За́мкнутое отображе́ние, непрерывное отображение топологических пространств, при котором образ любого замкнутого множества является замкнутым множеством. Более подробно: непрерывное отображение $f\colon X\to Y$ называется замкнутым, если для каждого множества $F$, замкнутого в $X$, множество $f(F)$ замкнуто в $Y$.

Отображение $f\colon X\to Y$ топологических пространств замкнуто в том и только том случае, если образ замыкания каждого множества совпадает с замыканием его образа, т. е. если $f\left(\overline{A}\right)=\overline{f\left(A\right)}$ для любого $A\subset X$ (более слабое условие: $f\left(\overline{A}\right)\subset\overline{f\left(A\right)}$ для любого $A\subset X$ – эквивалентно непрерывности отображения $f$). Также имеет место следующий критерий: непрерывное отображение $f\colon X\to Y$ замкнуто тогда и только тогда, когда малый образ каждого открытого множества открыт, т. е. когда для каждого открытого $U\subset X$ множество $f^{\#}(U)=\{y\in Y:f^{-1}(y)\subset U\}$ открыто в $Y$.

Пусть $f\colon X\to Y$ и $g\colon Y\to Z$ – отображения топологических пространств. Тогда а) если отображения $f$ и $g$ замкнуты, то композиция $g\circ f$ – замкнутое отображение; б) если композиция $g\circ f$ – замкнутое отображение, а отображение $f$ замкнуто и сюръективно, то отображение $g$ замкнуто. Ограничение замкнутого отображения $f\colon X\to Y$ на замкнутое подмножество $A\subset X$ является замкнутым отображением.

Непрерывное отображение $f\colon X\to Y$ называется замкнутым в точке $y\in Y$, если для каждого открытого множества $U\subset X$, содержащего прообраз $f^{-1}(y)$, в $Y$ найдётся открытое множество $V$, такое, что $y\in V$ и $f^{-1}(V)\subset U$ (эквивалентное определение: непрерывное отображение $f\colon X\to Y$ замкнуто в точке $y\in Y$, если для каждого замкнутого $F\subset X$ условия $y\in\overline {f(F)}$ и $y\in f(F)$ равносильны). Основанием для этого определения является следующее утверждение: непрерывное отображение $f\colon X\to Y$ замкнуто тогда и только тогда, когда оно замкнуто в каждой точке $y\in Y$.

Примеры. 1. Любое отображение в одноточечное пространство является замкнутым (и одновременно открытым).

2. Взаимно однозначное отображение топологических пространств является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда оно замкнуто.

3. Отображение $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ вещественной прямой в себя, заданное правилом
$f(x)=\begin{cases}1, &\text{если } x\geqslant 1 \\ x, &\text{если } -1\leqslant x\leqslant 1,\\ -1, &\text{если } x\leqslant -1, \end{cases}$замкнуто, но не открыто.

4. Проекция $p\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ координатной плоскости на ось абсцисс является непрерывным (и даже открытым), но не замкнутым отображением: множество $p(A)={\mathbb R}\setminus\{0\}$, где $A=\{(x, 1/x):x\in{\mathbb R},\quad x\neq 0\}$, не является замкнутым. Более того (как показывает рассмотрение горизонтальных сдвигов указанного множества $A$), отображение $p$ не является замкнутым ни в какой точке. Вместе с тем ограничение проекции $p$ на любое замкнутое ограниченное подмножество плоскости будет замкнутым отображением (более общо, замкнутым является любое непрерывное отображение компактного пространства в хаусдорфово).

Некоторые свойства топологических пространств, не сохраняющиеся в общем случае непрерывными отображениями, могут сохраняться замкнутыми отображениями (таково, например, свойство нормальности).

В общей топологии также имеют значение некоторые классы непрерывных отображений, близких к замкнутым. Среди них $z$-замкнутые отображения (непрерывные отображения, при которых образ любого функционально замкнутого множества замкнут), а также вполне замкнутые отображения: непрерывное сюръективное отображение $f\colon X\to Y$ называется вполне замкнутым, если для каждой точки $y\in Y$ и любого конечного покрытия её прообраза $f^{-1}(y)$ открытыми в $X$ множествами $U_1, U_2, \ldots U_n$ множество $$\{y\}\cup f^{\#}(U_1)\cup f^{\#}(U_2)\cup\ldots\cup f^{\#}(U_n)$$ открыто в $Y$ [здесь $f^{\#}(U_i)$ обозначает малый образ множества $U_i$ ]. Каждое вполне замкнутое отображение замкнуто, и каждое замкнутое отображение $z$-замкнуто.

Понятие замкнутого отображения появилось у В. Гуревича (Hurewicz. 1926) и П. С. Александрова (Alexandroff. 1927); у последнего – под названием «дважды непрерывного» (нем. doppelstetige): «удвоенность» непрерывности заключается в том, что при таком отображении замкнуты как образы, так и прообразы замкнутых множеств. Понятие замкнутости отображения в точке было введено И. А. Вайнштейном (Вайнштейн. 1952); вполне замкнутые отображения введены В. В. Федорчуком в 1968 г. (см. Федорчук. 2003).

Иногда в определение замкнутого отображения не включают непрерывность, т. е. замкнутым называют отображение $f\colon X\to Y$ топологических пространств (не обязательно непрерывное), при котором образ любого замкнутого множества является замкнутым множеством [эквивалентное определение: $\overline{f(A)}\subset f(\overline{A})$ для всех $A\subset X$]. В такой терминологии замкнутое отображение (понимаемое в смысле определения, принятого в настоящей статье) является «непрерывным и замкнутым».