Математи́ческая эконо́мика, раздел математики, выполняющий роль связующего звена между экономической теорией и классической математикой. Её основное назначение – анализ средствами математики теоретических построений в области экономики на непротиворечивость и генерация новых экономических идей на основе математических моделей. Математически формализуются такие ключевые экономические понятия, как спрос, предложение, рынок, прибыль, эффективность, монополия и др. По мере развития информационных технологий роль знаний в экономике возрастает, математические конструкции дают опору экономической интуиции.

Место математической экономики среди других научных дисциплин

Содержанию термина «математическая экономика» наиболее точно соответствуют стандарты «Журнала математической экономики» (Journal of Mathematical Economics), согласно которым формальное математическое выражение экономических идей имеет жизненно важное значение для экономики, позволяя определить наличие связного логического смысла в работах экономистов. Формальное развитие экономических идей применительно к задачам с реальным экономическим содержанием может породить новые экономические идеи и концепции. Математическая экономика не предполагает, что полученные результаты обязательно применяются на практике, и в этом её отличие от математических методов в экономике. Математическая техника и наличие доказанных теорем ценится здесь выше, чем содержательное наполнение данными или практическое применение (не к теории).

Основу математической экономики в её современном виде составляют математические теории экономической динамики и равновесия с набором теорем существования и обоснования числа (не обязательно единственности) решений, их оптимальности и других ключевых свойств. По разнообразию и уровню сложности применяемого математического аппарата они относятся к чистой математике, но сохраняют экономическую лексику, унаследованную от ранних работ.

Принято считать, что математическая экономика как отдельная наука началась с работ Л. Вальраса, чётко определившего понятие рыночного равновесия, и В. Парето, который ввёл понятие оптимального состояния, ныне называемого Парето-оптимальным состоянием. Сюда же можно отнести труды Ф. Кенэ с его моделью сельскохозяйственной экономики и сочинение Т. Р. Мальтуса «Опыт о законе народонаселения…» (1798). Все перечисленные математические конструкции были достаточно просты и не сопровождались доказательством теорем, поэтому их трудно считать математическими в современном понимании.

Математическая экономика как полноценная математическая дисциплина с доказательством теорем и получением следствий из них начинается с микроэкономических работ К. Дж. Эрроу и Дж. Дебрё о конкурентном равновесии, макроэкономических работ Дж. фон Неймана о моделях экономического роста, однопродуктовой модели экономики с бесконечным временны́м интервалом, предложенной в 1920-е гг. английским математиком Ф. Рамсеем. В модели равновесия Эрроу – Дебрё получили завершённую форму высказанные Вальрасом и Парето идеи о конкуренции, о существовании равновесных цен и об оптимальности соответствующего им распределения продуктов. Теорема о существовании равновесия была доказана с применением теоремы о неподвижной точке. Позднее Дебрё удалось показать конечность числа равновесных состояний для почти всех начальных параметров модели, используя теорему Сарда из теории меры. В дальнейшем эта тема развивалась С. Смейлом, обогатилась применением дифференциальной топологии, теории особенностей, но не практическими применениями, хотя эта тема тоже обсуждалась.

В 1937 г. Дж. фон Нейман предложил модель расширяющейся экономики, ввёл понятие магистрали и доказал её существование. Это означает, что оптимальная траектория с началом в любой точке обязательно будет приближаться к Джон фон Нейман. Джон фон Нейман. траектории самого быстрого роста (магистрали), а в пределе выйдет на неё. Нейман в совместной с О. Моргенштерном монографии «Теория игр и экономическое поведение» (1944) заложил основы теории игр как математического языка для описания экономики. Со временем связь теории игр и теории конкурентного равновесия стала более тесной.

В те же годы возросло число работ, где математические модели экономики использовались для практических целей. Наибольшую популярность получила разработанная в 1930-е гг. модель Леонтьева, связанная с межотраслевым балансом. Баланс составляется статистическими органами многих стран как основа для различных расчётов, в них стали доминировать методы эконометрики, которые обычно не относят к математической экономике. В. В. Леонтьев считал осмысленными лишь те экономические модели, которые можно наполнить реальной информацией. Вместе с тем появились работы (Шананин. 2021), существенно расширяющие и прикладные возможности межотраслевого баланса, и вклад в теорию.

Изучение динамики сложноструктурированных экономических систем с взаимной зависимостью было начато в моделях Неймана и Леонтьева, в которых экономика характеризуется сложными связями производства промежуточных товаров. В нашей стране такого рода модели интенсивно исследовались научными школами В. Л. Макарова – А. М. Рубинова и А. А. Петрова – И. Г. Поспелова.

Математическая экономика – наиболее сложная часть экономической теории, она наполнена сложными математическими средствами, что сужает её доступность для понимания выпускниками экономических факультетов, экономистами-теоретиками и управленцами.

Научные статьи по математической экономике публикуются в Journal of Mathematical Economics, в журналах «Экономика и математические методы», «Математическое моделирование», «Цифровая экономика», в «Докладах Российской академии наук», «Вестнике РАН», в математических журналах общего профиля.

