Геометри́ческая прогре́ссия, последовательность отличных от нуля чисел

$$a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots,$$у которой частное от деления последующего члена на предыдущий постоянно: $$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q$$ для $n=1,2,\ldots$. Число $q$ называется знаменателем данной геометрической прогрессии. Часто принимается эквивалентное определение: геометрической прогрессией называется числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля и каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нуля число $q$ (называемое знаменателем геометрической прогрессии).

Каждый член $a_n$ геометрической прогрессии выражается через её первый член $a_1$ и знаменатель $q$ формулой

$$a_n=a_1q^{n-1},$$откуда следует, что любая геометрическая прогрессия имеет вид

$$a, aq, aq^2, aq^3, \ldots,$$где $a\neq0, q\neq0$.

Если $q<0$, то геометрическая прогрессия является знакочередующейся (т. е. её соседние члены имеют разные знаки); если $q>0$, то все её члены имеют один и тот же знак. Если $q=1$, то геометрическая прогрессия постоянна (т. е. все её члены равны). Если первый член $a_1$ геометрической прогрессии положителен и $q>1$, то эта геометрическая прогрессия неограниченно возрастает. Если $a_1>0$ и $0<q<1$, то геометрическая прогрессия убывает, причем её члены стремятся к нулю.

Любой член геометрической прогрессии, начиная со второго, связан с предыдущим и последующим членами равенством

$$a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}.\tag{1}$$В случае, когда все члены геометрической прогрессии положительны, это равенство равносильно равенству $a_n=\sqrt{a_{n-1}a_{n+1}}$, т. е. любой член, начиная со второго, равен геометрическому среднему предыдущего и последующего членов (отсюда происходит термин «геометрическая прогрессия»). Свойство (1) является характеристическим для геометрической прогрессии, т. е. если последовательность отличных от нуля чисел $a_1, a_2, \ldots$ такова, что при всех $n\geqslant2$ имеет место равенство (1), то эта последовательность является геометрической прогрессией.

Сумма $S_n=a_1+a_2+\ldots+a_n$ первых $n$ членов геометрической прогрессии со знаменателем $q$ выражается формулой

$$S_n=\begin{cases} a_1\dfrac{q^n-1}{q-1}=a_1\dfrac{1-q^n}{1-q}, &\text{ если } q\neq1,\\ na_1, &\text{ если } q=1. \end{cases}$$Если $|q|<1$, то при неограниченном возрастании $n$ сумма $S_n$ стремится к пределу $\dfrac{a_1}{1-q}$. Отсюда следует, что ряд $$a+aq+aq^2+aq^3+\ldots$$сходится при $|q|<1$, и его сумма (обычно называемая суммой бесконечной геометрической прогрессии) в этом случае равна $\dfrac{a}{1-q}$.

Часто рассматривают конечные геометрические прогрессии, т. е. конечные числовые последовательности $a_1, a_2, \ldots a_m$, у которых все члены отличны от нуля и частное от деления последующего члена на предыдущий постоянно; каждая конечная геометрическая прогрессия может быть продолжена до бесконечной.