Алгебраи́ческая фу́нкция, функция $y=f\left(x_1, \ldots x_n\right)$ переменных $x_1, \ldots, x_n$, удовлетворяющая уравнению

$$F\left(y, x_1, \ldots, x_n\right)=0, \tag{1}$$где $F$ – неприводимый многочлен от $y$, $x_1, \ldots, x_n$ с коэффициентами из некоторого поля $K$, называемого полем констант. Алгебраическая функция, заданная над этим полем, называется алгебраической функцией над полем $K$. Многочлен $F\left(y, x_1, \ldots, x_n\right)$ часто записывается по степеням переменного $y$, так что уравнение (1) приобретает вид

$$P_k\left(x_1, \ldots, x_n\right) y^k+P_{k–1}\left(x_1, \ldots, x_n\right) y^{k–1}+\ldots+ \\ +P_0\left(x_1, \ldots, x_n\right)=0,$$где $P_k\left(x_1, \ldots, x_n\right), \ldots, P_0\left(x_1, \ldots, x_n\right)$ – многочлены от $x_1, \ldots, x_n$, причём $P_k\left(x_1, \ldots, x_n\right) \not \equiv 0$. Число $k$ – степень многочлена $F$ относительно $y$ – называется степенью алгебраической функции. В случае $k=1$ алгебраическая функция может быть представлена в виде отношения

$$y=–\frac{P_0\left(x_1, \ldots, x_n\right)}{P_1\left(x_1, \ldots, x_n\right)}$$многочленов и называется рациональной функцией от $x_1, \ldots, x_n$. При $k=2, \, 3, \, 4$ алгебраическая функция может быть выражена через квадратные и кубические радикалы от рациональных функций переменных $x_1, \ldots, x_n$; при $k>4$ это, вообще говоря, невозможно.

Исторически сложилось 3 подхода к теории алгебраической функции: теоретико-функциональный, возникновение которого связано в первую очередь с работами Н. Х. Абеля, К. Вейерштрасса и Б. Римана, арифметико-алгебраический, восходящий к Р. Дедекинду, Г. Веберу и К. Гензелю и алгебро-геометрический, берущий своё начало от работ А. Клебша, M. Нётера и др. (см. в статье Алгебраическая геометрия). Первое направление в теории алгебраической функции одного переменного связано с изучением алгебраической функции над полем комплексных чисел и рассмотрением их как мероморфных функций на римановых поверхностях и комплексных многообразиях; важнейшие применяемые здесь методы – геометрические и топологические методы теории аналитических функций. Арифметико-алгебраический подход связан с изучением алгебраических функций над произвольными полями. Применяемые методы – чисто алгебраические. Особенно большое значение имеют теории нормирований и расширений полей. При алгебро-геометрическом подходе алгебраические функции рассматриваются как рациональные функции на алгебраическом многообразии, а их изучение ведётся методами алгебраической геометрии. Первоначально эти подходы различались не только по методам и по способу изложения, но и по терминологии. На современном этапе такое разделение направлений представляется в значительной мере условным, ибо в функциональном направлении широко используются алгебраические методы, а многие результаты, полученные в первом направлении с помощью теоретико-функциональных и топологических методов, успешно переносятся на случай более общих полей при помощи алгебраических аналогов функциональных и топологических методов.

Алгебраические функции одного переменного

Над полем $\mathbb{C}$ комплексных чисел алгебраическая функция одного переменного $y=f(x)$ [в упрощённой записи – $y(x)$] является $k$-значной аналитической функцией. Если обозначить через $D(x)$ дискриминант многочлена$$F(x, y)=P_k(x) y^k+\ldots+P_1(x) y+P_0(x), \tag {2} \\ P_k(x) \not\equiv 0,$$[т. е. многочлена, для которого $F(x, f(x))=0$], получающийся исключением y из уравнений

$$F(x, y)=0, \quad \frac{\partial F(x, y)}{\partial y}=0,$$и составить уравнение

$$P_k(x) D(x)=0,$$то корни $x_1, \ldots, x_m$ этого последнего уравнения называются критическими значениями алгебраической функции $у=f(x)$.

