Ме́трика (в математике), расстояние, определённое для любых двух элементов (точек) некоторого множества $X$. Точнее, метрика – функция $d(x,y)$, определённая для любых двух элементов $x,y$ из $X$, удовлетворяющая условиям:

• $d(x,y)⩾0$ и $d(x,y)=0$ тогда и только тогда, когда $x=y$;

• $d(x,y)=d(y,x)$ (симметрия);

• $d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z)$ для любой тройки элементов $x,y,z∈X$ (неравенство треугольника).

Название последнего свойства происходит из свойства обычного расстояния на плоскости: длина любой из сторон треугольника не больше суммы длин двух других его сторон.

Множество $X$ с введённой на нём метрикой $d(x,y)$ называется метрическим пространством. На одном и том же множестве $X$ могут рассматриваться разные метрики, при этом получаются различные метрические пространства. Примером метрики является обычное расстояние на прямой ${\bf{R}}^1$, определяемое равенством $d(x,y)= ∣ x-y ∣$ для любых действительных чисел $x,y$. Здесь $∣x-y∣$ означает абсолютную величину числа $x-y$. В $n$-мерном пространстве рассматривают метрику $$d(x,y)=(\sum_{k=1}^n ∣x_k-y_k∣^p)^{1/p},$$где $p$ – фиксированное число, $p⩾1$, а $x=\{x_1,...,x_n\}, y=\{y_1,...,y_n\}$ – элементы пространства, являющиеся наборами $n$ действительных чисел (координат). Выполнение аксиомы треугольника гарантируется в этом случае неравенством Минковского. Случай $p=2$ соответствует обычному расстоянию в евклидовом $n$-мерном пространстве ${\bf{R}}^n$; неравенство треугольника в этом случае следует из неравенства Коши.

В пространствах функций могут быть введены различные метрики, от которых зависят свойства получающихся метрических пространств. Выбор метрики определяется спецификой решаемых задач. Например, на множестве непрерывных на отрезке $[a,b]$ функций можно ввести равномерную метрику, полагая для таких функций $f,g$ $$d(f,g)=\max_{a⩽x⩽b}{∣}f(x)-g(x) {∣}$$ (так получаемые пространства обозначают $C[a,b]$) или интегральную метрику (при фиксированном $p⩾1$) $$d(f,g)=(\int\limits_a^b |f(x)-g(x)|^pdx)^{1/p}.$$Если пространство $X$ является линейным нормированным пространством, то в качестве метрики обычно выбирается норма, т. е. $d(x,y)= ‖ x-y ‖$ . В гильбертовом пространстве метрика задаётся равенством $$d(x,y)=\sqrt{(x-y, x-y)}.$$