Умноже́ние, операция, сопоставляющая двум данным объектам $a$ и $b$, называемым сомножителями, третий объект $c$, называемый произведением. Умножение обозначается знаком $×$ (ввёл английский математик У. Отред в 1631) или точкой $·$ (ввёл Г. В. Лейбниц в 1698), в буквенных записях эти знаки обычно опускаются и вместо $a×b$ или $a·b$ пишут $ab$. Умножение имеет различный конкретный смысл и, соответственно, различные конкретные определения в зависимости от вида сомножителей и произведения.

Умножение натуральных чисел есть, по определению, операция, сопоставляющая числам $a$ и $b$ третье число $c$, равное сумме $b$ слагаемых, каждое из которых равно $a$, так что $ab=a+a+...+a$ (в сумме в правой части равенства $b$ слагаемых). Число $a$ называется множимым, $b$ – множителем.

Умножение рациональных чисел $m\over n$ и $p\over q$ определяется равенством $\frac{m}{n}\cdot\frac{p}{q}=\frac{mp}{nq}$. Умножение рациональных чисел даёт число, абсолютная величина которого равна произведению абсолютных величин сомножителей, имеющему знак «плюс», если сомножители одного знака, и знак «минус», если сомножители разных знаков. Умножение иррациональных чисел определяется при помощи умножения их рациональных приближений. Умножение комплексных чисел, заданных в форме $α=a+bi$, $β=c+di$, где $i$ – мнимая единица, определяется равенством $αβ=ac-bd+ (ad+bc)i$. При умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме $$α=r_1(\cos φ_1+i\sin φ_1),\\ β=r_2(\cos φ_2+i\sin φ_2),$$их модули перемножаются, а аргументы складываются: $$αβ=r_1r_2(\cos(φ_1+φ_2)+i\sin(φ_1+φ_2)).$$Умножение чисел однозначно и обладает свойствами:

• $ab=ba$ (коммутативность, переместительный закон);

• $a(bc)=(ab)c$ (ассоциативность, сочетательный закон);

• $a(b+c)=ab+ac$ (дистрибутивность, распределительный закон).

При этом всегда $a·0=0$, $a·1=a$.

Дальнейшее обобщение понятия умножения связано с возможностью рассматривать числа как операторы в совокупности векторов на плоскости. Например, комплексному числу $r(\cos φ+i\sin φ)$ соответствует оператор растяжения всех векторов в $r$ раз и их поворота на угол $φ$. При этом умножению комплексных чисел отвечает умножение соответствующих операторов, т. е. результатом умножения является оператор, получающийся последовательным применением двух данных операторов. Такое определение умножения операторов переносится и на другие виды операторов, которые уже нельзя выразить при помощи чисел (например, линейные преобразования). Это приводит, например, к операции умножения матриц, рассматриваемых как операторы растяжения и поворота в трёхмерном пространстве. При таких обобщениях могут не выполняться некоторые из перечисленных выше свойств умножения, чаще всего не выполняется свойство коммутативности. Изучение общих свойств операции умножения входит в задачи общей алгебры, в частности в теории групп и колец.