Алгебраи́ческое число́, комплексное (в частности, действительное) число, являющееся корнем многочлена
$$\tag{1} f(x)=a_n x^n+\ldots+a_1 x+a_0$$с рациональными коэффициентами, из которых не все равны нулю. Если $\alpha$ – алгебраическое число, то среди всех многочленов с рациональными коэффициентами, имеющих $\alpha$ своим корнем, существует единственный многочлен $\varphi(x)$ наименьшей степени со старшим коэффициентом, равным $1$, и, следовательно, неприводимый. Он называется каноническим, или минимальным, многочленом алгебраического числа $\alpha$. Степень $n$ канонического многочлена $\varphi(x)$ называется степенью алгебраического числа $\alpha$. Существование неприводимых многочленов любой степени $n$ обусловливает существование алгебраического числа степени $n$. Все рациональные числа, и только они, являются алгебраическими числами 1-й степени. Число $i$ есть алгебраическое число 2-й степени как корень многочлена $x^2+1$, a $\sqrt[n]{2}$ при любом натуральном $n$ есть алгебраическое число степени $n$ как корень неприводимого многочлена $x^n-2$.

Корни $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ канонического многочлена называются числами, сопряжёнными с алгебраическим числом $\alpha$, и тоже являются алгебраическими числами степени $n$. Все числа, сопряжённые с $\alpha$, различны. Важной характеристикой алгебраического числа, кроме степени, является его высота (аналог знаменателя рациональной дроби). Высотой алгебраического числа $\alpha$ называется наибольшая из абсолютных величин коэффициентов в неприводимом и примитивном многочлене с целыми рациональными коэффициентами, имеющем $\alpha$ своим корнем. Сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел (кроме деления на нуль) суть алгебраического числа, т. е. множество всех алгебраических чисел образует поле. Корень многочлена с алгебраическими коэффициентами есть алгебраическое число.

Алгебраическое число называется целым, если все коэффициенты в его каноническом многочлене – целые рациональные числа. Например, $i$ и $1+\sqrt{2}$ – целые алгебраические числа как корни многочленов $x^2+1$ и $x^2-2 x-1$.

Понятие целого алгебраического числа является обобщением понятия целого рационального числа (целое рациональное число $m$ есть целое алгебраическое число как корень многочлена $x-m$). Многие свойства целых рациональных чисел сохраняются и для целых алгебраических чисел. Так, целые алгебраические числа образуют кольцо. Однако действительные целые алгебраические числа образуют всюду плотное множество, в то время как целые рациональные – дискретное множество. Г. Кантор доказал (1872), что множество всех алгебраических чисел счётно, откуда следовало существование трансцендентных чисел.

Корень любого (не обязательно неприводимого) многочлена с целыми рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице, является целым алгебраическим числом. Более того, корень многочлена с целыми алгебраическими коэффициентами и старшим коэффициентом $1$ есть целое алгебраическое число. В частности, корень любой степени $k$ из целого алгебраического числа есть целое алгебраическое число. Для всякого алгебраического числа $\alpha$ существует такое натуральное $r$, что $r \alpha$ – целое алгебраическое число (аналогия с рациональными числами). В качестве наименьшего возможного числа $r$ можно взять модуль старшего коэффициента в неприводимом и примитивном многочлене с целыми рациональными коэффициентами, имеющем $\alpha$ своим корнем. Все сопряжённые целого алгебраического числа – тоже целые алгебраические числа.

Говорят, что целое алгебраическое число $\beta$ делится на целое алгебраическое число $\alpha(\alpha \neq 0)$, если существует целое алгебраическое число $\gamma$, для которого $\beta=\gamma \alpha$. Для целых алгебраических чисел справедливы многие свойства делимости, которые имеют место для целых рациональных чисел.

Целое алгебраическое число $\varepsilon$ называется алгебраической единицей (коротко – единицей), если оно делит число $1$ , т. е. если $1 / \varepsilon$ – целое алгебраическое число. Единица делит любое целое алгебраическое число. Число, обратное единице, есть единица; числа, сопряжённые с единицей, суть единицы; каждый делитель единицы есть единица; произведение конечного числа единиц есть единица. Целое алгебраическое число будет единицей тогда и только тогда, когда произведение всех его сопряжённых равно $\pm 1$. Корни $k$-й степени из числа $1$ являются единицами, причём каждая из них по модулю равна $1$. Существует бесконечное множество других единиц, не равных по модулю $1$. Например, числа $2-\sqrt{3}$ и $2+\sqrt{3}$ являются единицами как корни многочлена $x^2-4 x+1$. Но среди их степеней найдутся единицы, сколь угодно малые и сколь угодно большие по величине. В поле рациональных чисел имеются лишь две единицы $+1$ и $-1$.

