Кольцо́ в матема́тике, множество $R$, в котором заданы две бинарные алгебраические операции: сложение и умножение, причём по сложению это множество – абелева группа (аддитивная группа кольца $R$), а умножение связано со сложением законами дистрибутивности:$$a(b+c)=a b+a c, \quad(b+c) a = b a+c a,$$где $a, b, c \in R$. На умножение в общем случае не накладывается никаких ограничений, т. е. $R$ по умножению – группоид (называемый мультипликативным группоидом кольца $R$).

Непустое подмножество $A \subset R$ называется подкольцом в $R$, если $A$ само является кольцом относительно операций, определённых в $R$, т. е. $A$ должно быть подгруппой аддитивной группы кольца $R$ и подгруппоидом мультипликативного группоида этого кольца. Естественно, подкольцами всякого кольца служат само это кольцо и нуль-подкольцо, состоящее из одного нуля. Пересечение (теоретико-множественное) подколец любого кольца есть подкольцо. Объединением подколец $A_{\alpha}$, $\alpha \in I$, кольца $R$ называется пересечение всех подколец, каждое из которых содержит все $A_{\alpha}$. Множество всех подколец данного кольца является решёткой $S(R)$ относительно операций пересечения и объединения подколец. Множество идеалов этого кольца образует подрешётку в $S(R)$.

О направлениях в теории колец см. Ассоциативные кольца и алгебры.