А́лгебра [ср.-век. лат. algebra, от араб. الجبر – воссоединение (отдельных частей уравнения)], раздел математики, принадлежащий, наряду с арифметикой и геометрией, к числу старейших ветвей этой науки; она изучает операции над математическими объектами и влияет на формирование общих понятий и методов математики. Задачи и методы алгебры заключались первоначально в составлении и решении уравнений. В связи с исследованиями уравнений развивалось понятие числа, были введены отрицательные, рациональные, иррациональные и комплексные числа; общее исследование свойств этих числовых систем относится к алгебре. В алгебре сформировались буквенные обозначения, позволившие записать свойства действий над числами в форме, не содержащей конкретных чисел. Преобразования по определённым правилам (связанным со свойствами действий) буквенных выражений составляет аппарат классической алгебры. Развитие алгебры оказало большое влияние на развитие новых областей математики, в частности математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления. Применение алгебры возможно всюду, где приходится иметь дело с операциями, аналогичными сложению и умножению чисел. Эти операции могут производиться над объектами самой различной природы. Наиболее известным примером такого расширенного применения алгебраических методов является векторная алгебра и её дальнейшее обобщение – тензорная алгебра, ставшая одним из важных средств современной физики.

Алгебра в более широком, современном понимании может быть определена как наука о системах объектов той или иной природы, в которых установлены операции, называемые алгебраическими, по своим свойствам сходные со сложением и умножением чисел. Алгебра классифицирует системы с заданными на них алгебраическими операциями по их свойствам и изучает различные задачи, естественно возникающие в этих системах, включая и задачу решения и исследования уравнений, которая в новых системах объектов получает новый смысл (решением уравнений может быть вектор, матрица, оператор). Этот новый взгляд на алгебру, оформившийся лишь в 20 в., способствовал дальнейшему расширению области применения алгебраических методов не только в математике, но и в других науках, в частности в физике. Он укрепил связи алгебры с другими разделами математики и усилил влияние алгебры на их дальнейшее развитие.

Исторический очерк

Алгебре предшествовала арифметика, операциями которой были сложение, вычитание, умножение и деление чисел, сначала только целых, а затем и дробных. Вначале отличие алгебры от арифметики заключалось в том, что в алгебре вводилась неизвестная величина, действия над которой, диктуемые условиями задачи, приводили к уравнению, из которого находилась эта неизвестная величина. Элемент такой трактовки арифметических задач содержится в древнеегипетском папирусе Ахмеса, где искомая величина обозначается соответствующим иероглифом. Древние египтяне решали и достаточно сложные задачи (связанные, например, с арифметическими и геометрическими прогрессиями). Как формулировка задач, так и решения давались в словесной форме и только в виде конкретных численных примеров.

В начале 20 в. были расшифрованы клинописные математические тексты и другой древнейшей культуры – вавилонской. Вавилоняне уже за 4 тыс. лет до наших дней с помощью специальных таблиц умели решать разнообразные задачи; некоторые из них равносильны решению квадратных уравнений и даже одного вида уравнений 3-й степени.

Логические доказательства в математику впервые ввели древнегреческие геометры. В рамках геометрического метода многие математические вопросы переводились на язык геометрии: величины трактовались как длины, произведение двух величин – как площадь прямоугольника и т. д. В современном математическом языке сохранилось, например, название «квадрат» для произведения величины на самоё себя. К другой, негеометрической линии развития древнегреческой математики относится трактат Диофанта «Арифметика», в котором он довольно свободно оперирует с уравнениями 1-й, 2-й и более высоких степеней. В этом трактате можно найти попытки употребления буквенной символики и отрицательных чисел. На конкретных примерах предвосхищаются методы решения в рациональных числах уравнений 3-й степени с двумя неизвестными.

Достижения древнегреческой науки развивались учёными средневекового Востока, в том числе аль-Хорезми и аль-Бируни. Учёные Востока передали Европе известную им математику в своей оригинальной переработке, причём особенно много они занимались именно алгеброй. Термин «алгебра» происходит от названия сочинения аль-Хорезми «Аль-джебр аль-мукаба-ла», означающего один из приёмов преобразования уравнений. Со времени аль-Хорезми алгебру можно рассматривать как отдельный раздел математики.

