Сходимость

Сходи́мость, одно из основных понятий математического анализа, означающее, что некоторые математические объекты имеют предел. Понятие сходимость возникает, например, когда при изучении того или иного математического объекта строится последовательность более простых в некотором смысле объектов, приближающихся к данному, т. е. имеющих его своим пределом. Так, при вычислении длины окружности используется последовательность длин периметров правильных многоугольников, вписанных в окружность; для вычисления значений функций используются последовательности частичных сумм рядов, которыми представляются данные функции; например, для вычисления значений функции $\sin x$ используются частичные суммы ряда
$$x-\frac{x^3}{3!}+...+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+...\,.$$При практическом использовании таких рядов важным вопросом являются оценки скорости сходимости или, что то же самое, вопрос о том, насколько точно частичные суммы ряда, составленные из его $n$ первых членов, аппроксимируют значение данной функции.

Большую роль сходимость играет при решении уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных), в частности при нахождении их численных приближённых решений. Например, с помощью метода последовательных приближений можно получить последовательность функций, сходящихся к решению данного дифференциального уравнения, и, если известна точность аппроксимации, можно указать функцию, дающую нужное приближение.

В математическом анализе и смежных разделах математики используются различные понятия сходимости последовательности функций. Одно из них – понятие поточечной сходимости. Говорят, что последовательность действительных функций $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$, определённых на некотором множестве $M$, поточечно сходится к предельной функции $f$, если для любого $x∈M$ числовая последовательность $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty}$ сходится к числу $f(x)$ или, что то же самое, для любого $ε > 0$ существует число $n_ε$ такое, что $|f_n(x)-f(x)| < ε$ при всех $n > n_ε$. В этом определении число $n_ε$ может зависеть от $x$. Если существует число $n_ε$, одно и то же для всех $x∈M$, для которого указанные неравенства выполнены, то говорят, что последовательность сходится к $f$ равномерно на $M$. Равномерная сходимость последовательности к функции $f$ равносильна сходимости в метрике $$ρ(f, g)=\sup_{x∈M}|f(x)-g(x)|,$$т. е. сходимости числовой последовательности $ρ(f_n, f)→0$ при $n→∞$.

Из равномерной сходимости следует поточечная, обратное неверно, пример даёт последовательность степенных функций $f_n(x)=x^n$, $n=1, 2, ...$, на интервале $M=(0, 1)$: функции этой последовательности при $n→∞$ в каждой точке $x∈(0,1)$ сходятся к функции $f(x)≡0$, $x∈(0,1)$, но $ρ(f_n, f)=1$ при всех $n$. Если последовательность функций $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ сходится к функции $f$ равномерно на $M$, то для любой последовательности $\{x_n\}_{n=1}^{\infty} \in M$

$$f_n(x_n)-f(x_n)→0\tag{1}$$при $n→∞$, обратное также верно. Для степенных функций при выборе $x_n=1-1/n$, $n=1,2,...$, левая часть последнего соотношения есть

$$(1-1/n)^{n}-0→e^{–1},$$т. е. (1) не выполнено, что даёт ещё одно объяснение отсутствия равномерной сходимости к предельной функции $f(x)$, тождественно равной нулю на (0, 1).

Помимо указанных видов сходимости в различных разделах математики используются и другие. Так, в теории вероятностей наиболее интересны два множества функций: множество случайных величин, заданных на некотором вероятностном пространстве ($Ω$, $\mathcal{A}$, $\mathsf{P}$), и множество функций распределения, которые определены на действительной оси. Для каждого из этих множеств используются свои понятия сходимости. На множестве случайных величин поточечная сходимость является слишком сильной. Так, усиленный закон больших чисел утверждает, что при некоторых условиях средние арифметические $S_n/n=(X_1+ ...+X_n)/n$ независимых случайных величин $X_1$, $X_2$, ..., близки к некоторым постоянным $A_n$ в следующем смысле: при $n→∞$

$$S_n(ω)/n-A_n→0$$для точек $ω∈Ω$ из подмножества $Ω$, для которого вероятность $\mathsf{P}$ равна 1. То есть это соотношение может не иметь места на подмножестве $Ω$, вероятность которого равна нулю. Поэтому вместо поточечной сходимости на всём множестве $Ω$ приходится использовать сходимость с вероятностью 1: последовательность случайных величин $Z_1$, $Z_2$, ..., сходится с вероятностью 1 (или почти наверное) к случайной величине $Z$, если

$$\boldsymbol{\sf{P}}( \{ω:Z_n(ω)→Z(ω)\})=1.$$Аналогичное понятие сходимости используется и в теории функций, там оно называется сходимость почти всюду.

В некоторых вопросах теории вероятностей и сходимость с вероятностью 1 является слишком сильной, и тогда приходится пользоваться сходимостью по вероятности: последовательность случайных величин $Z_1$, $Z_2$, ..., сходится по вероятности к случайной величине $Z$, если для любого $ε > 0$

$$\boldsymbol{\sf{P}}(\{ω:|Z_n(ω)-Z(ω)| > ε\})→0$$при $n→∞$. Аналогичное понятие сходимости используется и в теории функций, там оно называется сходимостью по мере.

Из сходимости с вероятностью 1 следует сходимость по вероятности; обратное неверно, но из всякой последовательности, сходящейся по вероятности к некоторой случайной величине, можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к той же предельной величине с вероятностью 1. Существуют последовательности, сходящиеся по вероятности к некоторой случайной величине $Z(ω)$, но не сходящиеся к $Z(ω)$ ни в одной точке $ω∈Ω$.

На множестве функций распределения рассматриваются свои виды сходимости.

Сходимость естественным образом определяется для метрических пространств и для нормированных пространств. О сходимости рядов см. в статье Ряд. О сходимости интегралов см. в статье Несобственный интеграл. Используют понятия сходимости бесконечного произведения, непрерывной дроби.

Ещё математики древности (Евклид, Архимед), по существу, употребляли бесконечные ряды для нахождения площадей и объёмов. Доказательством сходимости рядов им служили вполне строгие рассуждения по схеме метода исчерпывания . Термин «сходимость» в применении к рядам был введён в 1668 г. шотландским математиком и астрономом Дж. Грегори при исследовании некоторых способов вычисления площади круга и гиперболического сектора. Математики 17 в. обычно имели ясное представление о сходимости употребляемых ими рядов, хотя и не проводили строгих, с современной точки зрения, доказательств. В 18 в. широко распространилось употребление в анализе заведомо расходящихся рядов (в частности, их широко применял Л. Эйлер). Это, с одной стороны, привело впоследствии ко многим недоразумениям и ошибкам, устранённым лишь с развитием отчётливой теории сходимости, а с другой – предвосхитило современную теорию суммирования рядов, которые являются расходящимися. Строгие методы исследования сходимости рядов были разработаны в 19 в. (О. Коши, Н. Абель, Б. Больцано, К. Вейерштрасс и др.). Понятие равномерной сходимости сформировалось в работах Н. Абеля, немецкого математика и астронома Ф. фон Зейделя (1847–48) и Дж. Стокса (1848). Дальнейшие расширения понятия сходимости были связаны с развитием теории функций, функционального анализа и топологии.