Научные проблемы, задачи

Граничные задачи теории аналитических функций

Грани́чные зада́чи тео́рии аналити́ческих фу́нкций, задачи нахождения в некоторой области функции по заданному соотношению между её действительной и мнимой частей.

Впервые такая задача была поставлена (B. Riemann, 1857). (D. Hilbert, 1912) исследовал граничную задачу в следующей постановке (задача Римана – Гильберта): найти функцию Φ(z)=u+iv \Phi(z)=u+i v, аналитическую в S+S^+ с контуром LL, непрерывную в S+LS^+\cup L, по граничному условию

Re(a+ib)Φ=aubv=c,(1)\operatorname{Re}(a+i b)\Phi=a u-b v=c,\tag{1}где a,b,ca, b, c – заданные на LL действительные . Первоначально Д. Гильберт привел эту задачу к сингулярному интегральному уравнению с целью дать пример приложения такого уравнения.

Задача (1) может быть сведена к последовательному решению двух . Полное исследование задачи, проведённое таким способом, имеется в статье ().

Близкой к задаче (1) является задача, к которой пришёл (H. Poincaré, 1912) при разработке . Задача Пуанкаре состоит в определении в области S+S^+ функции u(x,y)u(x,y) по условию на границе LL этой области:

A(s)un+B(s)us+C(s)u=f(s),(2)A(s) \frac{\partial u}{\partial n}+B(s) \frac{\partial u}{\partial s}+C(s) u=f(s),\tag{2}где A(s),B(s),C(s),f(s)A(s), B(s), C(s), f(s) – заданные на LL действительные функции, ss – дуговая абсцисса, nn – нормаль к LL.

Под обобщённой задачей Римана – Гильберта – Пуанкаре понимается следующая линейная граничная задача: найти функцию Φ(z),\Phi(z), аналитическую в S+S^{+}, по граничному условию

Re{λΦ}=f(t0),t0S+,(3)\operatorname{Re}\{\lambda \Phi\}=f\left(t_{0}\right), \qquad t_{0} \in S+,\tag{3}где λ\lambda, определяемый формулой

λΦ=j=0m{aj(t0)Φt(j)(t0)+Lhj(t0,t)Φj(t)ds},(4)\lambda \Phi=\sum_{j=0}^{m}\left\{a_{j}\left(t_{0}\right) \Phi_{t}^{(j)}\left(t_{0}\right)+\int_{L} h_{j}\left(t_{0}, t\right) \Phi^{j}(t)\,d s\right\},\tag{4}в которой a0(t0),,am(t)a_{0}(t_{0}), \ldots, a_{m}(t) – заданные на LL, вообще говоря, комплексные, функции класса HH (т. е. удовлетворяющие условию Гёльдера), f(t)f(t) – заданная действительная функция класса HH, hj(t0,t)h_{j}(t_{0},t) – заданные на LL, вообще говоря, комплексные, функции вида

hj(t0,t)=hj0(t0,t)tt0α,0α<1,h_{j}\left(t_{0},t\right)=\frac{h_{j}^{0}\left(t_{0}, t\right)}{\left|t-t_{0}\right|^{\alpha}},\qquad 0 \leqslant \alpha<1,причём hj0(t0,t)h_{j}^{0}\left(t_{0},t\right) – функции класса HH по обеим переменным. В правой части (4) под Φj(t0)\Phi^{j}\left(t_{0}\right) подразумевается граничное значение на LL изнутри области S+S^{+} производной jj-ro порядка функции Φ(z)\Phi(z).

Частным случаем задачи Римана – Гильберта – Пуанкаре при m=0m=0, hj(t0,t)=0h_{j}\left(t_{0},t\right)=0 является задача Римана – Гильберта; задача Пуанкаре также является частным случаем сформулированной задачи. К задаче Римана – Гильберта – Пуанкаре приводятся многие важные граничные задачи, например граничные задачи для с двумя независимыми переменными.

Задача Римана – Гильберта – Пуанкаре была поставлена и в предположении, что am(t0)0,t0La_{m}\left(t_{0}\right) \neq 0, t_{0} \in L, и решена И. Н. Векуа (1942).

В теории граничных задач важную роль играет понятие индекса задачи – целого числа, определяемого формулой

ϰ=2(m+n),\varkappa=2(m+n),где 2πn2 \pi n – приращение argam(t)\arg\overline{a_{m}(t)} при однократном обходе контура LL в направлении, оставляющем область S+S^+ слева.

Задача Римана – Гильберта – Пуанкаре редуцируется к сингулярному интегральному уравнению вида

Nμ=A(t0)μ(t0)+LN(t0,t)μ(t)ds=f(t0)cσ(t0),(5)N_{\mu}=A\left(t_{0}\right) \mu\left(t_{0}\right)+\int_{L} N\left(t_{0}, t\right) \mu(t)\,d s=f\left(t_{0}\right)-c \sigma\left(t_{0}\right),\tag{5}где μ\mu – искомая действительная функция класса HH, cc – искомая действительная постоянная, а

N(t0,t)=K(t0,t)tt0.N\left(t_{0},t\right)=\frac{K\left(t_{0},t\right)}{t-t_{0}}.Функции A(t0)A\left(t_{0}\right), K(t0,t)K\left(t_{0},t\right), σ(t0)\sigma\left(t_0\right) выражаются через aj(t)a_{j}(t) и hj(t0+,t)h_{j}\left(t_{0+},t\right), j=0,,mj=0, \ldots, m.

