Тео́рия фу́нкций действи́тельного переме́нного, область математического анализа, в которой изучаются вопросы представления и приближения функций, их локальные и глобальные свойства. Для современной теории функций действительного переменного характерно широкое применение теоретико-множественных методов наряду, естественно, с классическими.

Таким образом, объектом изучения в теории функций действительного переменного является функция. По поводу этого понятия Н. Н. Лузин (Лузин. 1959) писал: «Оно не сложилось сразу, но, возникнув более двухсот лет тому назад в знаменитом споре о звучащей струне, подверглось глубоким изменениям уже в начавшейся тогда энергичной полемике. С тех пор идут непрестанное углубление и эволюция этого понятия, которые продолжаются доныне. Поэтому ни одно отдельное формальное определение не может охватить всего содержания этого понятия...». В соответствии с этим представляется вполне естественным отнести истоки зарождения теории функций действительного переменного ко времени спора о колеблющейся струне (Л. Эйлер, Д. Бернулли, Ж. Л. Д’Аламбер, Ж.-Л. Лагранж и др.), хотя становление этой теории происходило в 19 в. (Ж. Фурье, О. Л. Коши, Н. И. Лобачевский, П. Дирихле, Б. Риман, П. Л. Чебышёв, К. Жордан и др.).

В классическом анализе изучались в основном функции, имеющие определённую степень гладкости. Однако во 2-й половине 19 в. в анализе чётко обрисовались некоторые проблемы, ждавшие своего решения и касающиеся более общих классов функций, а также более глубокого изучения и гладких функций. К таким проблемам следует отнести проблемы меры множества, длин кривых и площадей поверхностей, приближения и представления функций, первообразной и интеграла, взаимосвязи интегрирования и дифференцирования, почленное интегрирование и дифференцирование рядов, свойства функций, полученных в результате предельного перехода и др. Решение этих проблем имело принципиальное значение для математики. Классические методы анализа уже не могли дать достаточно удовлетворительного ответа на такого типа вопросы. В связи с этим и возникла в конце 19 в. настоятельная необходимость нового критического пересмотра основ математического анализа, что и было осуществлено в конце 19 – начале 20 вв. на базе теории множеств, чем и завершилось создание основ современной теории функций действительного переменного.

Обычно современную теорию функций действительного переменного условно делят на 3 части: 1) дескриптивная теория, 2) метрическая теория, 3) теория приближения (особенно близки между собой первые 2 части, основы которых были заложены Э. Борелем, Р. Л. Бэром, А. Л. Лебегом и др.).

1. В дескриптивной теории функций изучаются свойства тех или иных классов функций, полученных в результате предельных переходов. Это изучение (на базе и в связи с дескриптивной теорией множеств) показало, что понятие функции крайне сложно. В этом направлении были открыты классы Бэра функций, которые оказались самым тесным образом связаны с классификацией борелевских множеств.

Основополагающие результаты по дескриптивной теории множеств и функций были получены в Советском Союзе в 1920–1930-х гг. (Н. Н. Лузин, М. Я. Суслин, П. С. Александров, А. Н. Колмогоров, Л. В. Келдыш, П. С. Новиков и др.).

2. В метрической теории функций изучаются свойства функций на основе понятия меры множества. Современное понятие меры множества (мера Лебега) было введено А. Лебегом в 1902 г. Тогда же на базе этого понятия им была создана и теория интеграла (интеграл Лебега). Эти два крайне важных понятия – мера и интеграл – образуют фундамент метрической теории функций, которая занимается изучением свойств функций, производных, интегралов, функциональных рядов и т. п.

Первые крупные результаты в России в этом направлении были получены в 1920-х гг. Д. Ф. Егоровым и Н. Н. Лузиным (см. в статьях Теорема Егорова, C-свойство Лузина). Создателем и руководителем школы метрической теории функций в СССР был Н. Н. Лузин.

К метрической теории функций следует отнести теорию суммирования рядов и последовательностей, а также теорию почти периодических функций. Эта последняя была создана работами П. Боля, X. Бора, Н. Н. Боголюбова, Г. Вейля, В. В. Степанова и др.

Исследования по метрической теории функций и созданные в ней понятия и методы оказали особенно большое влияние на различные области современной математики, а именно: во многих аналитических исследованиях по разным разделам математики редко обходятся без меры и интеграла Лебега (или соответствующих их аналогов и обобщений).

3. Основы теории приближения функций действительного переменного были заложены в классических работах П. Л. Чебышёва (середина 19 в.). Им было введено чрезвычайно важное понятие наилучшего приближения $E_n(f)$ и доказана одна из основных теорем о наилучшем приближении функций многочленами (теорема Чебышёва). Дальнейшее развитие этой теории в 19 в. происходило главным образом в России – в трудах Е. И. Золотарёва, А. Н. Коркина и братьев А. А. Маркова и В. А. Маркова. Большую роль в теории приближения сыграла теорема Вейерштрасса о возможности приближения непрерывных функций многочленами.

В начале 20 в. было выяснено, что дифференциальные свойства функций влияют на быстроту стремления к нулю $E_n(f)$ при $n\to\infty$ (А. Лебег, Э. Борель, Ш.-Ж. де Ла Валле Пуссен).

Важнейшие задачи, относящиеся к выяснению связей между структурными свойствами функций и скоростью их приближения полиномами, были решены С. Н. Бернштейном и Д. Джексоном.

Начиная с 1930-х гг. исследования в СССР по теории приближения функций действительного переменного приобретают особенно большой размах. Наряду с исследованиями С. Н. Бернштейна здесь в первую очередь следует отметить крупные достижения А. Н. Колмогорова и С. М. Никольского, а также их учеников.