Одноли́стная фу́нкция, функция $f$, регулярная или мероморфная в области $B$ расширенной комплексной плоскости $\overline{\mathbb C}$ и такая, что для всяких $z_1, z_2\in B$, $z_1\ne z_2$, выполняется соотношение $f(z_1)\ne f(z_2)$, т. е. $f$ отображает $B$ в $\overline{\mathbb C}$ взаимно однозначно. При этом обратная функция $z=f^{-1}(w)$ также однолистна. Обобщением однолистных функций являются многолистные функции, в частности $p$-листные функции.

При изучении однолистных функций одним из основных является вопрос о возможности однолистного отображения заданной области $B$ на заданную область $B'$ (т. е. отображения с помощью однолистной функции). Необходимым условием существования такого отображения является равенство порядков связности областей $B$ и $B'$ (см., например, Голузин. 1966. С. 28). Если $B$ и $B'$ – односвязные области, границы которых содержат более одной точки, то это условие является и достаточным (см. Теорема Римана о конформном отображении) и задача сводится к отображению заданной области на круг. В связи с этим особую роль в теории однолистных функций в односвязных областях играет класс $S$ функций $f$, регулярных и однолистных в круге $\Delta = \{z\in\mathbb C: |z|<1\}$, нормированных условиями $f(0)=0$, $f'(0)=1$ и имеющих разложение$$f(z) = z + c_2 z^2 + \dots + c_n z^n + \dots, \quad z\in\Delta. \tag{1}$$В случае многосвязных областей изучают отображение заданной многосвязной области на т. н. канонические области (см. Конформное отображение). Пусть $\Sigma(B)$ – класс функций $F$, мероморфных и однолистных в области $B$, содержащей точку $\infty$, и имеющих в окрестности точки $\infty$ разложение$$F(z) = z+\alpha_0+ \alpha_1 z^{-1} + \dots + \alpha_n z^{-n}+\dots \tag{2}$$Если $B = \{z\in \overline{\mathbb C}: |z|>1\}=\Delta'$, то этот класс обозначают $\Sigma$.

Основные задачи теории однолистных функций следующие: 1) изучение соответствия границ при конформном отображении (см. Принцип соответствия границ, Граничные элементы области, Достижимая граничная точка); 2) получение условий однолистности; 3) решение различных экстремальных задач теории функций, в частности получение оценок различных функционалов и областей значений функционалов (см. ниже) и их систем в том или другом классе.

Пусть имеется некоторый класс (множество) $K$ регулярных или мероморфных функций и пусть на $K$ задан комплексный функционал $w=\Phi(f)$ [или система функционалов $\{\Phi_k(f)\}_{k=1}^n$]. Областью значений функционала $\Phi(f)$ [или системы функционалов $\{\Phi_k(f)\}_{k=1}^n$] на классе $K$ называется множество $D$ точек $w=\Phi(f)$ комплексного пространства $\mathbb C$ [соответственно множество точек $(\Phi_1(f),\dots,\Phi_n(f))$ $n$-мерного комплексного пространства $\mathbb C^n$] таких, что $f\in K$. Рассматриваются также действительные функционалы. Всякое множество $D'$, содержащее $D$, называется мажорантной областью функционала (или системы функционалов). Знание области значений функционала позволяет свести решение ряда экстремальных задач к более простым задачам анализа. Например, если известна область $D$ значений функционала $f(z_0)$, $f\in K$ ($z_0$ фиксировано), то задача оценки $|f(z_0)|$ сверху и снизу сводится к нахождению самой далёкой и самой близкой точек из $D$ по отношению к точке $w = 0$.

Первые существенные результаты в теории однолистных функций получены использованием принципа площадей. С помощью внешней теоремы площадей Л. Бибербах (Bieberbach. 1916) получил точные оценки $|f(z)|$ и $|f'(z)|$ сверху и снизу для $f\in S$ (см. Теоремы искажения), дал оценку $|c_2|\le 2$ для $f\in S$ и высказал гипотезу, что $|c_n|\le n$ для $f\in S$ (см. Гипотеза Бибербаха, Проблема коэффициентов для класса S). Им же найдено точное значение постоянной Кёбе. Были также получены оценки модуля функции, модуля её производной и другие оценки в классах выпуклых функций, звездообразных функций, типично вещественных функций и др. В ряде классов найдены радиус выпуклости и радиус звездообразности (см. Граница звездообразности).