Дополнительное множество $G=\mathbb{C} – \left\{x_1, \ldots, x_m\right\}$ называется некритическим множеством. Для любой точки $x_0 \in G$ уравнение (2) имеет $k$ различных корней $y_0^1, \ldots, y_0^k$, причём выполняются условия

$$\frac{\partial F\left(x_0, y_0^j\right)}{\partial y} \neq 0, \quad j=1, \ldots, k.$$По теореме о неявных функциях, в окрестности точки $x_0$ существует $k$ однозначных аналитических функций $f_0^1(x), \ldots, f_0^k(x)$, удовлетворяющих условиям

$$f_0^j\left(x_0\right)=y_0^j, \quad F\left(x, f_0^j(x)\right)=0$$и разлагающихся в сходящиеся ряды

$$f_0^j(x)=y_0^j+\alpha_1^j\left(x–x_0\right)+\alpha_2^j\left(x–x_0\right)^2+\ldots\!. \tag {3}$$Таким образом, для каждой точки $x_0 \in G$ строится $k$ элементов аналитических функций, называющихся функциональными элементами с центром в точке $x_0$. Для любых двух точек $x_1, x_2 \in G$ любые элементы $f_1^i(x)$ и $f_2^j(x)$ с центрами соответственно $x_1$ и $x_2$ получаются друг из друга аналитическим продолжением вдоль некоторой кривой, лежащей в $G$; в частности, таким способом связаны и любые два элемента с одним центром. Если $x_0$ – критическая точка алгебраической функции, то возможны два случая: 1) $x_0$ – корень дискриминанта, т. е. $D\left(x_0\right)=0$, но $P_k(x_0) \neq 0$; 2) $P_k(x_0)=0$.

Случай 1. Пусть $K_0$ – малый круг с центром в $x_0$, не содержащий других критических точек, а $f_1^{\prime}(x), \ldots, f_k^{\prime}(x)$ – система регулярных элементов с центром в $x^{\prime} \in K_0$, $x^{\prime} \neq x_0.$ Эти функции остаются ограниченными при $x \rightarrow x_0.$ Пусть, далее, $D$ – окружность с центром $x_0$, проходящая через $x^{\prime}$; она целиком лежит внутри $K_0$. Аналитическое продолжение некоторого элемента, например $f_1^{\prime}(x)$, вдоль окружности $D$ (скажем, при обходе $x_0$ по часовой стрелке) приводит к элементу $f^{\prime}(x)$, также принадлежащему системе элементов с центром $x^{\prime}$. Эта система состоит из $k$ элементов, и некоторое (минимальное) конечное число $a_1 \leqslant k$ таких обходов приводит к исходному элементу $f_1^{\prime}(x)$. Получается подсистема $f_1^{\prime}(x), f_2^{\prime}(x), \ldots, f_{a_1}^{\prime}(x)$ элементов с центром $x^{\prime}$; каждый из этих элементов может быть получен аналитическим продолжением другого путём обходов вокруг точки $x_0$; такая подсистема называется циклом. Вся система $f_1(x), \ldots, f_k(x)$ разбивается на некоторое число непересекающихся циклов

$$\left\{f_1^{\prime}(x), \ldots, f_{a_1}^{\prime}(x)\right\},\left\{f_{a_{1+1}}^{\prime}(x), \ldots, f_{a_1+a_2}^{\prime}(x)\right\}, \ldots, \\ \left\{f_{a_1+\ldots+a_{s–1}+1}^{\prime}(x), \ldots, f_{a_1+\ldots+a_s}^{\prime}(x)\right\},$$$a_1+a_2+\ldots+a_{s–1}+a_s=k$. Элемент $f_1^{\prime}(x)$ не является (в случае $a_1>1$) однозначной функцией от $x$ в круге $K_0$, но будет однозначной аналитической функцией от параметра $\tau=\sqrt[a_1]{x–x_0}$ в окрестности точки $\tau=0$. В некоторой окрестности этой точки элементы $f_1^{\prime}(x), \ldots, f_{a_1}^{\prime}(x)$ первого цикла представимы в виде сходящихся рядов

