Те́нзор на векторном пространстве $V$ над полем $k$, элемент $t$ векторного пространства$$T^{p, q}(V)=(\stackrel{p}{\otimes} V) \otimes\left(\stackrel{p}{\otimes} V^*\right),$$где $V^*=\operatorname{Hom}(V, k)$ – пространство, сопряжённое с $V$. Говорят, что тензор $t$ является $p$ раз контравариантным и $q$ раз ковариантным или что $t$ имеет тип $(p, q)$. Число $p$ называется контравариантной валентностью, $q$ – ковариантной валентностью, а число $p+q$ – общей валентностью тензора $t$. Пространство $T^{0,0}(V)$ отождествляется с $k$. Тензоры типа $(p, 0)$ называются контравариантными, типа $(0, q)$ – ковариантными, а остальные – смешанными.

Примеры тензоров:
1. Вектор пространства $V$ [тензор типа (1,0)].

2. Ковектор пространства $V$ [тензор типа (0,1)].

3. Каждый ковариантный тензор

$$t=\sum_{i=1}^s h_{i 1} \otimes \ldots \otimes h_{i q},$$где $h_{i j} \in V^*$, определяет $q$-линейную форму $\hat{t}$ на $V$ по формуле

$$\hat{t}\left(x_1, \ldots, x_q\right)=\sum_{i=1}^s h_{i 1} \left(x_1\right) \ldots h_{i q}\left(x_q\right);$$отображение $t \longmapsto \hat{t}$ пространства $T^{0, q}$ в пространство $L^q(V)$ всех $q$-линейных форм на $V$ линейно и инъективно; если $\operatorname{dim} V<\infty$, то это отображение является изоморфизмом, так что любая $q$-линейная форма отвечает некоторому тензору типа $(0, q)$.

4. Аналогично, каждый контравариантный тензор из $T^{p, 0}(V)$ определяет некоторую $p$-линейную форму на $V^*$, а если $V$ конечномерно, то верно и обратное.

5. Каждый тензор

$$t=\sum_{i=1}^s x_i \otimes h_i \in T^{1,1}(V),$$где $x_i \in V$, $h_i \in V^*$, определяет линейное преобразование $\hat{t}$ пространства $V$, заданное формулой

$$\hat{t}(y)=\sum_{i=1}^s h_i(y) x_i;$$если $\operatorname{dim} V<\infty$, то любое линейное преобразование пространства $V$ определяется тензором типа $(1,1)$.

6. Аналогично, любой тензор типа $(1,2)$ определяет в $V$ билинейную операцию, т. е. структуру $k$-алгебры; при этом, если $\operatorname{dim} V<\infty$, то любая структура $k$-алгебры в $V$ определяется некоторым тензором типа $(1,2)$, который называется структурным тензором алгебры.

Пусть $V$ конечномерно и $v_1, \ldots, v_n$ – его базис, $v^1, \ldots, v^n$ – сопряжённый базис пространства $V^*$. Тогда тензоры

$$v_{i_1 \ldots i_p}^{j_1 \ldots j_q}=v_{i_1} \otimes \ldots \otimes v_{i_p} \otimes v^{j_1} \otimes \ldots \otimes v^{j_q}$$составляют базис пространства $T^{p, q}(V)$. Координаты $t_{j_1 \ldots j_q}^{i_1 \ldots i_p}$ тензора $t \in T^{p, q}(V)$ в этом базисе называются также координатами тензора $t$ в базисе $v_1, \ldots,v_n$ пространства $V$. Например, координаты вектора и ковектора совпадают с их обычными координатами в базисах $\left(v_i\right)$ и $\left(v^j\right)$, координаты тензора типа $(0,2)$ совпадают c элементами матрицы соответствующей билинейной формы, координаты тензора типа – с элементами матрицы соответствующего линейного преобразования, координаты структурного тензора алгебры – с её структурными константами. Если $\tilde{v}_1, \ldots, \tilde{v}_n$ – другой базис пространства $V$, $\tilde{v}_j=a_j^i v_i$, $\left\|b_j^i\right\|= \left(\left\|a_j^i\right\|^{\top}\right)^{-1}$, то координаты $t_{j_1, \ldots, j_q}^{i_1, \ldots, i_p}$тензора $t$ в этом базисе определяются по формулам

$$\tilde{t}_{j_1 \ldots j_q}^{i_1 \ldots i_p}=b_{k_1}^{i_1} \ldots b_{k_p}^{i_p} a_{j_1}^{l_1} \ldots a_{j_q}^{l_q} t_{l_1\ldots l_q}^{k_1 \ldots k_p}. \tag{1}$$Здесь, как это часто делается в тензорном исчислении, применимо правило суммирования Эйнштейна: по каждой паре одинаковых индексов, один из которых верхний, а другой нижний, подразумевается суммирование от $1$ до $n$. Обратно, если система $n^{p+q}$ элементов поля $k$, зависящая от базиса пространства $V$, изменяется при переходе от базиса к базису по формулам $(1)$, то эта система является набором координат некоторого тензора типа $(p, q)$.

