Рациона́льная фу́нкция, функция вида$$R(z)=\frac{P(z)}{Q(z)},$$где $P(z)$ и $Q(z)$ – многочлены$$P(z)=a_0z^n+a_1z^{n–1}+\ldots+a_n,\\ Q(z)=b_0z^m+b_1z^{m–1}+\ldots+b_m,$$
$a_0, a_1, \ldots, a_n, b_0, b_1, \ldots, b_m$– постоянные, называемые коэффициентами рациональной функции, $a_0≠0$, $b_0≠0$, $n, m$ – целые неотрицательные числа. В частности, рациональными функциями являются многочлен и дробно-линейная функция. Можно считать, что многочлены $P(z)$ и $Q(z)$ взаимно простые, т. е. не имеют общих корней, т. к. в противном случае дробь $\frac{P(z)}{Q(z)}$ можно сократить.

Рациональная функция является мероморфной функцией в расширенной комплексной плоскости. Справедливо и обратное утверждение: мероморфная в расширенной комплексной плоскости функция является рациональной функцией. Полюсами рациональной функции являются корни её знаменателя и точка $z=∞$, если $n\gt m$. При $z→∞$ имеет место асимптотическая формула $$R(z)\approx \frac{a_0}{b_0}z^{n-m}.$$Сумма, разность, произведение, частное и суперпозиция (сложная функция) рациональных функций также являются рациональными функциями. Производная рациональной функции – также рациональная функция. Если $z_0≠∞$ – полюс рациональной функции $R(z)$ порядка $k$, то $z_0$ – полюс рациональной функции $R'(z)$ порядка $k+1$; если $n\gt m+1$, то $z_0=∞$ – полюс функции $R'(z)$ порядка $n-m-1$.

Рациональная функция называется правильной рациональной функцией, если $n\lt m$. При $n⩾m$ рациональную функцию можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной функции: где $M(z)$ – многочлен степени $n-m$, $N(z)$ – многочлен степени, меньшей $m$. Такое представление однозначно, многочлены $M(z), N(z)$ можно найти из формулы $$P(z)=M(z)Q(z)+N(z)$$методом неопределённых коэффициентов. Правильную рациональную функцию можно разложить на элементарные дроби, т. е. представить в виде конечной суммы элементарных дробей, поэтому любую рациональную функцию можно представить в виде многочлена и конечной суммы элементарных дробей: $$R(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{P(z)}{b_0(z-z_1)^{k_1}\ldots (z-z_s)^{k_s}}=\\=M(z)+\frac{A_{1}^{(1)}}{z-z_1}+\ldots\frac{A_{k_1}^{(1)}}{(z-z_1)^{k_1}}+\ldots+\frac{A_{1}^{(s)}}{z-z_s}+\ldots+\frac{A_{k_s}^{(s)}}{(z-z_s)^{k_s}},$$где $z_1, \ldots, z_s$ – различные корни многочлена $Q(z)$ кратностей соответственно $k_1, \ldots, k_s$, $k_1+ \ldots+k_s=m$. Коэффициенты этого разложения определяются однозначно и могут быть найдены, например, методом неопределённых коэффициентов. Разложение рациональной функции на элементарные дроби удобно для вычисления интеграла от рациональной функции.

Рациональная функция нескольких переменных определяется как дробь, у которой числитель и знаменатель – многочлены нескольких переменных.