$$\begin{aligned} f_1^{\prime}(x)&=\sum_{i=0}^{\infty} \alpha_i^1 \tau^i=\sum_{i=0}^{\infty} \alpha_i^1\left(x–x_0\right)^{i / a_1} ,\\ \ldots \, &\ldots \, \ldots \, \ldots \, \ldots \, \ldots \, \ldots \, \ldots \, \ldots \, \ldots \\ f_{a_1}^{\prime}(x)&=\sum_{i=0}^{\infty} \alpha_i^{a_1} \tau^i=\sum_{i=0}^{\infty} \alpha_i^{a_1}\left(x–x_0\right)^{i / a_1}; \end{aligned} \tag {4}$$аналогичные разложения имеют место для элементов других циклов. Такие разложения элементов по дробным степеням разности $x–x_0$, где $x_0$ – критическая точка, называются рядами Пюизё. Преобразованием $\tau \rightarrow \tau r$, $r=e^{2 \pi i / a}$, соответствующим однократному обходу вокруг $x_0$, ряды Пюизё элементов одного цикла переводятся друг в друга в циклическом порядке, т. е. происходит циклическая перестановка рядов и соответствующих элементов. Обходам вокруг критической точки соответствуют перестановки элементов с центром в этой точке; эти перестановки состоят из циклов порядков $a_1, \ldots, a_s$, $\sum a_i=k$. Определяемые таким способом подстановки составляют группу монодромии алгебраической функции. Если хотя бы одно из $a_i$ больше $1$, критическая точка $x_0$ называется алгебраической точкой ветвления алгебраической функции; числа $a_i$ (иногда $a_i–1$) называются индексами (или порядками) ветвления алгебраической функции.

Случай 2. Заменой функции $y$ на $P_k(x) y$ сводится к (1); получаются разложения, аналогичные разложениям (4), которые могут содержать конечное число членов с отрицательными показателями:

$$f(x)=\sum_{i=–p}^{\infty} \alpha_i \tau^i=\sum_{i=–p}^{\infty} \alpha_i\left(x–x_0\right)^{i / a}. \tag{5}$$При $p>0$ точка $x_0$ является полюсом порядка $p$ алгебраической функции. Обычно алгебраические функции рассматриваются на сфере Римана $S$, т. е. на комплексной плоскости, пополненной бесконечно удалённой точкой $x=\infty$. Введение переменной $\tau=1 / x$ сводит этот случай к предыдущему; в окрестности точки $\tau=0$ ($x=\infty$) имеет место разложение

$$y(x)=\sum_{j=-r}^{\infty} \alpha_j \tau^{j / a}=\sum_{j=-r}^{\infty} \alpha_j x^{-j / a}. \tag{6}$$При $r>0$ точка $x=\infty$ является полюсом порядка $r$.

Параметр разложения в рядах (3), (4), (5), (6) называется локальной униформизующей для алгебраической функции. Если $x_0$ – некритическая точка алгебраической функции, таким параметром может быть $\tau=x–x_0$; если же $x_0$ – критическая точка, за параметр может быть принят корень $\sqrt[a]{x–x_0}$, где $a$ – натуральное число. Совокупность всех описанных выше элементов алгебраической функции образует полную алгебраическую функцию в смысле Вейерштрасса. Алгебраические функции не имеют других особенностей, кроме, быть может, алгебраических точек ветвления и полюсов. Верно и обратное: функция $y=f(x)$, аналитическая и не более чем $s$-значная во всех точках сферы Римана, за исключением конечного числа точек $x_1, \ldots, x_m$ и $x=\infty$, а в этих точках имеющая лишь полюсы или алгебраические точки ветвления, есть алгебраическая функция степени $k \leqslant s$.

Риманова поверхность полной алгебраической функции компактна и является $k$-листным накрытием сферы Римана, точками разветвления которого являются, быть может, критические точки и точка $x=\infty$. Алгебраические функции представляют собой единственный класс функций, риманова поверхность которых компактна. Род римановой поверхности алгебраической функции играет важную роль; он называется родом алгебраической функции. Он вычисляется по формуле Римана – Гурвица. Род рациональной функции равен $0$; её риманова поверхность есть сфера Римана. Риманова поверхность эллиптических функций, удовлетворяющих уравнениям 3-й и 4-й степеней, есть тор; род этих функций равен $1$.

Универсальная накрывающая римановой поверхности алгебраической функции является односвязным двумерным многообразием, т. е. имеет тривиальную фундаментальную группу и конформно эквивалентна либо сфере Римана, либо комплексной плоскости, либо внутренности единичного круга. В первом случае алгебраическая функция является рациональной, во втором – эллиптической функцией; третий случай является общим.

