Те́нзорное исчисле́ние, математическая дисциплина, изучающая тензоры, их свойства и правила действий над ними. Тензорное исчисление является развитием и обобщением векторного исчисления и теории матриц. Тензорное исчисление широко применяется в дифференциальной геометрии, в теории римановых пространств, теории относительности, электродинамике и других областях науки.

Для описания многих физических явлений и геометрических объектов обычно вводится та или иная система координат, что позволяет описывать различные объекты при помощи одного или нескольких чисел, а соотношения между объектами – равенствами, связывающими эти числа или системы чисел. Некоторые из величин, называемые скалярными (например, в физике – масса, температура и др.), описываются одним числом, не изменяющимся при переходе от одной системы координат к другой. Другие величины – векторные (сила, скорость и т. д.) описываются тремя числами (компонентами вектора), причём при переходе от одной системы координат к другой компоненты вектора преобразуются по известному закону. Наряду со скалярными и векторными величинами во многих вопросах физики и геометрии встречаются величины более сложного строения. Эти величины, называемые тензорными, описываются в каждой системе координат несколькими числами (компонентами тензора), причём закон преобразования этих чисел при переходе от одной системы координат к другой сложнее, чем для векторов (подробнее см. ниже). Одним из классических примеров тензора является тензор инерции, задаваемый совокупностью чисел $J_{ij}$, $i, j=1, 2, 3$, где $J_{ii}$ – осевой момент инерции относительно оси $x_i$, а $J_{ij}$, $i≠j$, – центробежные моменты инерции, взятые с обратным знаком. При переходе от одной системы координат к другой осевые моменты инерции $J_{ii}$ меняются, причём знание их величин в одной системе координат не позволяет найти их в другой системе координат. Поэтому $J_{ii}$ не могут рассматриваться как физические величины, имеющие независимый от выбора системы координат смысл. В то же время совокупность всех чисел $J_{ij}$ имеет смысл, независимый от выбора системы координат, т. к. знание всех чисел $J_{ij}$ в одной системе прямоугольных координат позволяет найти их в любой другой системе прямоугольных координат по формуле

$$J'_{kl}=α_k^r α_l^s J_{rs},$$где $\|α_kr\|$ – матрица перехода от одной системы координат к другой; здесь, как принято в тензорном исчислении, опущен знак суммы и считается, что если один и тот же индекс встречается дважды (один раз внизу, а другой наверху), то по нему производится суммирование, причём этот индекс принимает все возможные для него значения (в приведённом примере – значения 1, 2, 3).

Пусть в трёхмерном евклидовом пространстве заданы два базиса $\{e_i\}$ и $\{e_if\}$, $i=1,2,3$, причём $e'_j=A_j^ie_i$, $e_i'=B_i^je_j$; $r$ раз ковариантным и $s$ раз контравариантным тензором называется зависящая от базиса совокупность $t$, состоящая из чисел $t_{j_1\ldots j_s}^{i_1\ldots i_r}$, преобразующихся при изменении базиса по формулам

$$t′_{m_1\ldots m_s}^{k_1\ldots k_r}=A_{m_1}^{j_1}\ldots A_{m_s}^{j_s}B_{i_1}^{k_1}\ldots B_{i_r}^{k_s}t_{j_1\ldots j_s}^{i_1\ldots i_r}.$$Число $r+s$ называется валентностью тензора. При $s=0$ тензор $t$ называется ковариантным, при $r=0$ – контравариантным, при $r > 0$, $s > 0$ – смешанным. Числа $t_{j_1\ldots j_s}^{i_1\ldots i_r}$ называются компонентами (координатами) тензора $t$ в данном базисе. Рассматриваются также тензоры нулевой валентности (скаляры или инварианты), которые в любом базисе имеют единственную компоненту, не зависящую от базиса. Дословно также определяются тензоры в $n$-мерном векторном пространстве над произвольным полем.

Суммой двух тензоров $t^{ab}_{cde}$ и $q^{ab}_{cde}$ одинакового строения (т. е. имеющих одинаковое число верхних и нижних индексов) называется тензор с координатами

$$r_{cde}^{ab}=t^{ab}_{cde}+q^{ab}_{cde}.$$Произведением двух тензоров $q^{ab}_{cde}$ и $q^{de}_{fhg}$ (быть может, разного строения) называется тензор с координатами

$$r^{ade}_{bcfgh}=q^{ab}_{cde}q^{de}_{fhg}.$$Рассматриваются и другие операции над тензорами. Например, результатом сворачивания тензора по индексам $a$ и $b$ (верхнему и нижнему) называется тензор $t^{b}_{ce}=t^{ib}_{cie}$ (здесь производится суммирование по индексу $i$).

Тензорным полем ($r$ раз ковариантным и $s$ раз контравариантным) в области $U$ трёхмерного пространства называется соответствие, сопоставляющее каждой точке $x∈U$ тензор $t(x)$ ($r$ раз ковариантный и $s$ раз контравариантный). Тензорное поле задаётся набором функций $t_{j_1\ldots j_s}^{i_1\ldots i_r}(x)$, на которые налагаются те или иные условия гладкости. Например, рассматриваются скалярные поля ($r=s=0$), векторные поля ($r=0$, $s=1$), т. н. пфаффовы формы ($r=1$, $s=0$). Тензор инерции, рассматриваемый во всех точках тела, даёт пример тензорного поля валентности $2$. Частные производные $\dfrac{d}{dx^{i_r+1}}t_{j_1\ldots j_s}^{i_1\ldots i_r}$ компонент тензорного поля являются компонентами $r+1$ раз ковариантного и $s$ раз контравариантного тензорного поля. Например, при дифференцировании скалярного поля $f$ получается пфаффова форма $df$ с компонентами $\frac{\partial f}{\partial x^i}$ (дифференциал функции $f$). В декартовых координатах эту форму можно рассматривать как векторное поле $\text{grad}\,f$, называемое градиентом функции $f$.

В тензорном анализе рассматриваются тензорные поля на произвольных дифференцируемых многообразиях и дифференциальные операторы, действующие на таких полях.

Возникновение тензорного исчисления было подготовлено в 19 в. развитием теории алгебраических форм, с одной стороны, и теории квадратичных дифференциальных форм, с другой. Исследования в области теории дифференциальных квадратичных форм были непосредственно связаны с дифференциальной геометрией: с геометрией поверхностей (К. Гаусс) и с геометрией многомерных метрических пространств (Б. Риман). Современную форму тензорному исчислению придали итальянские математики Г. Риччи-Курбастро и Т. Леви-Чивита (1901), поэтому тензорное исчисление иногда называют исчислением Риччи. Идеи Риччи-Курбастро первоначально не получили широкого распространения. Внимание к ним возросло после появления общей теории относительности, математическая часть которой целиком основана на тензорном исчислении.