Ниже приведены основные методы теории однолистных функций и некоторые результаты, полученные с их помощью.

1. Метод интегральных представлений

Это метод даёт возможность достаточно просто решать многие задачи теории функций, в частности экстремальные задачи в классах функций, имеющих представление с помощью интегралов Стилтьеса: выпуклых функций, почти выпуклых функций, звездообразных функций, типично вещественных функций, функций с положительной действительной частью (см. Класс Каратеодори). Для классов функций, представимых посредством интеграла Стилтьеса, разработан некоторый вариационный метод (см. Голузин. 1966. С. 504–519), с помощью которого решён ряд экстремальных задач. Для таких классов также разработан метод внутренних вариаций.

Найдены выпуклые оболочки некоторых подклассов класса $S$ (см. Brickman. 1971). Здесь, в частности, доказано, что для всякой звездообразной функции $f$ существует неубывающая на $[0,2\pi]$ функция $\mu$, такая, что $\mu(2\pi)-\mu(0)=1$ и$$f(z) = \int_{0}^{2\pi}\frac{z}{(1-e^{i\theta}z)^2}d\mu(\theta).$$(См. также Интегральное представление аналитической функции, Параметрическое представление функции, Метод параметрических представлений.)

2. Метод контурного интегрирования

С помощью этого метода, в частности, доказано, что для $f\in S$ справедливо неравенство $$\Big|\frac{z}{f(z)}+c_2 z + 1-|z|^2 -2 \frac{\mathbf{E}(|z|)}{\mathbf{K}(|z|)}\Big| \le 2\Big(1 - \frac{\mathbf{E}(|z|)}{\mathbf{K}(|z|)}\Big),\quad |z|<1,$$где $\mathbf E$ и $\mathbf K$ – полные эллиптические интегралы (см. Голузин. 1966. С. 135–139). Если $z$ фиксировано ($0 <|z|< 1$) , то это неравенство определяет область значений функционала $\frac{z}{f(z)}+c_2 z$ в классе $S$. Получены усиления теорем искажения и доказаны теоремы об искажении хорд в классах $\Sigma$ и $\Sigma(B)$ (см. Теоремы искажения и Голузин. 1966. С. 118–135).

(См. также Метод контурного интегрирования.)

3. Метод площадей

Пусть $\mathfrak M(a_1,\dots,a_n)$ – класс систем функций $\{f_k(z)\}_{k=1}^n$, конформно и однолистно отображающих круг $\Delta=\{|z|<1\}$ на области $B^k\ni a_k$, попарно не имеющих общих точек (неналегающие области) и нормированных условиями $f_k(0)=a_k$. С помощью теоремы площадей в классе $\mathfrak M(\infty,a_1,\dots,a_n)$, в частности, получены следующие результаты: 1) если$$\{f_k\}_{k=1}^n\in\mathfrak M(a_1,\dots,a_n),\quad a_k\ne\infty,$$то$$\begin{gathered} \Pi_{k=1}^n \big|f_k'(0)\big|^{|\gamma_k|^2}\le \\ \le \Pi_{1\le k < l\le n} |a_k-a_l|^{-2{\rm Re}\,(\gamma_k,\overline{\gamma}_l)}, \\ \sum_{k=1}^n \gamma_k = 0;\tag{3} \end{gathered}$$это неравенство обобщает на случай комплексных $\gamma$ известное ранее неравенство для действительных $\gamma_k$;

2) если $\{f_0,f_1\}\in\mathfrak M(0,\infty)$, то$$\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}|f_0(e^{it})|^2 dt\cdot \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}|f_1(e^{it})|^{-2}dt\le 1. \tag{4}$$Для функций Бибербаха – Эйленберга $$f(z) = \sum_{k=1}^\infty a_k z^k,$$отсюда следует неравенство$$\sum_{k=1}^\infty |a_k|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} |f(e^{it})|^2 dt\le 1; \tag{4$'$}$$выяснены условия, при выполнении которых в (4) и (4') имеет место знак равенства.

