Гармони́ческая фу́нкция, действительная функция $u(x)$, заданная в области $D$ евклидова пространства $\mathbb{R}^n$, $n \geqslant 2$, имеющая в $D$ непрерывные частные производные 1-го и 2-го порядка и являющаяся решением уравнения Лапласа$$\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}+\ldots+\frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2}=0,$$где $x_1, x_2, \ldots, x_n$ – декартовы прямоугольные координаты точки $x$. Иногда это определение распространяется и на комплексные функции $w(x)=u(x)+ i v(x)$ в том смысле, что их действительные и мнимые части $\operatorname{Re} w(x)=u(x)$ и $\operatorname{Im} w(x)=v(x)$ являются гармоническими функциями. Требования непрерывности и даже наличия производных не являются априори необходимыми. Например, справедлива одна из теорем Привалова: непрерывная в $D$ функция $u(x)$ является гармонической функцией тогда и только тогда, когда в любой точке $x \in D$ для всех достаточно малых $R>0$ выполняется свойство среднего

$$u(x)=\frac{1}{\omega_n(R)} \int_{B_n(x, R)} u(y)\,d y,$$где $B_n(x, R)$ – шар радиуса $R$ с центром $x$, $\omega_n(R)$ – объём шара $B_n(x, R)$, $d y$ – элемент объёма в $\mathbb{R}^n$.

В случае неограниченной области $D$ с компактной границей $\partial D$ гармоническая функция может быть доопределена в бесконечно удалённой точке $\infty$, т. е. может быть доопределена в областях компактифицированного по Александрову пространства $\mathbb{R}^n$. Общий принцип такого доопределения состоит в том, чтобы при простейших преобразованиях, сохраняющих гармоничность (в случае $n=2$ – инверсия, в случае $n \geqslant 3$ – преобразование Кельвина) и переводящих конечную точку $x_0$ в $\infty$, гармоническая функция в окрестности $x_0$ переходила в гармоническую функцию в окрестности $\infty$. Исходя из этого считают гармоническую функцию $u(x)$ регулярной в бесконечности при $n \geqslant 3$, если

$$\lim _{|x| \rightarrow \infty} u(x)=0, \quad |x|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}.$$Таким образом, в случае регулярной в бесконечности гармонической функции $u(x)$ при $n \geqslant 3$ всегда $u(\infty)=0$. При $n=2$ должно выполняться условие

$$u(x)=O(1), \quad |x| \rightarrow \infty,$$из которого вытекает существование конечного предела

$$\lim _{|x| \rightarrow \infty} u(x)= u(\infty).$$Под гармоническими функциями в неограниченных областях обычно понимаются регулярные в бесконечности гармонические функции.

В теории гармонических функций важную роль играют главные фундаментальные решения уравнения Лапласа

$$\begin{gathered} h_2(x)=\frac{1}{2 \pi} \ln \frac{1}{|x|} \,\,\text { при }\,\, n=2, \\ h_n(x)=\frac{1}{(n-2) \sigma_n} \frac{1}{|x|^{n-2}} \,\, \text { при }\,\, n \geqslant 3, \end{gathered}$$где $\sigma_n$ – площадь единичной сферы пространства $\mathbb{R}^n$. При $|x|>0$ – это гармонические функции. С помощью фундаментальных решений записывается основная формула теории гармонических функций, выражающая значения гармонической функции $u(x)$ внутри области $D$ через её значения $u(y)$ на границе $S=\partial D$ и через значения её производной по направлению внешней нормали $\partial u(y) / \partial \nu$ к $S$ в точке $y$:

$$\int_{S}\left[h_n(x-y)\frac{\partial u(y)}{\partial \nu}-u(y) \frac{\partial h_n(x-y)}{\partial \nu_y}\right]\, d \sigma(y)= \begin{cases} u(x), & x \in \mathcal{D}, \\ 0, & x \notin \bar{D}. \end{cases}$$Эта формула Грина справедлива, например, при условии, что функция $u(x)$ и её частные производные 1-го порядка непрерывны в замкнутой области $\bar{D}$, т. е. $u(x) \in C^1(\bar{D})$, граница $S$ которой есть кусочно гладкая замкнутая поверхность или кривая. Она даёт представление произвольной гармонической функции $u(x)$ в виде суммы потенциалов простого и двойного слоя (см. Теория потенциала). Плотности этих потенциалов, т. е. соответственно граничные значения $\partial u(y) / \partial \nu$ и $u(y)$, не могут быть заданы произвольно. Между ними имеется интегральная зависимость, выражаемая тем, что левая часть последней формулы – интеграл Грина – должна обращаться в нуль для всех точек $x$, лежащих вне замкнутой области $\bar{D}$. Основная формула теории гармонических функций есть непосредственный аналог основной формулы теории аналитических функций – интегральной формулы Коши. Эта формула справедлива также при замене в ней главного фундаментального решения $h_n$ любым другим фундаментальным решением уравнения Лапласа, достаточно гладким в $\bar{D}$, например принадлежащим классу $C^1(\bar{D})$.

Основные свойства гармонических функций в предположении кусочной гладкости границы $S$ области $D$ (многие из них с соответствующими изменениями верны и для комплексных гармонических функций):

1) Если $D$ – конечная область и гармоническая функция $u(x) \in C^1(\bar{D})$, то

$$\int_S \frac{\partial u(y)}{\partial \nu}\, d \sigma(y)=0.$$2) Теорема о среднем значении: если $u(x)$ – гармоническая функция в шаре $B=B\left(x_0, R\right)$ радиуса $R$ с центром $x_0$ и $u(x) \in C^1(\bar{B})$, то её значение в центре шара равно среднему арифметическому её значений на сфере $S\left(x_0, R\right)$, т. е.

$$u\left(x_0\right)=\frac{1}{\sigma_n(R)} \int_{S\left(x_0, R\right)} u(y)\, d \sigma(y),$$где $\sigma_n(R)$ – площадь сферы радиуса $R$ в $\mathbb{R}^n$. В предположении непрерывности $u(x)$ это свойство может быть принято за определение гармонической функции.

3) Принцип экстремума: если $D$ – область в $\mathbb{R}^n$, не содержащая внутри точки $\infty$, $u(x)$ – гармоническая функция в $D$, $u(x) \neq\operatorname{const}$, то ни в какой точке $x_0 \in D$ функция $u(x)$ не может достигать локального экстремума, т. е. в любой окрестности $V\left(x_0\right)$ каждой точки $x_0 \in D$ найдётся точка $x^* \in V\left(x_0\right)$, в которой $u\left(x^*\right)>u\left(x_0\right)$, и найдётся точка $x_* \in V\left(x_0\right)$, в которой $u\left(x_*\right)<u\left(x_0\right)$ (принцип экстремума в локальной форме). Если, кроме того, $u(x) \in C(\bar{D})$, то наибольшее и наименьшее значения $u(x)$ в замкнутой области $\bar{D}$ достигаются только в точках границы $\partial D$ (принцип экстремума в глобальной форме). Следовательно, если $|u(x)| \leqslant M$ на $\partial D$, то $|u(x)| \leqslant M$ всюду в $\bar{D}$.

Этот принцип допускает обобщения в различных направлениях.

Например, если $u(x)$ – гармоническая функция в области $D$, не содержащей $\infty$, и

$$\lim _{x \rightarrow y} \sup u(x) \leqslant M$$для всех точек $y \in \partial D$, то $u(x) \leqslant M$ всюду в $D$.

4) Теорема о стирании особенностей: если $u(x)$ – гармоническая функция в области $D \backslash \left\{x_0\right\}$, $x_0 \in D$, удовлетворяющая условию

$$u(x)=o\left(\left|h_n\left(x-x_0\right)\right|\right), \quad x \longrightarrow x_0,$$то существует конечный предел

$$\lim _{x \rightarrow x_0} u(x)=u\left(x_0\right)$$и $u(x)$, пополненная значением $u\left(x_0\right)$, есть гармоническая функция в $D$.

5) Если $u(x)$ – гармоническая функция во всём пространстве $\mathbb{R}^n$, $n \geqslant 2$, ограниченная сверху или снизу, то $u(x)=\operatorname{const}$.

