Ча́стная произво́дная первого порядка функции многих переменных, производная функции по одной из переменных при условии, что все остальные переменные фиксированы. Например, если функция $f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ определена в некоторой окрестности точки $\left(x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \ldots, x_n^{(0)}\right)$, то частная производная $\frac{\partial f}{\partial x_1}\left(x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \ldots, x_n^{(0)}\right)$ функции $f$ по переменной $x_1$ в рассматриваемой точке равна обычной производной $\frac{d f}{d x_1}\left(x_1, x_2^{(0)}, \ldots, x_n^{(0)}\right)$ в точке $x_1^{(0)}$ функции $f\left(x_1, x_2^{(0)}, \ldots, x_n^{(0)}\right)$ одной переменной $x_1$. Иначе говоря,

$$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial x_1}\left(x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \ldots, x_n^{(0)}\right)=\left.\frac{d f}{d x_1}\left(x_1, x_2^{(0)}, \ldots, x_n^{(0)}\right)\right|_{x_1=x_1^{(0)}}= \\ =\lim _{\Delta x_1 \rightarrow 0} \frac{\Delta_{x_1} f\left(x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \ldots, x_n^{(0)}\right)}{\Delta x_1}, \end{gathered}$$где

$$\begin{gathered} \Delta_{x_1} f\left(x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \ldots, x_n^{(0)}\right)= \\ =f\left(x_1^{(0)}+\Delta x_1, x_2^{(0)}, \ldots, x_n^{(0)}\right)-f\left(x_1^{(0)}, x_2^{(0)}, \ldots, x_n^{(0)}\right). \end{gathered}$$Частные производные

$$\frac{\partial^{m}}{\partial x_1^{m_1} \ldots \partial x_n^{m_n}}, \quad m_1+\ldots+m_n=m, \tag{*}$$порядков $m>1$ определяются по индукции: если определена частная производная

$$\frac{\partial^{k-1} f}{\partial x_1^{k_1} \ldots \partial x_i^{k_i} \ldots \partial x_n^{k_n}}, \quad k_1+\ldots+k_i+\ldots+k_n=k-1,$$то, по определению,

$$\frac{\partial^k f}{\partial x_1^{k_1} \ldots \partial x_i^{k_{i+1} \ldots \partial x_n^{k_n}}} =\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{\partial^{k-1} f}{\partial x_1^{k_1} \ldots \partial x_i^{k_i} \ldots \partial x_n^{k_n}}\right).$$Частная производная (*) обозначается также $D_{m_1, \ldots, m_n}^m f$. Частная производная (*), у которой по крайней мере два различных показателя $m_i$ не равны нулю, называется смешанной частной производной, в противном случае, т. е. когда частная производная имеет вид $\frac{\partial^m f}{\partial x_i^m}$, – несмешанной. При достаточно широких предположениях смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования по различным переменным. Это имеет место, например, если все рассматриваемые частные производные непрерывны.

Если при определении частной производной положить в основу понятие не обычной, а обобщённой в том или ином смысле производной, то получают определение обобщённой частной производной.