Математики средневекового Востока все действия излагали словами. Дальнейший прогресс алгебры стал возможным только после появления удобных символов для обозначения действий. Этот процесс шёл очень медленно, и только в конце 15 в. появились принятые теперь знаки $+$ и $–$. Затем были введены и получили всеобщее признание знаки, обозначающие степень, корень, а также скобки. К середине 17 в. полностью сложился аппарат символов современной алгебры – употребление букв для обозначения не только искомого неизвестного, но и всех вообще входящих в задачу величин. До этого в алгебре и арифметике как бы не было общих правил и доказательств; рассматривались исключительно численные примеры, почти невозможно было высказать какие-либо общие суждения. Даже элементарные учебники того времени давали десятки частных правил вместо одного общего. Ф. Виет (1591) первым начал писать задачи в общем виде, обозначая неизвестные величины гласными $A, E, I, \ldots$, а известные – согласными $B, C, D, \ldots$. Эти буквы он соединял имевшимися в то время знаками математических операций, т. о. впервые возникли буквенные формулы, характерные для современной алгебры. Начиная с Р. Декарта для неизвестных употребляют, как правило, последние буквы латинского алфавита $x, y, z$.

Введение символических обозначений и операций над буквами, заменяющими конкретные числа, имело исключительно важное значение. Без этого языка формул было бы немыслимо бурное развитие математики начиная с 17 в., создание математического анализа, математического выражения законов механики и физики и др.

Исторически первой задачей алгебры было решение алгебраических уравнений, т. е. нахождение их корней. Важную роль в решении уравнений сыграло появление отрицательных чисел. Они были введены индийскими математиками в 10 в., но учёные средневекового Востока их не использовали. С отрицательными числами свыкались постепенно; этому способствовали коммерческие вычисления, в которых отрицательные числа имеют наглядный смысл, например убытка, недостатка, долга. Окончательно отрицательные числа вошли в употребление только в 17 в., после того как Р. Декарт предложил их наглядное геометрическое представление.

При решении алгебраических уравнений возникла потребность расширения числовой области. Так, при решении уравнений 2-й степени появляются иррациональные числа. С извлечением корней сталкивались ещё древнегреческие и среднеазиатские математики, которые предложили остроумные способы их приближённого вычисления. Взгляд на иррациональность как на число установился значительно позже. Введение комплексных чисел относится к 18 в.

Любое уравнение $n$-й степени имеет $n$ корней, вообще говоря комплексных, причём это верно и для уравнений с комплексными коэффициентами. Эта важная теорема, носящая название основной теоремы алгебры, была впервые сформулирована в 17 в., её доказательство было дано в конце 18 в. К. Ф. Гауссом. Все известные доказательства должны были в той или иной форме использовать непрерывность; т. о., доказательство основной теоремы алгебры выходило за пределы алгебры, демонстрируя неразрывность математики в целом.

Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к системам уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай систем линейных уравнений. К этим простейшим системам сводятся системы уравнений, встречающихся на практике. Решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач. Г. В. Лейбниц (1693) обратил внимание на то, что при изучении систем линейных уравнений важную роль играет матрица, составленная из их коэффициентов. Впоследствии матрицы стали предметом самостоятельного изучения в алгебре, т. к. их роль не исчерпывается приложениями к теории систем линейных уравнений.

Появление аналитической геометрии тесно связано с алгеброй. Если у древних греков чисто алгебраические задачи облекались в геометрическую форму, то теперь алгебраические средства выражения оказались настолько удобными и наглядными, что геометрические задачи переводились на язык алгебраических формул.

В конце 17 – начале 18 вв. был создан и быстро распространился анализ бесконечно малых, сыгравший важнейшую роль в развитии математики и её приложений, что во многом было подготовлено развитием алгебры. В частности, буквенные выражения и действия над ними способствовали зарождению ещё в 16–17 вв. взгляда на математические величины как на переменные, что характерно для анализа бесконечно малых, где непрерывному изменению одной величины обычно соответствует непрерывное изменение другой (функции от этой переменной).

Алгебра и математический анализ развивались в 17–18 вв. в тесной связи. В алгебру проникали понятия и методы анализа, в этом направлении её обогатил И. Ньютон. С другой стороны, алгебра дала анализу развитый набор формул и преобразований, сыгравших большую роль в начальный период развития интегрального исчисления и теории дифференциальных уравнений. Крупным событием в алгебре этого периода было появление учебника Л. Эйлера. Отличие алгебры от анализа в 18–19 вв. характеризуется тем, что алгебра имеет своим основным предметом дискретное, конечное. Основные операции, например сложение, производятся в алгебре конечное число раз. Эту особенность алгебры подчеркнул в 1-й половине 19 в. Н. И. Лобачевский, назвав одну из своих книг «Алгебра, или Вычисление конечных» (1834).

