Приближе́ние фу́нкций компле́ксного переме́нного, раздел комплексного анализа, изучающий вопросы приближённого представления (аппроксимации) функций комплексного переменного посредством аналитических функций специальных классов. Центральная проблематика относится к приближению функций многочленами и рациональными функциями. Основными являются задачи о возможности приближения, скорости приближения и аппроксимационных свойствах различных способов представления функций (интерполяционных последовательностей и рядов, рядов по ортогональным многочленам и многочленам Фабера, разложений в непрерывные дроби и т. п.). Теория приближений тесно связана с другими разделами комплексного анализа (теорией конформных отображений, интегральными представлениями, теорией потенциала и др.); многие теоремы, формулируемые в терминах теории приближений, являются, по существу, глубокими результатами о свойствах аналитических функций и природе аналитичности.

Одним из первых результатов о полиномиальной аппроксимации является теорема Рунге, согласно которой любая функция, голоморфная в односвязной области плоскости комплексного переменного $z$, может быть равномерно аппроксимирована на компактных подмножествах этой области посредством многочленов от $z$. Общая задача о возможности равномерного приближения многочленами ставится так: для каких компактов $K$ в комплексной плоскости любая функция $f$, непрерывная на $K$ и голоморфная на множестве внутренних точек $K$, допускает равномерную аппроксимацию на $K$ (с любой степенью точности) посредством многочленов от $z$. Необходимым и достаточным условием возможности такой аппроксимации является связность дополнения компакта $K$. Эта теорема в частных случаях доказана М. А. Лаврентьевым (1934) и М. В. Келдышем (1945), в общем случае – С. Н. Мергеляном (1951).

Пусть $E_n=E_n(f, K)$ – наилучшее приближение функций $f(z)$ на компакте $K$ посредством многочленов от $z$ степени не выше $n$. Если $K$ – компакт со связным дополнением и функция $f$ голоморфна на $K$, то последовательность $\{E_n\}$ стремится к нулю быстрее некоторой геометрической прогрессии: $E_n\lt q^n$, $0\lt q=q(f)\lt 1$, $n>N$. Если $f$ непрерывна на $K$ и голоморфна во внутренних точках $K$, то скорость её аппроксимации многочленами зависит как от свойств $f$ на границе $K$ (модуль непрерывности, дифференцируемость), так и от геометрических свойств границы $K$.

Другие направления исследований в теории приближений функций комплексного переменного: равномерные и наилучшие приближения рациональными функциями, приближения целыми функциями, весовые приближения многочленами, приближения многочленами и рациональными функциями в интегральных метриках. Большое внимание уделяется проблематике, связанной с приближением функций нескольких комплексных переменных.