Всю́ду пло́тное мно́жество, подмножество топологического пространства, пересекающееся с любым непустым открытым подмножеством этого пространства. Множество $A$ всюду плотно в пространстве $X$ в том и только том случае, если $\overline{A}=X$, т. е. если его замыкание совпадает со всем пространством. Вместо термина «всюду плотное множество» часто употребляется термин «плотное множество».

Множество рациональных чисел и множество иррациональных чисел являются всюду плотными подмножествами вещественной прямой со стандартной топологией.

В пространстве непрерывных вещественных функций, определённых на отрезке $[a, b]$, с топологией равномерной сходимости (т. е. топологией, порождённой стандартной нормой функции на отрезке) всюду плотно множество полиномиальных функций (многочленов) – в этом состоит одна из возможных формулировок классической теоремы Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных вещественных функций многочленами (теорема Стоуна – Вейерштрасса).

Подмножество $B$ пространства $X$, содержащее некоторое всюду плотное в $X$ подмножество, само всюду плотно в $X$. Если множество $B$ всюду плотно в $X$, а множество $A$ всюду плотно в $B$ (где $B$ рассматривается как топологическое подпространство пространства $X$), то $A$ всюду плотно в $X$, т. е. отношение «быть всюду плотным подмножеством» транзитивно. Если $A$ всюду плотно в $X$, а $f\colon X\to Y$ – сюръективное непрерывное отображение, то множество $f(A)$ всюду плотно в $Y$.

Если $h\colon X\to Y$ – гомеоморфное вложение топологических пространств, причём множество $h(X)$ всюду плотно в $Y$, то $Y$ часто называют расширением пространства $X$ (отождествляя при этом гомеоморфные пространства $X$ и $h(X)$, т. е. считая, что $X\subset Y$). Изучение расширений топологических пространств с определёнными свойствами – важная область топологии и функционального анализа.