6) Если $u(x)$ – гармоническая функция в окрестности точки $x_0=\left(\left(x_1\right)_0, \left(x_2\right)_0, \ldots,\left(x_n\right)_0\right)$, то $u(x)$ разлагается в этой окрестности в степенной ряд по переменным $x_1-\left(x_1\right)_0, \ldots, x_n-\left(x_n\right)_0$, т. е. всякая гармоническая функция есть аналитическая функция переменных $x_1, \ldots, x_n$; следовательно, гармоническая функция $u(x)$ имеет производные всех порядков

$$\frac{\partial^m u}{\partial x_1^{k_1} \ldots \partial x_n^{k_n}},\quad k_1+\ldots+k_n=m,$$которые, в свою очередь, являются гармоническими функциями.

7) Свойство единственности: если $u(x)$ – гармоническая функция в области $D \subset \mathbb{R}^n$ и $u(x)=0$ в некоторой $n$-мерной окрестности какой-либо точки $x_0 \in D$, то $u(x) \equiv 0$ в $D$. Если $u(x)$ – аналитическая функция действительных переменных $x=\left(x_1, \ldots, x_n\right)$ в области $D \subset \mathbb{R}^n$ и $u(x)$ – гармоническая функция в некоторой $n$-мерной окрестности какой-либо точки $x_0 \in D$, то $u(x)$ – гармоническая функция в $D$.

8) Принцип симметрии: пусть граница $\partial D$ области $D \subset \mathbb{R}^n$ содержит открытое в плоскости $x_n=0$ множество $G$, $u(x)$ – гармоническая функция в $D$ и $u(x)=0$ всюду на $G$, $\tilde{D}$ – область, симметричная с $D$ относительно плоскости $x_n=0$; тогда $u(x)$ гармонически продолжается в область $D \cup G \cup \tilde{D}$ по формуле

$$u\left(x_1, \ldots, x_{n-1}, x_n\right)=-u\left(x_1, \ldots, x_{n-1},-x_n\right), \qquad \left(x_1, \ldots, x_{n-1}, x_n\right) \in \tilde{D}.$$9) Первая теорема Гарнака: если последовательность $\left\{u_n(x)\right\}$ гармонических функций в ограниченной области $D$, непрерывных в замкнутой области $\bar{D}$, сходится равномерно на границе $\partial D$, то она сходится равномерно в $\bar{D}$, причём предельная функция

$$u(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} u_n(x)$$есть гармоническая функция в D.

10) Вторая теорема Гарнака: если последовательность $\left\{u_n(x)\right\}$ гармонических функций монотонна в области $D$ и сходится по крайней мере в одной точке $x_0 \in D$, то она сходится всюду в $D$ к гармонической функции

$$u(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} u_n(x).$$См. также Неравенство Гарнака, Теоремы Гарнака.

Имеется тесная связь между гармоническими функциями двух переменных $\left(x_1, x_2\right)$ и аналитическими функциями комплексного переменного $z=x_1+i x_2$. Действительная и мнимая части аналитической функции являются, быть может, многозначными, сопряжёнными гармоническими функциями, т. е. они связаны условиями Коши – Римана. Если в окрестности точки $\left(x_1^0, x_2^0\right)$ задана гармоническая функция $u\left(x_1, x_2\right)$, то простейшее решение задачи об отыскании аналитической функции $f(z)$, $z=x_1+i x_2$, для которой $u\left(x_1, x_2\right)=\operatorname{Re} f(z)$, даётся формулой Гурса:

$$f(z)=2 u\left(\frac{z+\overline{z^0}}{2}, \frac{z-\overline{z^0}}{2 i}\right)-u\left(x_1^0, x_2^0\right)+i C_0,$$где $\overline{z^0}= x_1^0 -i x_2^0$, $C_0$ – произвольная действительная постоянная. К многозначным гармоническим функциям в областях $\mathbb{R}^n$, $n \geqslant 2$, приводят и некоторые пространственные задачи математической физики.

Важное значение гармонических функций в математической физике обусловлено прежде всего тем, что часто встречаются потенциальные векторные поля вида $s=-\operatorname{grad} u(x)$. Такие поля в областях, свободных от источников поля, должны удовлетворять уравнению сохранения $\operatorname{div} {s}=- \Delta u(x)=0$, т. е. уравнению Лапласа, а значит, в таких областях потенциал $u(x)$ есть гармоническая функция.