С помощью теоремы площадей для неналегающих областей получена оценка приближения функции, регулярной на замкнутой многосвязной области, рациональной функцией, интерполирующей заданную функцию в узлах, равнорасположенных на границе области (см. Лебедев. 1975. С. 143–154). Получена область значений шварциана$$\{F(z),\ z\} = \Big(\frac{F''(z)}{F'(z)}\Big)'-\frac{1}{2}\Big(\frac{F''(z)}{F'(z)}\Big)$$для $F\in\Sigma(B)$ и ряд других областей значений в классах функций, заданных в многосвязных областях (см. Лeбeдeв. 1975; Милин. 1971).

4. Метод Лёвнера

Сам К. Лёвнер (1923) получил точную оценку $|c_3|\le 3$ для функций $f\in S$ и точные оценки коэффициентов разложения функции, обратной к $f$, в окрестности точки $w = 0$. В частности, этим методом получена точная форма теоремы вращения в классе $S$. Доказана теорема: для $f\in S$ при заданных $z \in \Delta$ и $|f(z)|$ справедливо неравенство$$|f'(z)|\le \frac{1}{1-|z|^2}\Big|\frac{f(z)}{z}\Big|^2 (1-x^2)^2 \Big|\frac{x}{z}\Big|^{4x^2/(1-x^2)},\tag{5}$$где $x$, $|x| < |z|$, определяется условием$$\Big|\frac{f(x)}{z}\Big|(1+x)^2 \Big|\frac{z}{x}\Big|^{2x/(1+x)}=1.$$Неравенство (5) точное. Из (5) следуют точные неравенства в классе $S$ ($0\le\theta\le 2\pi$, $0 \le r < 1$):$$\left. \begin{gathered} \big|f(re^{i\theta})\big|+\big|f(-r e^{i\theta})\big| \le \frac{r}{(1-r)^2} + \frac{r}{(1+r)^2},\\ \big|f'(re^{i\theta})\big|+\big|f'(-r e^{i\theta})\big| \le \frac{1+r}{(1-r)^3} + \frac{1-r}{(1+r)^3}. \end{gathered} \right\}\tag{6}$$Был введён весьма широкий подкласс функций $f\in S$, представимых в виде$$f(z) = \Big[(\alpha + i\beta)\int_0^z p(s)g(s)^\alpha s^{i\beta-1}ds\Big]^{1/(\alpha+i\beta)},$$где $g$ – звездообразная функция, $р$ – регулярная в $\Delta$ функция, и такая, что ${\rm Re}\{e^{i\gamma}p(z)\}>0$ для некоторого $\gamma\in[-\pi/2,\pi/2]$, $р(0)= 1$, $\alpha > 0$, $-\infty<\beta<+\infty$ (см. Александров. 1976. С. 47).

С помощью теорем искажения было установлено, что функция Кёбе$$K_\alpha(z) = z(1-e^{i\alpha} z)^{-2}\in S$$($\alpha$ – действительное) реализует максимум линейной меры покрытия окружности $|w|=\rho$ образом $B(r)$ круга $\Delta_r = \{|z|<r<1\}$ при отображении функциями класса $S$, когда $\rho>e^{\pi/e}r$. Из этого свойства функций класса $S$ следуют оценки площади $\sigma(r)$ области $B(r)$, оценки среднего модуля функции и другие оценки в классе $S$, асимптотически точные при $r\to 1$ (см. Голузин. 1966. С. 561).

Была предложена некоторая удобная редукция экстремальных задач на классе $S$ и некоторых его подклассах к определённым экстремальным задачам на более простом классе, оказавшаяся применимой к решению ряда экстремальных задач, в частности к нахождению области значений системы функционалов $\{{\rm ln}\frac{f(z)}{z},\ {\rm ln}f'(z)\}$ (здесь $z$, $0 < |z|< 1$, фиксировано) для $f\in S$ (см. Александров. 1976. С. 115–158).

