Метри́ческое простра́нство, множество, наделённое некоторой метрикой, т. е. множество $X$, для любой пары элементов $x,y$ которого определено расстояние $d(x,y)$. Метрическое пространство $X$ с метрикой $d$ обычно обозначается $(X,d)$. Понятие метрического пространства, наряду с понятиями топологического пространства, банахова пространства и гильбертова пространства, является одним из важнейших понятий современного функционального анализа. Первые метрические пространства рассматривались в работе М. Фреше (1906), где было введено расстояние между функциями.

Примером метрического пространства может служить евклидово $n$-мерное пространство ${\bf{R}}^n$ размерности  $n⩾1$ с обычной евклидовой метрикой. Другой пример даёт пространство $B[a,b]$ ограниченных на отрезке $[a,b]$ функций с метрикой $$d(f,g)=\sup_{a⩽x⩽b}|f(x)-g(x)|$$(отрезок $[a,b]$ можно заменить произвольным множеством $Ω$, если верхнюю грань брать по всем $x∈Ω$). Ещё одним примером является пространство $\ell_p$, $p⩾1$, которое состоит из последовательностей $ξ= \{ξ_1,ξ_2,\ldots\}$ комплексных чисел, удовлетворяющих условию $\displaystyle\sum_{k=1}^∞|{ξ_k}|^p<∞$, с метрикой $$d(ξ,ζ)=\left ( \sum_{k=1}^∞|ξ_k-ζ_k|^p\right ) ^{1/p}.$$В метрическом пространстве естественным образом определяются понятия сходящейся и фундаментальной последовательностей. Последовательность $\{x_k\}_{k⩾1}$ элементов из метрического пространства $(X,d)$ сходится, если существует такой элемент $x∈X$, что $d(x_k,x)→0$ при $k→∞$. Последовательность $\{x_k\}_{k⩾1}$ называется фундаментальной, если для любого $\varepsilon>0$ найдётся такой номер $N=N(\varepsilon)$, что $d(x_k,x_m)<\varepsilon$ для всех $k,m>N$. Важнейшим свойством метрических пространств является полнота. Метрическое пространство $(X,d)$ называется полным, если любая фундаментальная последовательность его элементов сходится. Указанные выше пространства ${\bf{R}}^n$, $B[a,b]$ и $\ell_p$ полны. Примером неполного метрического пространства служит множество рациональных чисел с метрикой $d(x,y) = |x-y|$. Другим нетривиальным примером неполного метрического пространства служит множество непрерывных на отрезке $[a,b]$ действительных (или комплекснозначных) функций с интегральной метрикой $$d(f,g)=\left ( \int \limits_a^b |f(x)-g(x)|^p \right ) ^{1/p}$$при некотором $p⩾1$. Задача об описании пополнения такого метрического пространства приводит к конструкции интеграла Лебега.

В метрическом пространстве естественным образом можно ввести топологию, т. е. задать систему открытых множеств. Открытым шаром радиуса $r$ с центром в точке $x_0$ метрического пространства $(X,d)$ называется множество $B(x_0,r)=\{x∈X:d(x,x_0){<}{r}\}$. Открытыми в $(X,d)$ объявляются множества, которые можно представить в виде объединения открытых шаров, а замкнутыми множествами – дополнения к открытым. Тем самым метрическое пространство можно рассматривать как топологическое пространство с топологией, порождаемой метрикой.

Важной характеристикой метрических пространств является сепарабельность. Метрическое пространство $(X,d)$ называется сепарабельным, если в нём найдётся множество $F$, состоящее из конечного или счётного множества элементов такое, что замыкание $F$ совпадает с $X$. Замыканием множества $F⊂X$ называется наименьшее (по включению) замкнутое в $X$ множество, содержащее $F$ (т. е. пересечение всех замкнутых множеств, содержащих $F$). В рассмотренных выше примерах пространства ${\bf{R}}^n$ и $\ell_p$ сепарабельны, а пространство $B[a,b]$ несепарабельно. Пространство $C[a,b]$, состоящее из всех непрерывных на $[a,b]$ функций, с метрикой, определённой так же, как в $B[a,b]$, является полным и сепарабельным. Согласно теореме Банаха – Мазура пространство $C[a,b]$ является универсальным, т. е. любое сепарабельное метрическое пространство изометрично некоторому подпространству в $C[a,b]$.

Фундаментальным является понятие компактности метрических пространств. В частности, важную роль играют теоремы о непрерывных отображениях компактных пространств. Компактность метрического пространства $(X,d)$ равносильна выполнению одного из следующих условий (это не так за пределами класса метрических пространств): из любого покрытия $(X,d)$ открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие; из любого счётного покрытия $(X,d)$ открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие; любая последовательность элементов в $(X,d)$ содержит подпоследовательность, которая сходится. Всякое компактное метрическое пространство полно. Компактное метрическое пространство необходимо ограничено, т. е. содержится в некотором шаре, однако полное и ограниченное метрическое пространство может быть некомпактным (в качестве примеров можно взять замкнутые единичные шары в пространствах $C[a,b]$ или $\ell_p$).

Для получения критерия компактности метрического пространства полезным оказывается свойство полной ограниченности. Множество $F$ в метрическом пространстве $(X,d)$ называется $\varepsilon$-сетью, если для любой точки $x∈X$ найдётся такая точка $f∈F$, что $d(x,f)⩽\varepsilon$. Метрическое пространство $(X,d)$ называется вполне ограниченным, если для любого $\varepsilon>0$ в нём существует конечная $\varepsilon$-сеть. Справедлива следующая теорема: метрическое пространство $(X,d)$ компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено. Вполне ограниченные метрические пространства называют предкомпактными. Одной из задач функционального анализа является нахождение критериев предкомпактности конкретных метрических пространств или их подмножеств (которые являются метрическими пространствами с той же метрикой). Важную роль в теории метрических пространств играет теорема Бэра, которую можно сформулировать следующим образом: пусть $(X,d)$ – полное метрическое пространство, причём $\displaystyle X=\bigcup_{n=1}^{\infty}X_n$, где множества $X_n$ замкнуты. Тогда хотя бы одно из множеств $X_n$ содержит открытый шар положительного радиуса.