Пусть kk и kk^{\prime} – числа линейно независимых решений соответствующего (5) Nμ=0N \mu=0 и союзного с ним однородного интегрального уравнения

Nν=A(t0)ν(t0)+LN(t,t0)ν(t)ds=0.(6)N_{\nu}^{\prime}=A\left(t_{0}\right) \nu\left(t_{0}\right)+\int_{L} N\left(t, t_{0}\right) \nu(t) \,d s=0.\tag{6}Числа kk и kk^{\prime} связаны с индексом ϰ\varkappa задачи Римана – Гильберта – Пуанкаре равенством

ϰ=kk.\varkappa=k-k^{\prime}.Особый интерес представляет тот случай, когда задача разрешима при всякой правой части f(t0)f\left(t_{0}\right). Для того чтобы задача Римана – Гильберта – Пуанкаре была разрешима при любой правой части f(t0)f\left(t_{0}\right), необходимо и достаточно, чтобы k=0k^{\prime}=0 или k=1k^{\prime}=1, причём в последнем случае решение ν(t)\nu(t) уравнения (6) должно удовлетворять условию

Lν(t)σ(t)ds0;\int_{L} \nu(t) \sigma(t)\,d s \neq 0;в обоих случаях ϰ0\varkappa\geqslant 0 и однородная задача Re{λΦ}=0\operatorname{Re}\{\lambda\Phi\}=0 имеет ровно ϰ+1\varkappa+1 линейно независимых решений. При σ(t)=0\sigma(t)=0 задача Римана – Гильберта – Пуанкаре разрешима при любой правой части тогда и только тогда, когда k=0k^{\prime}=0.

В случае задачи Римана – Гильберта имеют место следующие утверждения: 1) при ϰ0\varkappa\geqslant 0 неоднородная задача (1) разрешима при любой правой части и 2) при ϰ<2\varkappa<-2 эта задача разрешима тогда и только тогда, когда

02πei(ϰ2+k)φΩ(φ)c(φ)dφ=0,k=1,,ϰ1,\int_{0}^{2 \pi} e^{i\left(\frac{\varkappa}{2}+k\right) \varphi} \Omega(\varphi) c(\varphi)\,d \varphi=0, \quad k=1, \ldots,-\varkappa-1,где

Ω(φ)=1a2(φ)+b2(φ)exp{14π02πθ(φ1)ctgφ1φ2dφ1},θ(t)=arg[tϰaiba+ib],a2+b20.\begin{gathered} \Omega(\varphi) =\frac{1}{\sqrt{a^{2}(\varphi)+b^{2}(\varphi)}} \exp \left\{-\frac{1}{4 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \theta(\varphi_{1}) \operatorname{ctg} \frac{\varphi_{1}-\varphi}{2}\,d \varphi_{1}\right\}, \\ \theta(t)=\arg \left[-t^{-\varkappa} \frac{a-i b}{a+i b}\right], \qquad a^{2}+b^{2} \neq 0 . \end{gathered}Задача Римана – Гильберта тесно связана с т. н. . Если LL – простая гладкая или кусочно-гладкая линия, состоящая из замкнутых контуров, ограничивающих некоторую область S+S^+ плоскости комплексного переменного z=x+iyz=x+iy, остающуюся слева при обходе LL, то дополнение S+LS^+\cup L до плоскости zz обозначается через SS^-. Пусть функция Φ(z)\Phi(z) задана и непрерывна в окрестности линии LL всюду, кроме, быть может, самой LL. Говорят, что функция Φ(z)\Phi(z) непрерывно продолжима на точку tLt \in L слева (или справа), если Φ(z) \Phi(z) стремится к определённому пределу Φ+(t)\Phi^+(t) [или Φ(t)\Phi^-(t)], когда zz стремится к tt по любому пути, оставаясь слева (или справа) от LL.

Функцию Φ(z)\Phi(z) называют кусочно-аналитической с линией скачка LL, если она аналитична в S+S^+ и SS^- и непрерывно продолжима на каждую точку tLt \in L как слева, так и справа.

В задаче линейного сопряжения требуется определить кусочно-аналитическую функцию Φ(z)\Phi(z) с линией скачка LL, имеющую конечный порядок на бесконечности, по граничному условию

Φ+(t)=G(t)Φ(t)+g(t),tL+,\Phi^+(t)=G(t) \Phi^-(t)+g(t), \qquad t \in L_{+},где G(t)G(t) и g(t)g(t) – заданные на LL функции класса HH. В предположении, что G(t)0G(t)\neq 0 всюду на LL, целое число

ϰ=12π[argG(t)]L\varkappa=\frac{1}{2 \pi}[\arg G(t)]_{L}называется индексом задачи линейного сопряжения.

Когда Φ(z)=(Φ1,,Φn)\Phi(z)=\left(\Phi_{1}, \ldots, \Phi_{n}\right) – кусочно-аналитический вектор, G(t)G(t) – квадратная (n×nn \times n)-матрица и g(t)=(g1,,gn)g(t)=\left(g_{1}, \ldots, g_{n}\right) – вектор, причём detG(t)0\operatorname{det} G(t) \neq 0, целое число ϰ=12π[argdetG(t)]L\varkappa=\frac{1}{2 \pi}[\arg \operatorname{det} G(t)]_{L}называется суммарным индексом задачи линейного сопряжения. Понятия индекса и суммарного индекса играют важную роль в теории задачи линейного сопряжения (Хведелидзе. 1956; ; ; ).

Ha базе теории задачи линейного сопряжения построена теория одномерных вида (5).

Первая публикация: Математическая энциклопедия под ред. И. М. Виноградова, 1978.
  • Плоская кривая
  • Линейные уравнения
  • Граничные значения
  • Пределы
  • Аналитические функции