Вклад отечественных авторов в развитие математической экономики

Отечественные математики, решая конкретные экономические задачи, а затем обобщая полученные решения, внесли заметный вклад в развитие математической экономики. Наличие в СССР плановой экономики и высокий уровень развития математической науки объективно способствовали этому. Сложилось несколько научных школ, ориентированных на применение математики к решению экономических задач: в Ленинграде возникла школа вокруг Л. В. Канторовича (часть учёных вместе с ним затем переехали в Новосибирск, часть осталась в Ленинграде); в Москве научная школа образовалась вокруг А. А. Дородницына; в Киеве – вокруг В. М. Глушкова. У каждой из научных школ были свои достижения в решении конкретных задач, однако теория экономического равновесия тогда считалась буржуазной наукой и заниматься экономической теорией было опасно с идеологической точки зрения.

В 1939 г. Л. В. Канторович сформулировал задачу линейного программирования и предложил метод её решения. Впоследствии идея оптимальности и оптимального плана стала математическим основанием теории экономики благосостояния, а также плановой экономики социализма. Параллельно с решением прямой задачи Леонид Канторович. 1978.Леонид Канторович. 1978.о нахождении оптимума метод Канторовича предусматривал определение двойственных переменных, названных автором «объективно обусловленные оценки» (Канторович. 1959). Речь шла об оптимальных ценах на ресурсы, которые имеются в ограниченном количестве. В дальнейшем идея двойственности как основы теории цен была развита Канторовичем и его учениками применительно к широкому кругу вопросов ценообразования, включая теорию ренты, цены на публичные блага, поставляемые в частном порядке, тарифы на услуги.

Ещё одна фундаментальная идея Канторовича – роль отношений порядка в экономике – состоит в том, что технологии, информация и знания могут использоваться в меньшем или большем объёме, но в целом их не может быть больше или меньше.

На основе этой идеи В. Л. Макаров в 1973 г. построил математическую модель баланса, где вместо сложения использовалась операция максимума. БВалерий Макаров во время интервью в Центральном экономико-математическом институте (ЦЭМИ), Москва. 2016.Валерий Макаров во время интервью в Центральном экономико-математическом институте (ЦЭМИ), Москва. 2016.лизкие идеи рассматривались в ещё более абстрактном виде Н. Н. Воробьёвым (1925–1995).

Позже В. П. Масловым и его последователями была построена полноценная математика, получившая название идемпотентного анализа, или тропической математики; в ней вместо операции сложения могли использоваться различные бинарные операции, включая операции максимума и минимума. Это послужило импульсом развитию моделей экономики с общественными благами, поставляемыми в частном порядке, позволило обобщить теорию общественных благ П. Сэмюэлсона (1954). Как и в случае с ценами на ограниченные ресурсы, математика шла впереди экономической мысли. В серии работ В. И. Данилова (род. 1943) с соавторами идея представления знаний целочисленными переменными постепенно трансформировалась в обобщение понятия выпуклости для дискретных множеств и привела к обобщению формального представления спроса в моделях рыночного равновесия. Были доказаны теоремы существования и оптимальности. Аналогичные результаты были позже получены на основе тропической математики английскими исследователями.

Ещё одна идея В. П. Маслова (2006) о том, что экономика как квантовая система находится сразу в двух состояниях, в одном из которых сложение обычное, т. е. $1+1=2$, в другом – идемпотентное, т. е. $1+1=1$, оказалась столь радикальной, что экономическая наука в целом так и не смогла её усвоить. Исключение составили квантовые финансы – ответвление теории финансов, получившее применение на практике.

В работах представителей новосибирской школы получила развитие теория о соотношении конкурентного равновесия и игровых решений, прежде всего, ядра экономики. Ещё в 1960-е гг. Р. Оман показал, что ядро экономики – множество состояний, которые не могут быть блокированы ни одной коалицией с выгодой для всех её участников –  совпадает с множеством рыночных равновесий экономической системы с бесконечным числом экономических агентов. Для экономической системы с конечным числом экономических агентов В. М. Маракулин (род. 1956) и В. А. Васильев (род. 1946) развили два варианта теории договоров, где бесконечным является не число агентов, а число возможностей перезаключения договоров.

Из работ научной школы А. А. Дородницына, которая была связана с оборонным сектором, к математической экономике можно отнести обобщения модели межотраслевого баланса с учётом частичной заменимости продуктов А. А. Шананина (род. 1955). Научная школа В. М. Глушкова ориентирована не на развитие экономической теории, а на применение вычислительной техники и относительно простых математических моделей, которые можно наполнить реальной экономической информацией.

Цифровая трансформация и математическая экономика

Цифровая трансформация экономики и возросшая роль знаний привели к заметному смещению акцентов не только в понимании того, что является главным и ценным в экономике целиком, но и в применении математики в экономике. Формализованные и представленные в цифровом формате знания подчиняются правилам идемпотентного сложения уже без каких-либо оговорок. Всё бо́льшую роль играют сетевые эффекты (как положительные, так и отрицательные). Радикально расширились возможности применения вычислительной техники и аналитических инструментов на основе новых информационных технологий.

Усложнение математических моделей с целью их приближения к реальности приводит ко всё большим трудностям в получении математических результатов аналитическими методами. В связи с этим повышается интерес к компьютерным моделям, имитирующим реальность. Здесь математический результат уступает место компьютерным экспериментам, при этом место теорем занимают обработка и интерпретация численных расчётов. Появляются сервисы, позволяющие производить расчёты и эксперименты, получать и наглядно представлять полученные результаты в виде рисунков, диаграмм и графиков, например сервис Wolfram Mathematica: Современные технические вычисления, который позволяет работать с моделями экономики, составляя конкуренцию традиционным применениям математики, включая математическую экономику. Яркий пример – агент-ориентированное моделирование, которое касается не только экономики, но также смежных областей науки и быстро расширяет сферу применения.