Пове́рхность, одно из основных понятий геометрии. При уточнении этого понятия в разных разделах геометрии ему придаётся различный смысл.

В школьном курсе геометрии рассматриваются плоскости, многогранники, а также некоторые кривые поверхности. Каждая из кривых поверхности определяется специальным способом, чаще всего как множество точек, удовлетворяющих некоторым условиям. Например, поверхность шара – множество точек, находящихся на заданном расстоянии от данной точки (центра шара). Понятие поверхности лишь поясняется, а не определяется. Например, говорят, что поверхность есть граница тела или след движущейся линии.

Математически строгое определение поверхности основывается на понятиях топологии. При этом основным является понятие простой поверхности, которую можно представить как кусок плоскости, подвергнутый непрерывным деформациям (растяжениям, сжатиям или изгибаниям). Более точно, простой поверхностью называется образ гомеоморфного (т. е. взаимно однозначного и взаимно непрерывного) отображения внутренности квадрата. Этому определению можно дать аналитическое выражение. Пусть на плоскости с прямоугольной системой координат $u$ и $v$ задан квадрат, координаты внутренних точек которого удовлетворяют неравенствам $0\lt u\lt 1$, $0\lt v\lt 1$. Гомеоморфный образ этого квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат $x, y, z$ задаётся при помощи формул $x=φ(u, v), y=ψ(u, v), z=χ(u, v)$ (параметрические уравнения поверхности). При этом от функций $φ(u, v), ψ(u, v), χ (u, v)$ требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек $(u, v)$, и $(u', v')$ были различны соответствующие точки $(x, y, z)$ и $(x', y', z')$. Примером простой поверхности является полусфера. Вся же сфера не является простой поверхностью. Это вызывает необходимость дальнейшего обобщения понятия поверхности. Поверхность, окрестность каждой точки которой есть простая поверхность, называется правильной. С точки зрения топологического строения поверхности, как двумерные многообразия, разделяются на несколько типов: замкнутые и открытые, ориентируемые и неориентируемые и др.

В дифференциальной геометрии исследуемые поверхности обычно подчинены условиям, которые связаны с возможностью применения методов дифференциального исчисления. Как правило, это – условия гладкости поверхности, т. е. существования в каждой точке поверхности определённой касательной плоскости, кривизны и т. д. Эти требования сводятся к тому, что функции $φ(u, v), ψ(u, v), χ(u, v)$ предполагаются однократно, дважды, трижды, а в некоторых вопросах – неограниченное число раз, дифференцируемыми или даже аналитическими функциями. Кроме того, требуется, чтобы в каждой точке хотя бы один из определителей

$$\begin{vmatrix}φ_u' & φ_v' \\ ψ_u'& ψ_v'\end{vmatrix},\,\, \begin{vmatrix}φ_u' & φ_v' \\ χ_u'& χ_v'\end{vmatrix},\,\, \begin{vmatrix}ψ_u' & ψ_v' \\ χ_u'& χ_v'\end{vmatrix}$$был отличен от нуля.

В аналитической и алгебраической геометрии поверхность определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений

$$Φ(x, y, z)=0.\tag{*}$$Определённая таким образом поверхность может и не иметь наглядного геометрического образа. В этом случае для сохранения общности говорят о мнимых поверхностях. Например, уравнение $x^2+y^2+z^2+ 1=0$ определяет мнимую сферу, хотя в действительном пространстве нет ни одной точки, координаты которой удовлетворяют этому уравнению. Если функция $Φ (x, y, z)$ непрерывна в некоторой точке и имеет в ней непрерывные частные производные ${\partial Φ}/{\partial x} ,{\partial Φ}/{\partial y}, {\partial Φ}/{\partial z}$, из которых хотя бы одна не обращается в нуль, то в окрестности этой точки поверхность, заданная уравнением (*), будет правильной.