Уравнение Лапласа

Уравне́ние Лапла́са, дифференциальное уравнение с частными производными

$$\frac{\partial^2u}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2u}{\partial x_2^2}+\dots+\frac{\partial^2u}{\partial x_n^2} =0,$$

где $x_1,x_2,...,x_n$ – независимые переменные, а $u=u(x_1,x_2,...,x_n)$ – искомая функция. При $n⩾2$ решения уравнения Лапласа, имеющие непрерывные частные производные до 2-го порядка, называются гармоническими функциями. В трёхмерном случае к уравнению Лапласа приводит ряд задач физики и техники. Например, уравнению Лапласа удовлетворяют температура при стационарных процессах, потенциал электростатического поля в точках пространства, свободных от зарядов, и потенциал поля тяготения в области, не содержащей притягивающих масс. Уравнения Лапласа встречаются у Л. Эйлера (1761) и Ж. Д’Аламбера (1761) в работах, связанных с задачами гидромеханики. Широкую известность уравнение Лапласа получило после появления работ П.-С. Лапласа (1782, 1799) по небесной механике.