Метод Лёвнера успешно применялся к исследованию свойств линий уровня и к решению экстремальных задач на подклассе $S_M$ ограниченных функций $f\in S$: $|f(z)|\le M$, $z\in\Delta$ (см. Александров. 1976. С. 150–177).

(См. также Уравнение Лёвнера, Метод Лёвнера, Метод параметрических представлений.)

5. Вариационные методы

Граничные и внутренние вариации при решении экстремальных задач приводят к дифференциальным уравнениям для границ экстремальных областей и, соответственно, для экстремальных функций. Левая часть этих уравнений, как правило, есть некоторый квадратичный дифференциал. Различные качественные характеристики функций, реализующих экстремум, получаются при исследовании свойств соответствующих квадратичных дифференциалов. В частности, для большого числа экстремальных задач в классе $S$ (и в других классах) оказывается, что экстремальная функция отображает круг $\Delta$ на всю плоскость с конечным числом аналитических разрезов. Иногда дифференциальное уравнение для экстремальной функции удаётся проинтегрировать и тем самым получить величину экстремума в исследуемой задаче и все экстремальные функции. Чаще удаётся лишь получить одно или несколько конечных уравнений для величины экстремума. Некоторые результаты, полученные вариационным методом, перечислены ниже.

Пусть $F \in\Sigma$, $w_k$, $k = 1, \dots, n$, $n \ge 2$, не принадлежат образу области $\Delta'=\{|z|>1\}$ при отображении $w=F(z)$ и пусть$$d_n(F) = \Pi_{1\le k<l\le n} |w_k - w_l|.$$Доказано, что$$d_3(F) = |(w_1-w_2)(w_2-w_3)(w_3-w_1)|\le 12\sqrt{3}$$и знак равенства имеет место только для$$F(z) = z(1+e^{i\alpha} z^{-3})^{2/3},$$где $\alpha$ – действительное (см. Голузин. 1966. С. 140–146).

Доказано (см. Голузин. 1966. С. 127–135), что область значений функционала$$w = \sum_{\nu,\ \nu'=1}^n \gamma_\nu\gamma_{\nu'}\,{\rm ln}\,\frac{F(\zeta_\nu)-F(\zeta_{\nu'})}{\zeta_\nu-\zeta_{\nu'}}$$для $F\in\Sigma$, где $\gamma_\nu$ – заданные числа, не равные одновременно нулю, $\zeta_\nu$ – заданные точки из области $\Delta'$, является кругом$$|w|\le -{\rm Re}\, \sum_{\nu,\,\nu'=1}^n \gamma_\nu \overline{\gamma}_{\nu'} {\rm ln}\,(1-\zeta_\nu^{-1}\overline{\zeta_{\nu'}^{-1}}).$$Исследована задача об экстремуме $|c_n|$, $n\ge 1$, в классе $S_a$ функций $f(z)=c_1 z+c_2 z^2 + \dots$ , регулярных и однолистных в круге $\Delta$ и не принимающих в нём заданных значений $a_1,\dots,a_n$ (см. Голузин. 1966. С. 151–156). Частный случай $n = 1$ является задачей определения континуума наименьшей ёмкости (рассмотрение этой задачи и её обобщений см. в работе Кузьмина. 1980).

С помощью вариационного метода исследовались различные задачи для неналегающих областей. Так, рассматривалась задача о максимуме произведения$$I_n = \Pi_{k=1}^n \big|f_k'(0)\big|$$в классе $\mathfrak M(a_1,\dots,a_n)$ (см. Голузин. 1966. С. 156–165). Получена точная оценка произведения$$\Pi_{k=1}^n \big|f_k'(0)|^{\alpha_k},$$где $\alpha_k$ – любые заданные положительные числа при $n = 2$ и $3$ (см. Голузин. 1966. С. 550–551).

