Интерполя́ция (от ср.-век. лат. interpolatio – подновление, изменение) в математике, метод восстановления (обычно приближённого) функции по значениям самой функции и, возможно, некоторых её производных на конечном множестве точек. Например, если с помощью таблицы значений функции $f$ нужно найти её значение в точке $x$, не входящей в таблицу, находят 2 соседних значения аргумента $x_1$ и $x_2$, ${x}_1<{x}<{x}_2$, и пользуются формулой кусочно линейной интерполяции $$f(x)\cong f(x_1)\frac{x_2-x}{x_2-x_1}+f(x_2)\frac {x-x_1}{x_2-x_1}.$$Для решения задач интерполяцией часто используются многочлены $P_n(x)=\sum_{k=0}^n c_kx^k$, где $c^k$ – действительные числа. Такой выбор аппроксимирующих функций связан с тем, что многочленами можно сколь угодно точно приблизить любую непрерывную функцию на конечном отрезке.

Рассматриваются 3 типа задач.

1. Простая (лагранжева) интерполяция. Функция $f(x)$ задана в точках (узлах интерполяции) $a⩽x_0<{x}_1<\ldots\,<{x}_{n}⩽{b}$. Ищется многочлен $P_n(x)$, удовлетворяющий условиям $P_n(x_i)(x_i)=f(x_i)$, $i=0,\, 1,\,\ldots,\,n$.

2. Кратная (эрмитова) интерполяция. Заданы значения функции и её производных $f^{(s)}(x_i)$, $s=0,\, 1,\ldots,k_i, k_i$ – натуральные числа, $i=0, 1,\ldots,n$. Ищется многочлен $P_N(x)$ степени $N$, равной $\sum_{i=0}^n (k_i-1)-1$, удовлетворяющий условиям $P_N^{(s)} (x_i)=f^{(s)}(x_i)$, $s=0, 1,\ldots,k_i$; $i=0,1,\ldots,n$.

3. Биркгофова интерполяция аналогична предыдущей, но в отдельных точках могут не задаваться значения функции или значения её производных. Задачи 1 и 2 всегда разрешимы, их решения выписываются в явном виде. Задача 3 может не иметь решения.

Если на $[a,\,b]$ непрерывна производная $f^{(n+1)}(x)$ и $|f^{(n+1)}(x)|⩽M$, то для последовательности интерполяционных многочленов Лагранжа справедлива оценка $$\bigl|f(x)-P_n(x)\bigl|\leqslant \frac{M}{(n+1)!}\bigl|(x-x_0)(x-x_1)\ldots(x-x_n)\bigl|.$$Однако даже в этом случае при задании $f(x_i)$ с погрешностью модуль $P_n(x)$ при росте $n$ неограниченно возрастает. Поэтому использовать многочлены высокой степени для восстановления функций не рекомендуется. Кроме того, для любой последовательности узлов интерполяции существует непрерывная на $[a,\,b]$ функция, для которой последовательность интерполяционных многочленов Лагранжа не сходится к этой функции.

Кусочно линейная интерполяция не имеет подобных недостатков. Последовательность интерполяционных ломаных сходится к интерполируемой непрерывной функции при условии, что максимальное расстояние между соседними узлами интерполяции стремится к нулю. Если же значения функции в узлах интерполяции заданы с погрешностью $δ$, то к погрешности кусочно линейной аппроксимации добавляется слагаемое, по модулю не превосходящее $δ$. Аналогичными свойствами обладают полиномиальные сплайны произвольной степени $k$ дефекта 1 с равномерными узлами склейки и интерполяции. Кусочно линейная функция – это полиномиальный сплайн степени 1 дефекта 1. Кроме многочленов и полиномиальных сплайнов, в задачах интерполяции используются тригонометрические многочлены, рациональные функции (отношения многочленов) и другие системы сплайнов.

Методы интерполяции используются для приближённого интегрирования, в машинной графике, при численном решении дифференциальных уравнений. Развиваются также методы интерполяции для функций нескольких переменных. При этом проблемы разрешимости задач интерполяции оказываются более сложными. Многомерные задачи кусочно полиномиальной интерполяции используются в методах численного решения краевых задач для уравнений с частными производными.