Два целых алгебраических числа называются ассоциированными, если они отличаются множителем, являющимся единицей. Имеется ещё одно важное отличие кольца целых алгебраических чисел от кольца целых рациональных чисел. В первом нельзя ввести понятие неразложимого целого числа (аналог простого числа). Это видно хотя бы из того, что корень из любого целого алгебраического числа есть целое алгебраическое число. Понятие неразложимого числа (с точностью до класса ассоциированных чисел) можно ввести в некоторых подполях поля всех алгебраических чисел, т. н. алгебраических полях. Но оказывается, что в таких полях разложение целого алгебраического числа на неразложимые сомножители не всегда однозначно.

Алгебраические числа не допускают слишком хорошее приближение рациональными и алгебраическими числами (теорема Лиувилля). Этот факт впервые позволил в 1844 г. доказать существование трансцендентных чисел. Проблема приближения алгебраических чисел рациональными является одной из труднейших в теории чисел; в её решении получены очень важные результаты (теоремы Туэ, Туэ – Зигеля, Туэ – Зигеля – Рота), но она ещё далека от окончательного завершения. Другой труднейшей проблемой теории чисел является вопрос о разложении алгебраических чисел в цепные дроби. Действительные алгебраические числа 2-й степени (квадратичные иррациональности) представляются в виде бесконечных периодических цепных дробей. О характере разложения действительных алгебраических чисел степеней выше 3-й в обыкновенные цепные дроби до сих пор ничего не известно.

Комплексное число называется алгебраическим числом над полем $P$, если оно является корнем многочлена $(1)$ с коэффициентами из $P$. Для алгебраических чисел над полем $P$ аналогично определяются канонический многочлен, степень над полем $P$, сопряжённые числа над полем $P$. Корень многочлена, коэффициенты которого алгебраические числа над $P$, есть алгебраическое число над $P$.

Не над любым полем $P$ могут существовать алгебраические числа любой степени $n$. Например, над полем комплексных чисел существуют только алгебраические числа 1-й степени – сами числа этого поля. Одно и то же алгебраическое число может относительно различных полей иметь разные степени. Так, число $i$ является алгебраическим числом 2-й степени, но имеет 1-ю степень относительно поля комплексных чисел. Множество всех алгебраических чисел над полем $P$ образует числовое поле.

Впервые алгебраическое число и алгебраическое поле систематически стал рассматривать К. Ф. Гаусс (гауссовы числа вида $a+b i$, где $a$ и $b$ – рациональные числа). Для обоснования теории биквадратичных вычетов он развил арифметику целых гауссовых чисел. Изучая теорию кубических вычетов, К. Якоби и Ф. Эйзенштейн создали арифметику чисел вида $a+b \rho$, где $\rho=-(1+\sqrt{-3}) / 2$ – кубический корень из числа $1$, а $a$ и $b$ – рациональные числа. Попытки доказать теорему Ферма привели Э. Э. Куммера к глубокому изучению полей деления круга (см. Круговое поле), введению понятия идеала и созданию элементов теории алгебраических чисел. В работах П. Дирихле, Л. Кронекера, Д. Гильберта и др. теория алгебраических чисел получила своё дальнейшее развитие. Большой вклад в неё внесли русские математики E. И. Золотарёв (теория идеалов), Г. Ф. Вороной (кубические иррациональности, единицы кубических полей), А. А. Марков (кубическое поле), Ю. В. Сохоцкий (теория идеалов) и др.

Понятие алгебраических чисел и связанное с ним понятие алгебраического поля – важнейшие понятия теории чисел и алгебры. Алгебраические числа, являясь обобщением рациональных чисел, выделяют в полях действительных и комплексных чисел подполя алгебраических чисел, обладающих специальными алгебраическими свойствами. Развитие теории алгебраических чисел оказало большое влияние на создание и развитие общей теории колец и полей.

Алгебраическое число находит большое применение в различных разделах теории чисел, алгебры и других разделах математики: теории форм, диофантовых уравнениях, диофантовых приближениях, трансцендентных числах, геометрии чисел, алгебраической геометрии, теории Галуа и др.