Уравне́ния математи́ческой фи́зики, дифференциальные уравнения с частными производными, а также некоторые родственные уравнения иных типов (интегральные, интегродифференциальные и т. д.), к которым приводит математический анализ физических явлений. Для полного описания динамики физического процесса, помимо уравнений, необходимо задать состояние процесса в некоторый фиксированный момент времени (начальные условия) и режим на границе среды, где протекает этот процесс (граничные условия). Начальные и граничные условия образуют краевые условия, а дифференциальные уравнения вместе с соответствующими краевыми условиями приводят к краевым задачам математической физики.

В 19 в. в математической физике изучались: уравнение Пуассона

$$Δ u=f, \:u=u(x), \:f=f(x), \:x=(x_1,x_2,...,x_n)∈G,\tag1$$где $\Delta =\frac{\partial^2 }{\partial x_1^2}+\ldots+\frac{\partial^2 }{\partial x_n^2}$ и $G$ – область в $n$-мерном пространстве $\mathbb{R}^n$ (при $f=0$ это уравнение превращается в уравнение Лапласа); уравнение теплопроводности

$$\frac{\partial u}{\partial x}=a^2\Delta u+f,\:u=u(x,t),\:f=f(x,t),\:x\in G\subset \mathbb{R}^n,\:t> 0,\tag2$$и волновое уравнение

$$\square u=f,\:u=u(x,t),\:f=f(x,t),\:x\in G\subset \mathbb{R}^n,\:t> 0,\tag3$$где $\square =\frac{\partial^2 }{\partial t^2}-\Delta$ – оператор Д’Аламбера (даламбертиан). Уравнения (2) и (3), не зависящие от параметра $t$, который обычно играет роль времени, называются стационарными; они сводятся к уравнению (1).

В 1860 г. появилось уравнение Гельмгольца

$$Δ u+k^2u=–f,\: u =u(x),\: f=f(x),\: x∈\mathbb{R}^3,\tag4$$описывающее установившиеся колебательные процессы; при $k = 0$ это уравнение превращается в уравнение (1). В 1920-х гг. появилось уравнение Клейна – Гордона – Фока

$□u+m^2u=0,\: u=u(t,x)$.

Кроме перечисленных уравнений, в теории уравнений математической физики рассматривались уравнение Ньютона движения частицы массы $m$ в поле с потенциалом $V(x)$, $x= x(t)∈\mathbb{R}^3$,

$$m\frac{\partial^2 x}{\partial t^2}=-\operatorname{grad}V(x),\tag5$$уравнение Кортевега – де Фриза $$\frac{\partial u}{\partial t}-6u\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial^3u }{\partial x^3}=0,\:u=u(x,t),\:x\in \mathbb{R}^1,$$описывающее распространение волн на мелкой воде, и уравнение колебаний маятника

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}+a^2\sin u=0,\quad u=u(t).$$ Для уравнения (1) граничные условия $u \mid _{x\in S}=v(x)$ или$$\frac{\partial u}{\partial n} \mid _{x\in S}=v_1(x),  \tag{6}$$где $S$ – граница области $G$ и $n$ – вектор внешней нормали к $S$, приводят к задачам, называемым задачей Дирихле и задачей Неймана соответственно. Для уравнения (2) начальное условие

$$u(x,0)=u_0(х), \quad x∈\mathbb{R}^n,\tag7$$определяет задачу Коши. Для уравнения (3) начальные условия$$u(x,0)=u_0(x),\quad\frac{\partial u}{\partial t}\mid _{t=0}=u_1(x),\quad x\in \mathbb{R}^n,\tag8$$определяют задачу Коши. Для уравнений (2) и (3) рассматриваются также смешанные задачи, которые содержат как граничные условия (6), так и начальные условия (7) или (8). Для уравнения (4) рассматриваются граничные условия на бесконечности, которые имеют вид $u (x)=e^{ik(a,x)}+v(x)$, $a∈\mathbb{R}^3$, $∣a∣=1$, где $i$ – мнимая единица, $(a,x)$ означает скалярное произведение $a$ и $x$, а функция $v(x)$ удовлетворяет условиям излучения Зоммерфельда

$$v(x)=O(|x| ^{-1}),\quad\frac{\partial v(x)}{\partial | x|}-ikv(x)=o(| x| ^{-1}),\quad|x| \rightarrow \infty .$$Для уравнения Ньютона (5) задаются начальные положение $x(0)=x_0$ и скорость $\frac{\partial x}{\partial t}\mid _{t=0}=x_1$ частицы при $t=0$.

К более сложным уравнениям математической физики относятся системы нелинейных дифференциальных уравнений гидродинамики, уравнения Гамильтона, уравнение Лиувилля, уравнения Максвелла, уравнения Навье – Стокса и др. Перечисленные уравнения и соответствующие краевые задачи составляют предмет классической математической физики, которая не утрачивает своего значения.

В уравнениях математической физики выделяется важный класс задач, поставленных корректно по Адамару, т. е. задач, для которых решение существует, единственно и непрерывно зависит от исходных данных.

В 20 в. с развитием квантовой физики, теории относительности и ядерной энергетики появились уравнения и краевые задачи современной математической физики, среди которых – уравнение Шрёдингера

$$iℏ\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{ℏ^2}{2m}\Delta u+V(x)u,\quad u=u(x,t),\quad x\in \mathbb{R}^3,$$где $ℏ$ – постоянная Планка, $m$ – масса частицы, и для этого уравнения ставится задача Коши. Для стационарного уравнения Шрёдингера граничным условием может быть условие принадлежности функции $u$ к гильбертову пространству $L_2(\mathbb{R}^3)$, отражающее поведение решения на бесконечности. Среди уравнений современной математической физики – односкоростное уравнение переноса для изотропного рассеяния$$\frac{1}{v}\frac{\partial u}{\partial t}+(\Omega ,\operatorname{grad}\:u)+\alpha u=\frac{\beta }{4\pi }\int_{\mid \Omega '\mid =1}u(x,\Omega ',t)\,d\Omega '+F,$$где $u(t, Ω, x)$ – плотность частиц, движущихся со скоростью $v$ в направлении $Ω$, $Ω∈\mathbb{R}^3$, $∣Ω∣=1$, в точке $x∈\mathbb{R}^3$ в момент времени $t$, и для этого уравнения рассматривается задача Коши. Для стационарного уравнения переноса в качестве граничного условия для выпуклой области рассматривается условие $u(t, Ω, x)=0$, при $x∈S$, $(Ω, n) < 0$, где $S$ – граница области, $n$ – внешняя нормаль к $S$. Это условие означает отсутствие падающего потока частиц.

Более сложными уравнениями современной математической физики являются уравнения квантовой теории поля, в частности уравнение Дирака и уравнение Янга – Миллса, уравнения гравитационного поля, цепочка уравнений Боголюбова. К таким уравнениям относятся также уравнения $p$-адической математической физики, в частности т. н. уравнение динамики тахионов $p$-адических струн $\exp(α□u)=u^p$, $u=u(t, x)$, $x∈\mathbb{R}^{d-1}$, где $p$ – простое число, с граничными условиями $u(± ∞, x)=1$ для замкнутой струны, $α=1/4$; $u(\pm\infty, x)=1$, $u(±∞, x)=–1$ для открытой струны, $α=1/2$, $p≠2$.