Подготови́тельная теоре́ма Вейерштра́сса, теорема, полученная K. Вейерштрассом (Weierstrass. 1860, 1895) и сформулированная им первоначально в 1860 г. как подготовительная лемма при доказательстве существования и аналитичности неявной функции комплексного переменного, определяемой уравнением $f(z, w)=0$, левая часть которого есть голоморфная функция двух комплексных переменных. Эта теорема обобщает на функции многих комплексных переменных следующее важное свойство голоморфных функций одного комплексного переменного: если $f(z)$ – голоморфная функция от $z$ в окрестности начала координат и $f(0)=0$, $f(z) \not\equiv 0$, то она представима в виде $f(z)=z^s g(z)$, где $s$ – кратность нуля $f(z)$ в начале координат, $s \geqslant 1$, а голоморфная функция $g(z)$ отлична от нуля в некоторой окрестности начала.

Подготовительная теорема Вейерштрасса для функций $n$ комплексных переменных, $n \geqslant 1$, формулируется следующим образом. Пусть

$$f(z)=f\left(z_1, z_2, \ldots, z_n\right)$$– голоморфная функция от $z=\left(z_1, z_2, \ldots, z_n\right)$ в поликруге

$$U=\left\{z\colon\left|z_i\right|<a_i, \quad i=1,2, \ldots, n\right\},$$причём

$$f(0)=0, \quad f\left(0,0, \ldots, 0, z_n\right) \neq 0.$$Тогда в некотором поликруге

$$V=\left\{z\colon\left|z_i\right|< b_i \leq a_i, \quad i=1,2, \ldots, n\right\}$$функция $f(z)$ представима в виде

$$f(z) =[z_n^s+f_1(z_1, z_2, \ldots, z_{n-1}) z_n^{s-1}+ \ldots +f_s(z_1, z_2, \ldots, z_{n-1})] g(z),$$где $s$ – кратность нуля функции

$$f\left(z_n\right)=f\left(0,0, \ldots, 0, z_n\right)$$в начале координат, $s \geqslant 1$; функции $f_j\left(z_1, z_2, \ldots, z_{n-1}\right)$ голоморфны в поликруге

$$\begin{gathered} V^{\prime} = \left\{\left(z_1, z_2, \ldots, z_{n-1}\right)\colon\left|z_i\right|<b_i, \quad i=1,2, \ldots, n-1\right\}, \\ f_j(0,0, \ldots, 0)=0, \quad j=1,2, \ldots, s; \end{gathered}$$функция $g(z)$ голоморфна и не обращается в нуль в поликруге $V$. Функции $f_j\left(z_1, z_2, \ldots, z_{n-1}\right)$, $j=1,2, \ldots, s$, и $g(z)$ определяются условиями теоремы однозначно.

Вместо начала координат можно принять, изменив соответственно формулировку, любую точку $a=\left(a_1,a_2, \ldots, a_n\right)$ комплексного пространства $\mathbb{C}^n$. Из подготовительной теоремы Вейерштрасса вытекает, что при $n>1$, в отличие от случая одного комплексного переменного, во всякой окрестности любого нуля голоморфной функции находится бесконечное множество других её нулей.

Подготовительная теорема Вейерштрасса имеет чисто алгебраическую природу и может быть сформулирована для формальных степенных рядов. Пусть $\mathbb{C}\left[\left[z_1, z_2, \ldots, z_n\right]\right]$ – кольцо формальных степенных рядов от переменных $z_1, z_2, \ldots, z_n$ с коэффициентами из поля комплексных чисел $\mathbb{C}$; $f$ – такой ряд из этого кольца, члены которого имеют низшую степень $s \geqslant 1$, причём существует член вида $c z_n^s$, $c \neq 0$. Тогда $f$ можно представить в виде

$$f=\left(z_n^s+f_1 z_n^{s-1}+\ldots+f_s\right) g,$$где $f_1, f_2, \ldots, f_s$ – ряды из кольца $\mathbb{C}\left[\left[z_1, z_2, \ldots, z_{n-1}\right]\right]$, свободные члены которых равны нулю, а $g$ – ряд из $C\left[\left[z_1, z_2, \ldots, z_n\right]\right]$ со свободным членом, отличным от нуля. Формальные степенные ряды $f_1, f_2, \ldots, f_s$ и $g$ определяются по $f$ однозначно.

Иногда подготовительной теоремой Вейерштрасса называется следующее утверждение о делении: пусть ряд

$$f \in \mathbb{C}\left[\left[z_1, z_2, \ldots, z_n \right]\right]$$удовлетворяет только что указанным условиям, $g$ – любой ряд из $\mathbb{C}\left[\left[z_1, z_2, \ldots, z_n\right]\right]$. Тогда существуют такой ряд

$$h \in \mathbb{C}\left[\left[z_1, z_2, \ldots, z_n \right] \right]$$и такие ряды

$$\begin{gathered} a_j \in \mathbb{C}\left[\left[z_1, z_2, \ldots, z_{n-1}\right]\right], \quad a_j(0,0, \ldots, 0)=0, \\ j=0,1,2, \ldots, s-1, \end{gathered}$$для которых выполняется равенство

$$g=h f+a_0+a_1 z_n+\ldots+a_{s-1} z_n^{s-1}.$$Подготовительная теорема Вейерштрасса верна также для колец формальных ограниченных рядов. Она даёт способ индуктивного перехода, например, от $\mathbb{C}\left[\left[z_1, z_2, \ldots, z_{n-1}\right]\right]$ к $\mathbb{C}\left[\left[z_1, z_2, \ldots, z_n\right]\right]$. Таким образом удаётся установить некоторые свойства колец $\mathbb{C}[z_1, z_2, \ldots, z_n]$ и $\mathbb{C}\left[\left[z_1, z_2, \ldots, z_n\right]\right]$, например нётеровость и факториальность. Имеется обобщение этой теоремы для дифференцируемых функций (Мальгранж. 1968).