С теорией римановых поверхностей алгебраической функции тесно связана проблема униформизации алгебраической функции. Функция $y=f(x)$ может быть униформизована, если $y$ и $x$ представимы как однозначные аналитические функции

$$y=y(t), \quad x=x(t)$$параметра $t$, тождественно удовлетворяющие уравнению (2). Локально проблема униформизации решается при помощи локальной униформизующей; однако интерес представляет её решение «в целом». При $k=1$, т. е. когда $y(x)$ есть рациональная функция от $x$, за этот параметр может быть принято переменное $x–x_0$; при $k=2$ униформизация достигается посредством рациональных или тригонометрических функций. Например, если $y(x)$ удовлетворяет уравнению

$$y^2–x^2=1,$$то можно положить

$$y=\frac{t^2+1}{t^2–1}, \,\, x=\frac{2 t}{t^2–1}\, \,\text { или }\,\, y=\sec t, \,\, x=\tg (t) .$$При $k=3, \, 4$, в случае алгебраической функции рода $1$, униформизация достигается посредством эллиптических функций. Наконец, при $k>4$, в случае алгебраической функции рода $>1$, униформизация осуществляется при помощи автоморфных функций.

Алгебраические функции многих переменных

Если $f$ – алгебраическая функция от переменных $x_1, \ldots, x_n$, то множество всех рациональных функций $R\left(y, x_1, \ldots, x_n\right)$ образует поле $K_f$, совпадающее с полем рациональных функций на алгебраической гиперповерхности в пространстве $(n+1)$ измерений, задаваемой уравнением $F\left(y, x_1, \ldots, x_n\right)=0.$ Если поле констант $k$ есть поле комплексных чисел $\mathbb{C}$, a $n=1$, то поле $K_f$ совпадает с полем мероморфных функций на римановой поверхности алгебраической функции $f$. Поле $K_f$ является расширением конечного типа поля констант $k$ степени трансцендентности $n$. В частности, любые $n+1$ элементов этого поля связаны алгебраическим уравнением и тем самым каждый из них определяет алгебраическую функцию от остальных элементов. Любое расширение $K$ конечного типа поля $k$ степени трансцендентности $n$ называется полем алгебраических функций от $n$ переменных (иногда функциональным полем). Каждое такое поле содержит чисто трансцендентное расширение $k\left(x_1, \ldots, x_n\right)$ поля $k$ (называемое полем рациональных функций от $n$ переменных). Любой элемент $y \in K$ удовлетворяет некоторому алгебраическому уравнению $\Phi \left(y, x_1, \ldots, x_n\right)=0$ и может рассматриваться как алгебраическая функция от переменных $x_1, \ldots, x_n$. Каждое поле $K$ алгебраической функции от $n$ переменных изоморфно полю рациональных функций на некотором алгебраическом многообразии размерности $n$, называемом моделью поля $K$. Если поле констант $k$ является алгебраически замкнутым полем характеристики $0$, то каждое поле алгебраической функции имеет неособую проективную модель (см. в статье Разрешение особенностей). Пусть $S$ – множество всех нетривиальных нормирований поля алгебраической функции $K$, неотрицательных на поле констант. Снабжённое естественной топологией, оно называется абстрактной римановой поверхностью поля $K$ (3арисский. 1963). В случае полей алгебраической функции от одной переменной риманова поверхность совпадает с множеством неособой проективной модели, которая в этом случае определена однозначно с точностью до изоморфизма. Многие понятия и результаты алгебраической геометрии модели поля $K$ можно переформулировать на языке теории нормирований поля (3арисский. 1963; Шевалле. 1959). Особенно близкая аналогия существует для полей алгебраической функции одного переменного, теория которых фактически совпадает с теорией алгебраических кривых.

Каждое поле алгебраической функции от одного переменного является полем частных дедекиндова кольца, благодаря этому многие результаты и понятия теории делимости в полях алгебраических чисел переносятся на случай функциональных полей (Hasse. 1963). Многие задачи и построения в теории алгебраических чисел служат мотивировкой для аналогичных задач и построений в полях алгебраических функций, и наоборот. Так, например, перенос разложения Пюизё в теорию алгебраических чисел привёл к созданию К. Гензелем $p$-адического метода в теории чисел. Теория полей классов, первоначально относящаяся к алгебраическим числам, позже перенесена на функциональный случай (Серр. 1968). Особенно близкая аналогия существует между полями алгебраических чисел и полями алгебраических функций над конечным полем констант. Например, для последних определяется понятие дзета-функции и доказывается аналог гипотезы Римана.