Ба́нахово простра́нство, полное линейное нормированное пространство. Банахово пространство – одно из важнейших понятий современного математического и функционального анализа. Название «банахово пространство» связано с именем С. Банаха, который дал общее определение банахова пространства и начал систематическое изучение таких пространств. Базой для исследований Банаха послужили пространства функций и пространства последовательностей, введённые в начале 20 в. Д. Гильбертом, А. Л. Лебегом, М. Р. Фреше, Ф. Риссом.

Наличие линейной структуры в банаховом пространстве означает, что в нём определено умножение элементов на комплексные (или действительные) числа и для произвольной пары элементов определена их сумма. Операции сложения и умножения подчинены аксиомам векторного пространства. Линейное пространство называется нормированным, если каждому его элементу $x$ поставлено в соответствие неотрицательное число $‖x‖$ такое, что:

1)  $‖x‖ =0$ тогда и только тогда, когда $x=0$;

2)  $‖λx‖=∣λ∣‖x‖$ для любого комплексного (или действительного) числа $λ$;

3) $‖x+y‖{⩽}‖x‖+‖y‖$ для любых пар $x$ и $y$ элементов линейного пространства.

Число $‖x‖$ называется нормой элемента $x$. Полнота нормированного пространства $X$ означает, что для любой последовательности элементов $x_k$ из $X$ такой, что $‖x_k-x_n‖→0$ при $k, n→∞$, существует элемент $x$ в пространстве $X$ такой, что $‖x-x_k‖→0$ при $k→∞$.

Важным частным случаем банахова пространства является гильбертово пространство, в котором наряду с линейной структурой задано скалярное произведение $(x, y)$, причём $‖x‖=\sqrt{(x, x)}$.

Особую роль играют сепарабельные банаховы пространства. Нормированное пространство $X$ называется сепарабельным, если в нём существует счётное множество элементов $\{x_1, x_2, ...\}$, которое плотно в $X$, т. е. для любого $ε>0$ и любого элемента $x$ из $X$ найдётся элемент $x_k$ из множества $\{x_1, x_2, ...\}$ такой, что $‖x-x_k‖<ε$. Примерами банаховых пространств являются пространство $C[a, b]$ непрерывных на отрезке $[a, b]$ функций $f(x)$ с нормой $$‖f‖=\max\limits_{a{⩽}x{⩽}b} ∣{f(x)}∣,$$где максимум берётся по $x∈[a, b]$; пространство $L_p[a, b], p{⩾}1$, состоящее из функций, интегрируемых в $p$-й степени по Лебегу, с нормой $$‖f‖=\left (\int\limits_a^b|f(x)|^pdx \right ) ^{1/p};$$пространство $l_p, p{⩾}1$, бесконечных последовательностей $x=(x_1, x_2, ...)$ с нормой $$‖x‖=\left ( \sum_{k=1}^\infty|x_k|^p \right )^{1/p}.$$Все эти пространства сепарабельны, а пространства $L_2[a, b]$ и $l_2$ – гильбертовы. В современном анализе используются различные конкретные функциональные банаховы пространства, в частности пространства Соболева, Харди, Бесова.

Наряду с банаховым пространством $B$ рассматривается сопряжённое с ним пространство $B^*$, состоящее из линейных непрерывных функционалов на $B$, т. е. линейных непрерывных отображений пространства $B$ в поле комплексных (или действительных) чисел. Пространство $B^*$ с нормой $‖f‖=\sup{∣}f(x)∣$, где супремум берётся по всем $x, ‖x‖{⩽}1$, также является банаховым пространством. Важную роль в теории банаховых пространств играют следующие теоремы: теорема Хана – Банаха о возможности продолжения выпуклых функционалов с подпространства банахова пространства на всё пространство с сохранением подчинения (в частности, о возможности продолжения линейных функционалов без увеличения нормы); теорема Банаха – Штейнгауза о равномерной ограниченности, утверждающая, что если последовательность линейных ограниченных операторов $A_n$ такова, что числовая последовательность $‖A_nx‖$ ограничена для каждого элемента $x$ банахова пространства, то $‖A_nx‖{⩽}C‖x‖$ с некоторой постоянной $C$, не зависящей от $n$ и $x$; теорема Банаха об обратном операторе, утверждающая, что если линейный непрерывный оператор отображает одно банахово пространство на другое взаимно однозначно, то обратный оператор тоже непрерывен.