Топологи́ческое простра́нство, множество с заданной на нём топологией, т. е. пара $(X,\mathcal{O})$, состоящая из множества $X$ и некоторого семейства $\mathcal{O}$ подмножеств множества $X$, удовлетворяющего следующим условиям:

(O1) $\varnothing\in\mathcal{O}$ и $X\in\mathcal{O}$ (пустое множество $\varnothing$ и всё множество $X$ принадлежат семейству $\mathcal{O})$;

(O2) если $U_1\in\mathcal{O}$ и $U_2\in\mathcal{O}$, то $U_1\cap U_2\in\mathcal{O}$ (пересечение любых двух множеств из $\mathcal{O}$ есть множество из $\mathcal{O}$);

(O3) если $\mathcal{A}\subset\mathcal{O}$, то $\bigcup\mathcal{A}\in\mathcal{O}$ (объединение любого семейства множеств из $\mathcal{O}$ есть множество из $\mathcal{O}$).

Семейство $\mathcal{O}$ в этом случае называется топологией на множестве $X$; элементы множества $X$ называются точками топологического пространства $(X,\mathcal{O})$, а элементы семейства $\mathcal{O}$ – множествами, открытыми в топологическом пространстве $(X,\mathcal{O})$. Если это не приводит к путанице, топологическое пространство $(X, \mathcal{O})$ обозначается просто через $X$ (при этом подразумевается, что на множестве $X$ задана некоторая топология) – тогда, соответственно, говорят о точках топологического пространства $X$ и о множествах, открытых в нём (последние также называются открытыми подмножествами топологического пространства $X$).

Свойства (O1)–(O3) семейства открытых множеств топологического пространства могут быть переформулированы следующим образом:

(O1′) пустое множество и всё пространство суть открытые множества;

(O2′) пересечение двух открытых множеств есть открытое множество;

(O3′) объединение любого семейства открытых множеств есть открытое множество.

Из (O2) следует, что пересечение любого конечного семейства открытых множеств есть открытое множество. Свойства (O1)–(O3) часто называют аксиомами открытых множеств топологического пространства.

Простейшими примерами топологий на произвольном множестве $X$ являются антидискретная и дискретная топологии; они различны, если $X$ состоит из более чем одного элемента. Если $\mathcal{O}_1$ и $\mathcal{O}_2$ – две топологии на множестве $X$ и $\mathcal{O}_1\subset \mathcal{O}_2$ [другими словами, если все множества, открытые в пространстве $(X,\mathcal{O}_1)$, открыты и в пространстве $(X, \mathcal{O}_2)$], то говорят, что топология $\mathcal{O}_1$ слабее (или грубее) топологии $\mathcal{O}_2$, а топология $\mathcal{O}_2$ сильнее (или тоньше) топологии $\mathcal{O}_1$. Антидискретная топология на множестве $X$ является слабейшей (самой грубой) топологией на $X$, а дискретная – сильнейшей (самой тонкой). Семейство всех топологий на множестве $X$, упорядоченное относительно включения, является полной решёткой: её наименьшим и наибольшим элементами являются соответственно антидискретная и дискретная топологии на $X$, а точной нижней гранью непустого семейства $\{\mathcal{O}_t\}_{t\in T}$ топологий на $X$ является пересечение

$$\bigcap_{t\in T}\mathcal{O}_t=\{U\subset X: U\in\mathcal{O}_{t}\text{ для всех } t\in T\}.$$Часто оказывается, что для определения какой-либо топологии $\mathcal{O}$ на множестве $X$ проще указать не все элементы семейства $\mathcal{O}$, а только элементы некоторого подсемейства $\mathcal{B}\subset\mathcal{O}$, достаточные для того, чтобы все остальные открытые множества получались как объединения множеств из семейства $\mathcal{B}$ (т. е. чтобы топология $\mathcal{O}$ была порождена базой $\mathcal{B}$). Так, обычная топология вещественной прямой $\mathbb R$ может быть определена как топология, порождённая базой, состоящей из всех интервалов $(a,b)$, где $a,b\in\mathbb R$, $a<b$ (можно даже ограничиться лишь интервалами с рациональными концами). Аналогично, например, топология прямой Зоргенфрея имеет достаточно простое описание с помощью базы.

