Дифференциа́льное уравне́ние с ча́стными произво́дными, уравнение вида $$F(x,u,\ldots,p_{i_1\dots i_n},\ldots)=0,\tag1$$ где $F$ – заданная действительная функция точки $x=(x_1,\ldots,x_n)$ некоторой области $D$ в $n$-мерном евклидовом пространстве, $n⩾2$, и переменных $$p_{i_{1\cdots}i_n}=\frac{\partial^ku}{\partial x_1^{i_1}\ldots\partial x_n^{i_n}},$$где $u(x)$ – неизвестная функция; неотрицательные индексы $i_1,\ldots,i_n$ таковы, что $i_1+\ldots+i_n=k$, $k=1,\ldots,m$, $m⩾1$, и по крайней мере одна из производных функции $$\frac{\partial F}{\partial p_{i_1\ldots i_n}},\quad i_1+\dots+i_n=m,$$$F$ отлична от нуля. Число $m$ называется порядком уравнения $(1)$.

Если $F$ – линейная функция переменных , то уравнение $(1)$ называется линейным. Линейное уравнение с частными производными 2-го порядка можно записать в виде $$\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}A_{ij}\frac{\partial^2u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum^n_{j=1}B_j \frac {\partial u}{\partial x_j}+Cu=f,\tag2$$где $A_{ij}, B_j, C$ и $f$ – заданные в области $D$ действительные функции точки $x$.

Как и для обыкновенных дифференциальных уравнений, нахождение частного решения дифференциального уравнения с частными производными требует задания дополнительных условий, которым должно удовлетворять это решение. Такими дополнительными условиями обычно являются начальные условия, т. е. задание функции $u(x,t)$ при некотором значении $t=t_0$, или краевые условия, т. е. задание функции $u(x,t)$ на границе области $D$ или на части этой границы.

Например, общим решением уравнения $$\frac {\partial ^2u}{\partial t^2}=\frac {\partial ^2u}{\partial x^2}\tag3$$является функция $$u(x,t)=f(x+t)+g(x-t),$$где $f$ и $g$ – произвольные достаточно гладкие функции. Таким образом, дифференциальное уравнение (3) ограничивает произвол в выборе функции $u(x,t)$ двух переменных лишь в той мере, что её удаётся выразить через две произвольные функции одного переменного.

Типичной задачей с начальными условиями для системы дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка $$\frac{\partial u_i}{\partial t}=f_i(t;x_1, \ldots,x_n;u_1,\ldots,u_m),$$где независимыми переменными являются $t$, $x_1,\ldots,x_n$, а $u_1,\ldots,u_m$ суть функции от этих независимых переменных, может служить задача Коши: по заданным при каком-либо $t=t_0$ значениям $$u_i(t_0, x_1, \ldots, x_n)=φ_i(x_1, \ldots, x_n)$$найти функции $u_i(t, x_1, \ldots, x_n)$, $i=1,2,\ldots,m$.

В теории дифференциальных уравнений с частными производными порядка выше первого и систем дифференциальных уравнений с частными производными рассматриваются как задачи Коши, так и ряд краевых задач.

При постановке и решении краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными порядка выше первого существенное значение имеет т. н. тип уравнения. В качестве примера можно привести классификацию дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка с одной неизвестной функцией $z(x,y)$ от двух переменных $$F(x, y, z, p, q, r, s, t)=0,\tag4$$где $$p=\frac {\partial z}{\partial x},\,\, q=\frac {\partial z}{\partial y},\,\,r=\frac {\partial^2 z}{\partial x^2},\,\,s=\frac {\partial^2 z}{\partial x \partial y},\,\,t=\frac {\partial^2 z}{\partial y^2}.$$Если $$D=4\frac {\partial F}{\partial r}\frac {\partial F}{\partial t}-\Bigg \lgroup \frac {\partial F}{\partial s} \Bigg\rgroup^2>0,$$то уравнение $(4)$ называется эллиптическим. Примером может служить уравнение Лапласа$$\Delta u=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0.$$Если $D<0$, то уравнение $(4)$ называется гиперболическим. Примером может служить уравнение колебаний струны $$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}.$$Если $D=0$, то уравнение $(4)$ называется параболическим. Примером может служить уравнение теплопроводности $$\frac{\partial u}{\partial t}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}.$$О краевых задачах для этих типов уравнений см. Уравнения математической физики. Для построения приближённых решений дифференциальных уравнений с частными производными часто применяется метод конечных разностей.