

Принята следующая терминология: $x$ – независимое переменное, или аргумент; $E$ – область определения функции, каждый элемент $x∈E$ – значение аргумента; $y$ – зависимое переменное, или функция, от аргумента $x$; $E_1$ – область значений функции, каждый элемент $y∈E_1$ такой, что $y=f(x)$ для некоторого значения $x∈E$, называется значением функции.

Множество $E'$ значений функции $y=f(x)$, $x∈E$, обозначается иногда символом $f(E)$, т. е. $E'=f(E)$. Множество значений функции $E'$ является подмножеством области значений функции: $E'⊂E_1$, в частности, оно может совпадать с $E_1$. Например, для действительных функций от одного действительного переменного областью значений является множество всех действительных чисел, а множеством значений может быть любое множество действительных чисел. Так, для функции $y=3x$ множеством значений является множество всех действительных чисел; множеством значений функции $y=x^2$ является полупрямая $y⩾0$; множеством значений функции $y=\text{arctg}\,x$ – интервал $–π/2 < y < π/2$.

Функция $y=f(x)$, $x∈E$, задаёт отображение множества $E$ на множество её значений $E'=f(E)$. Если $x∈E$ – фиксированное значение аргумента и $y=f(x)$, то $y$ называется образом элемента $x$, а $x$ – прообразом элемента $y$. Множество $E'$ называется образом множества $E$. Например, функция $y=3x$ отображает множество точек оси абсцисс на множество точек оси ординат; функция $y=\ln x$ отображает полупрямую $x > 0$ на всю ось ординат; функция $y=\sqrt{1-x^2}$ отображает отрезок $–1 ⩽ x ⩽ 1$ на отрезок $0 ⩽ y ⩽ 1$.

Для функций $f(x)$ и $g(x)$ естественным образом определяются арифметические операции: это функции, принимающие (в тех случаях, когда это имеет смысл) значения $f(x)±g(x)$, $f(x)g(x)$, $f(x)/g(x)$.

Термин «функция» чаще всего используется только для обозначения числовой функции от одного или нескольких переменных (действительных или комплексных). В других случаях, как правило, используются специальные термины: оператор, отображение, преобразование, функционал.

См. также Монотонная функция, Непрерывная функция, Периодическая функция, Специальные функции, Чётные и нечётные функции, Элементарные функции.

Исторический очерк

Как и остальные понятия математики, понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. По существу речь о функциональной зависимости и её графическом изображении идёт в работе П. Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест» (1636, опубликовано в 1679). Изучение линий по их уравнениям в «Геометрии» Р. Декарта (1637) также указывает на ясное представление о взаимной зависимости двух переменных величин. У английского математика И. Барроу («Лекции по геометрии», 1670) в геометрической форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования (разумеется, без употребления самих этих терминов). Это свидетельствует о совершенно отчётливом владении понятием функции. В геометрическом и механическом виде это понятие можно найти и у И. Ньютона. Однако термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 г. у Г. В. Лейбница, и притом не совсем в современном его понимании. Лейбниц называет функциями различные отрезки, связанные с какой-либо кривой, например абсциссы её точек. В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых» французского математика Г. Лопиталя (1696) термин «функция» не употребляется.

Первое определение функции в смысле, близком к современному, встречается у И. Бернулли (1718): «Функция – это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания функции аналитической формулой. Та же идея выступает и в определении Л. Эйлера, данном им во «Введении в анализ бесконечных» (1748): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». На протяжении 18 в. отсутствовало достаточно ясное понимание различия между функцией и её аналитическим выражением. С начала 19 в. уже всё чаще и чаще определяют понятие функции без упоминания о её аналитическом выражении. Такие определения встречаются в работах Ж. Фурье (1822), П. Дирихле (1829, 1837), Н. И. Лобачевского (1834). Так сложилось современное понятие функции, свободное от упоминания о её аналитическом задании.