Окрестностью точки $x$ в топологическом пространстве $X$ называется любое множество $V\subset X$, которое содержит какое-либо открытое множество $U$, содержащее точку $x$:

$$x\in U,\quad U\subset V.$$Множество $V$ открыто в том и только том случае, если оно является окрестностью каждой своей точки. Иногда под окрестностями точки понимают лишь её открытые окрестности (т. е. открытые множества, содержащие данную точку).

Пусть $(X,\mathcal{O})$ – топологическое пространство; множество $F\subset X$ называется замкнутым в этом пространстве (или замкнутым подмножеством этого пространства), если его дополнение $X\setminus F$ – открытое множество. Семейство $\mathcal{C}=\{F\subset X: X\setminus F\in\mathcal{O}\}$ замкнутых множеств обладает свойствами, двойственными к свойствам (O1)–(O3):

(C1) $X\in\mathcal{C}$ и $\varnothing\in\mathcal{C}$;

(C2) если $F_1\in\mathcal{C}$ и $F_2\in\mathcal{C}$, то $F_1\cup F_2\in\mathcal{C}$;

(C3) если $\mathcal{A}\subset\mathcal{C}$, то $\bigcap\mathcal{A}\in\mathcal{C}$.

Эти свойства могут быть переформулированы следующим образом:

(C1′) всё пространство и пустое множество суть замкнутые множества;

(C2′) объединение двух замкнутых множеств есть замкнутое множество;

(C3′) пересечение любого семейства замкнутых множеств есть замкнутое множество.

Из (C2) следует, что объединение любого конечного семейства замкнутых множеств замкнуто. Множества, являющиеся одновременно и открытыми, и замкнутыми, называются открыто-замкнутыми.

Задание семейства $\mathcal{C}$, обладающего свойствами (C1)–(C3), равносильно заданию топологии; более точно эта связь описывается следующим образом. Пусть дано семейство $\mathcal{C}$ подмножеств множества $X$, обладающее свойствами (C1)–(C3), тогда семейство

$$\mathcal{O}=\{X\setminus F: F\in\mathcal{C} \}$$обладает свойствами (O1)–(O3), причём семейство $\mathcal{C}$ есть семейство замкнутых множеств топологического пространства $(X,\mathcal{O})$; так определённая топология $\mathcal{O}$ называется топологией, порождённой семейством замкнутых множеств $\mathcal{C}$. В силу этого утверждения свойства (C1)–(C3) часто называют аксиомами замкнутых множеств топологического пространства.

Пусть $X$ – топологическое пространство и $A\subset X$. Пересечение всех замкнутых в $X$ множеств, содержащих $A$, называется замыканием множества $A$ в пространстве $X$ и обозначается через $\overline{A}$ (другие употребительные обозначения: $\mathop{\mathrm{cl}}A$, $\mathop{\mathrm{Cl}}A$, $[A]$). Замыкание $\overline A$ есть наименьшее замкнутое множество, содержащее $A$; оно также может быть определено как множество точек прикосновения множества $A$. Множество $A$ замкнуто в том и только том случае, если оно совпадает со своим замыканием, т. е. $A=\overline{A}$. Оператор замыкания на множестве $X$ (т. е. отображение, ставящее в соответствие каждому множеству $A\subset X$ его замыкание $\overline A$) обладает следующими свойствами:

(CO1) $\overline{\varnothing}=\varnothing$;

(CO2) $A\subset\overline{A}$;

(CO3) $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}$;

(CO4) $\overline{(\overline{A})}=\overline{A}$.