К 18 в. алгебра сложилась примерно в том объёме, который до наших дней преподаётся в средней школе. Эта алгебра охватывает действия сложения, умножения с обратными им действиями вычитания и деления, а также возведение в степень и обратное ему извлечение корня. Эти действия проводятся над числами или буквами, которые могут обозначать положительные или отрицательные, рациональные или иррациональные числа. На русском языке изложение элементарной алгебры в виде, сложившемся к началу 18 в., было впервые дано в «Арифметике…» Л. Ф. Магницкого.

Алгебра 18–19 вв. есть прежде всего алгебра многочленов. Предмет алгебры, таким образом, оказывается значительно у́же, чем предмет анализа. Вместе с тем алгебра и математический анализ продолжают иметь много точек соприкосновения, и разграничение между ними не является жёстким. Во многих случаях изучение многочленов как довольно простых функций помогало развитию общей теории функций. Через всю историю математики проходит тенденция сведения изучения более сложных функций к изучению многочленов или рядов. С другой стороны, алгебра начинает всё больше пользоваться идеями непрерывности и бесконечности, характерными для математического анализа.

Современное состояние алгебры

Для современной алгебры характерно то, что в центре внимания оказываются свойства операций, а не объектов, над которыми производятся эти операции. Простой пример даёт возможность проследить, как это происходит. Известна формула $(a+b)^2=a^2+ 2ab+b^2$. Её выводом является цепочка равенств: $$(a+b)^2= (a+b)(a+b)=\\=(a+b)a+(a+b)b=(a^2+ba)+(ab+b^2)=\\=a^2+(ba+ab)+b^2=a^2+ 2ab+b^2.$$Здесь дважды использован закон дистрибутивности, закон ассоциативности при сложении позволяет перегруппировать слагаемые, наконец, используется закон коммутативности $ba=ab$. Что представляют собой объекты, обозначенные буквами $a$ и $b$, не имеет значения; важно, чтобы они принадлежали множеству, в котором определены две операции, сложение и умножение, удовлетворяющие перечисленным требованиям, касающимся свойств операций, а не объектов. Формула останется верной, если $a$ и $b$ означают векторы, в этом случае сложение в левой части – это сложение векторов, а в правой части формулы – сложение чисел; под умножением понимается скалярное умножение векторов. В этой формуле вместо $a$ и $b$ можно подставить также коммутирующие матрицы (т. е. такие, что $ab=ba$, что для матриц может не выполняться), операторы дифференцирования по двум независимым переменным и др.

Отвлекаясь от природы объектов, но фиксируя определённые свойства операций над ними, приходят к понятию множества, наделённого алгебраическими операциями. В ходе развития математики и её приложений первоначально выделились сравнительно немногие типы алгебраических структур: группы, поля, векторные пространства, ассоциативные кольца и алгебры, модули. В дальнейшем предметом изучения стали также другие классы: неассоциативные кольца и алгебры (в том числе алгебры Ли, йордановы алгебры), решётки, полугруппы и др. Большим разделом алгебры, имеющим многочисленные приложения, как в самой математике, так и в естествознании, является теория представлений групп. Алгебра имеет тесные связи и с математической логикой (см. Булева алгебра, Теория моделей).

Развиваются также разделы алгебры, изучающие алгебраические операции в множествах, снабжённых дополнительными структурами. Таким образом возникли топологическая алгебра, теория групп Ли (т. е. групп, являющихся гладкими многообразиями), теории различных упорядоченных систем. Теория полей, возникшая из алгебраической теории чисел, и изучение коммутативных колец относятся к коммутативной алгебре, которая служит основой алгебраической геометрии. Под влиянием топологии появился новый раздел алгебры – гомологическая алгебра, которая, в свою очередь, привела к возникновению теории категорий, давшей новый универсальный язык для описания понятий не только алгебры, но и практически всех областей математики.

Наряду с фундаментальной ролью внутри математики, алгебра имеет большое прикладное значение: она применяется в физике (симплектические формы в механике, представления групп Ли в квантовой теории, супералгебры Ли в теории поля, фёдоровские группы в кристаллографии), в дискретной математике (теория автоматов, алгебраическая теория кодирования), в математической экономике (линейные неравенства) и др.