Эта задача равносильна задаче нахождения области $D$ системы функционалов ($|f_1(0)|,\dots,|f_n(0)|$) в классе $\mathfrak M(a_1,\dots,a_n)$.

(См. также Вариационные принципы в теории функций комплексного переменного, Вариация однолистной функции, Метод внутренних вариаций, Метод граничных вариаций, Вариационно-параметрический метод.)

6. Метод экстремальной метрики

При решении экстремальных задач методом экстремальной метрики основную роль, как правило, играет метрика, порождённая некоторым квадратичным дифференциалом $Q(z)dz^2$. Это тот же квадратичный дифференциал, который возникает при решении задачи вариационным методом. Ниже для примера указаны 2 результата, полученные этим методом (см. Голузин. 1966. С. 532–611; Кузьмина. 1980; Дженкинс. 1962; Pommerenke. 1975).

При помощи общей теоремы коэффициентов Дж. Дженкинс (1960) получил решение задачи об области значений функционала $f(z)$ при фиксированном $z$ из круга $\Delta=\{|z|<1\}$ на классе $S_r$ функций из $S$ с действительными коэффициентами $c_2,\ c_3,\ \dots$ . В классах $\Sigma$ и $M$, где $M$ – класс функций $f$, $f(0)=0$, $f'(0)=1$, мероморфных и однолистных в круге $\Delta$, он выяснил влияние обращения в нуль некоторого числа из начальных коэффициентов на рост последующих.

Было дано добавление к общей теореме коэффициентов в случае, когда дифференциал $Q(z)dz^2$ не имеет полюсов порядка, большего единицы; кроме того, с помощью экстремально-метрического подхода установлены весьма общие теоремы покрытия линий при однолистном конформном отображении односвязных и двусвязных областей, в частности уточнён результат о покрытии отрезков для функций, мероморфных и однолистных в круге, и аналогичный результат для кругового кольца (см. Голузин. 1966. С. 559, 560, 564).

(См. также Принцип Грётша, Теоремы Грётша, Метод полос, Метод экстремальной метрики.)

7. Метод симметризации

С помощью этого метода, часто в сочетании с другими, решён ряд сложных экстремальных задач, не поддающихся решению иными методами. Таковы, например, следующие задачи: см. Голузин. 1966. С. 536–611; Кузьмина. 1980; Дженкинс. 1962; Pommerenke. 1975; Хейман. 1960. В классе $S$ функций $f$ получена точная оценка сверху меры множества точек окружности $|w|=R$, $1/4\le R <1,$ не принадлежащих образу круга $\Delta$ при отображении $w=f(z)$ ($\in f(\Delta)$). В сочетании с методом экстремальных метрик найдена точная оценка сверху $|f(z)|$ при фиксированном $|z| = r$, $0 < r < 1$, для$$f(z) = z + c_2 z^2 + \ldots \in S$$с заданным $c_2 = c = {\rm const}$, $0 le с \le 2$; обобщены и распространены неравенства (6) на класс $p$-листных в среднем по окружности функций$$f(z) = z^p + c_{p+1} z^{p+1}+\ldots\!.$$С использованием метода симметризации доказано, что если $\Phi$ – выпуклая неубывающая на $(-\infty,+\infty)$ функция, то для $f\in S$ при $0 < r < 1$ $$\int_{-\pi}^\pi \Phi({\rm ln}\,|f(re^{it})|) dt\le \int_{-\pi}^\pi \Phi({\rm ln}\,|K(r e^{it})|) dt,$$где $K(z) = z(1-z)^{-2}$ (см. Baernstein. 1974). Если имеет место знак равенства при некотором $r$, $0 < r < 1$, и при некоторой строго выпуклой функции $\Phi$, то$$f(z) = e^{-i\alpha} K(e^{i\alpha} z),$$где $\alpha$ действительно.

О приложениях метода симметризации к многосвязным областям см. в работах: Митюк. Принцип симметризации для многосвязных областей ... 1965; Митюк. Принцип симметризации для кольца ... 1965. (См. также Метод симметризации.)