Примеры: если ${s}$ – силовой вектор гравитационного поля, то $u(x)$ – ньютонов потенциал сил тяготения; если ${s}$ – поле скоростей установившегося движения несжимаемой однородной жидкости или газа, то $u(x)$ – потенциал скоростей; если ${s}$ – напряжённость электростатического поля в однородной и изотропной среде, то $u(x)$ – потенциал электростатического поля; если ${s}$ – напряжённость стационарного магнитного поля в однородной и изотропной среде, то $u(x)$ – скалярный, как правило многозначный, потенциал магнитного поля. В случае стационарного распределения тепла в однородной и изотропной среде или стационарного распределения диффундирующих частиц гармонической функцией $u(x)$ является непосредственно температура среды или соответственно плотность частиц в точке $x$. К решению задач на гармонические функции сводятся также многие важные вопросы теории упругости и теории электромагнитного поля.

В развитии теории гармонических функций и математической физики особое место занимает краевая задача Дирихле, или первая краевая задача. Она состоит в отыскании гармонической в области $D$ и непрерывной в $\bar{D}$ функции $u(x)$ по заданным её непрерывным значениям $u(y)$ на границе области $S=\partial D$. В случае достаточно гладкой поверхности или линии $S$ решение можно выразить при помощи функции Грина $G(x,y)$:

$$u(x)=-\int_S u(y) \frac{\partial G(x, y)}{\partial \nu_y}\, d \sigma(y).$$При этом в случае простейших областей (шар, полупространство), когда нормальная производная $\partial G(x, y)/\partial \nu_y$ легко выражается в явном виде, получается интеграл Пуассона. Часто встречается также вторая краевая задача, или задача Неймана. Она состоит в определении гармонической функции $u(x)$ по заданным на границе $S$ значениям её нормальной производной. Решение этой задачи при помощи соответствующей функции Грина возможно, но явные выражения здесь значительно сложнее. Имеется ещё целый ряд краевых задач теории гармонических функций, более сложных по постановке и решению. См. также Метод выметания, Задача Робена.

Особое место в современной теории гармонических функций занимают некорректные задачи, связанные в первую очередь с задачей Коши для уравнения Лапласа. Сюда относится, например, следующая проблема наилучшей мажоранты: если на границе $S=\partial D$ области $D$ заданы функция $M=M(y)$ и условия $|u(y)| \leqslant M(y)$, $|\partial u(y) / \partial \nu| \leqslant M(y)$, то требуется оценить возможно точнее $\operatorname{sup}|u(x)|$ в классе гармонических функций $u(x)$ в $D$ (см. М. М. Лаврентьев. 1962, С. Н. Мергелян. 1956).

Важное значение имеет исследование граничных свойств гармонических функций, тесно связанное с субгармоническими функциями и граничными свойствами аналитических функций. Например, в случае гармонической функции $u(x)$ в единичном шаре $B(0,1)$ пространства $\mathbb{R}^n$, вообще говоря, $u(x)$ не имеет радиальных граничных значений

$$f(y)=\lim _{r \rightarrow 1} u(r y), \quad y \in S=\partial B(0,1).$$Однако для класса $A$ гармонических функций, определяемого условием

$$\int_S u^{+}(r y)\, d \sigma(y) \leqslant C(u)<\infty,$$где $d \sigma(y)$ – элемент площади $S$, $u^{+}=\max \{0, u\}$, радиальные граничные значения существуют почти всюду на $S$ по мере Лебега, и $u(x) \in A$ представима в виде интеграла Пуассона – Стилтьеса

$$u(x)=\int_S P_n(x, y)\, d \mu(y),$$где

$$P_n(x, y)=\frac{1}{\sigma_n(1)} \frac{1-|x|^2}{|x-y|^n}$$– ядро Пуассона, $d \mu$ – борелевская мера на $S$. Важное значение имеет также собственный подкласс ${B}$ класса $A$, состоящий из всех гармонических функций $u(x)$, представимых в $B(0,1)$ интегралом Пуассона – Лебега

$$u(x)=\int_s P_n(x, y) f(y)\, d \sigma(y).$$Большое развитие получила аксиоматическая теория гармонических функций и потенциалов в топологических пространствах (см. Гармоническое пространство, Абстрактная теория потенциала).