Задание оператора, удовлетворяющего свойствам (CO1)–(CO4), равносильно заданию топологии. Более точно, пусть на множестве $X$ задан оператор $\overline{\phantom{A}}$, приписывающий каждому множеству $A\subset X$ множество $\overline{A}$ так, что выполнены условия (CO1)–(CO4). Тогда семейство $\mathcal{C}=\{A\subset X: A=\overline A\}$ обладает свойствами (C1)–(C3), а семейство $\mathcal{O}=\{X\setminus F: F\in\mathcal{C} \}$ – свойствами (O1)–(O3); при этом для каждого $A\subset X$ множество $\overline A$ является замыканием множества $A$ в топологическом пространстве $(X,\mathcal{O})$. Так определённая топология $\mathcal{O}$ называется топологией, порождённой оператором замыкания $\overline{\phantom{A}}$. В силу данного утверждения свойства (CO1)–(CO4) часто называют аксиомами замыкания в топологическом пространстве.

Отображение $f\colon X\to Y$ из топологического пространства $X$ в топологическое пространство $Y$ называется непрерывным в точке $x\in X$, если для любой окрестности $V$ точки $y=f(x)$ в пространстве $Y$ найдётся окрестность $U$ точки $x$ в пространстве $X$, такая, что $f(U)\subset V$. Отображение $f$ называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке $x\in X$. Непрерывность отображения $f$ равносильна любому из следующих условий:

a) прообраз $f^{-1}(V)$ любого открытого множества $V\subset Y$ открыт в $X$;

b) прообраз $f^{-1}(F)$ любого замкнутого множества $F\subset Y$ замкнут в $X$;

c) $f(\overline{A})\subset\overline{f(A)}$ для любого $A\subset X$ (т. е. образ замыкания любого множества содержится в замыкании его образа);

d) $\overline{f^{-1}(B)}\subset f^{-1}(\overline B)$ для любого $B\subset Y$ (т. е. замыкание прообраза любого множества содержится в прообразе его замыкания).

Композиция $g\circ f$ непрерывных отображений $f\colon X\to Y$ и $g\colon Y\to Z$ является непрерывным отображением.

Таким образом, топологические пространства и их непрерывные отображения могут быть аксиоматически описаны несколькими эквивалентными способами: в терминах открытых множеств, в терминах замкнутых множеств, в терминах оператора замыкания. Кроме того, понятия топологического пространства и непрерывного отображения могут быть определены – также эквивалентным образом – в терминах систем окрестностей точек, либо в терминах оператора внутренности множества, оператора границы множества, отношения близости точки и множества (т. е. отношения «быть точкой прикосновения множества»), в терминах сходимости направленностей или сходимости фильтров. Наиболее полно эта эквивалентность различных определений может быть выражена как изоморфизм соответствующих конкретных категорий.

Непрерывное отображение $f\colon X\to Y$ топологических пространств называется гомеоморфизмом, если оно взаимно однозначно отображает $X$ на $Y$ и обратное отображение $f^{-1}$ из $Y$ в $X$ непрерывно. Топологические пространства $X$ и $Y$ называются гомеоморфными, если существует гомеоморфизм $f\colon X\to Y$.

К важнейшим классам топологических пространств относятся пространства, определяемые аксиомами отделимости (в том числе хаусдорфовы, регулярные, тихоновские, нормальные пространства), а также компактные, локально компактные, паракомпактные, полные по Чеху, метризуемые, секвенциальные пространства, $k$-пространства и др. Важнейшими классами непрерывных отображений являются факторные, открытые, замкнутые и совершенные отображения.

Современное понятие топологического пространства впервые было сформулировано Ф. Хаусдорфом (Hausdorff. 1914). Он определил топологическое пространство в терминах систем открытых окрестностей, которые удовлетворяют определённым условиям (аксиомам). Г. Титце (Tietze. 1923) предложил определение топологического пространства в терминах открытых множеств; более простой набор аксиом для открытых множеств, по существу совпадающий с современным, несколько позже ввёл П. С. Александров (Alexandroff. 1925). Указанные ранние определения топологических пространств включали дополнительное условие, эквивалентное, в современных терминах, хаусдорфовости пространства. Определение топологического пространства в терминах оператора замыкания, удовлетворяющего условиям (CO1)–(CO4), было дано К. Куратовским (Kuratowski. 1922); в его честь эти условия также называются аксиомами Куратовского.

Подробности об историческом развитии понятий, связанных с топологическими пространствами, см. в книге Дж. Мангейма (Manheim. 1964) и статье Г. Мура (Moore. 2008).