В векторном пространстве $T^{p, q}(V)$ определены операции сложения тензоров и умножения тензора на скаляр из $k$. При этих операциях соответствующие координаты тензора складываются или умножаются на скаляр. Определена также операция умножения тензоров разных типов, которая вводится следующим образом. Имеет место естественный изоморфизм векторных пространств

$$T^{p, q}(V) \otimes T^{r, s}(V) \cong T^{p+r, q+s}(V),$$переводящий

$$\begin{array}{r} \left(x_1 \otimes \ldots \otimes x_p \otimes h_1 \otimes \ldots \otimes h_q\right) \otimes\left(x_1^{\prime} \otimes \ldots \otimes x_r^{\prime} \otimes h_{1}^{\prime} \otimes \ldots \otimes h_{s}\right) \end{array}$$в

$$\begin{array}{r} x_1 \otimes \ldots \otimes x_p \otimes x_1^{\prime} \otimes \ldots \otimes x_r^{\prime} \otimes h_1 \otimes \ldots \otimes h_q \otimes h_1^{\prime} \otimes \ldots \otimes h_s^{\prime}. \end{array}$$Поэтому для любых $t \in T^{p, q}(V)$ и $u \in T^{r, s}(V)$ элемент $v=t \otimes u$ может рассматриваться как тензор типа $(p+r, q+s)$, который и называется произведением тензоров $t$ и $u$. Координаты произведения вычисляются по формуле

$$v_{j_1\ldots j_{q+s}}^{i_1\ldots i_{p+r}} = t_{j_1\ldots j_{q}}^{i_1\ldots i_{pr}} u_{j_{q+1}\ldots j_{q+s}}^{i_{p+1}\ldots i_{p+r}}.$$Пусть $p>0$, $q>0$ и пусть фиксированы числа $\alpha$ и $\beta$, где $1 \leqslant \alpha \leqslant p$, $1 \leqslant \beta \leqslant q$. Тогда определено линейное отображение $Y_\beta^\alpha: T^{p, q}(V) \rightarrow T^{p-1, q-1}(V)$ такое, что

$$\begin{gathered} Y_\beta^\alpha\left(x_1 \otimes \ldots \otimes x_p \otimes h_1 \otimes \ldots \otimes h_q\right)= \\ =h_\beta\left(x_\alpha\right) x_1 \otimes \ldots \otimes x_{\alpha-1} \otimes x_{\alpha+1} \otimes \ldots \otimes x_p \otimes \\ \otimes h_1 \otimes \ldots \otimes h_{\beta-1} \otimes h_{\beta+1} \otimes \ldots \otimes h_q. \end{gathered}$$Оно называется свёртыванием (или свёрткой) по $\alpha$-му контравариантному и $\beta$-му ковариантному индексам. В координатах свёртка записывается формулами

$$\left(Y_\beta^{\alpha_t}\right)_{j_1 \ldots j_{q-1}}^{i_1 \ldots i_{p-1}}= t_{j_1 \ldots j_{\beta-1}ij_{beta+1}\ldots j_q}^{i_1 \ldots i_{\alpha-1} i i_{\alpha+1} \ldots i_p}.$$Например, свёртка $Y_1^1 t$ тензоров типа $(1,1)$ есть след соответствующего линейного преобразования.

Аналогично определяются тензор на произвольном унитарном модуле $V$ над коммутативно-ассоциативным кольцом с единицей. Перечисленные выше примеры и свойства тензоров переносятся с соответствующими изменениями на этот случай, причём иногда надо предполагать, что $V$– свободный или конечно порождённый свободный модуль.

Пусть в конечномерном векторном пространстве над полем $k$ фиксирована невырожденная билинейная форма $g$ (например, $V$ – евклидово или псевдоевклидово пространство над $R$); форму $g$ называют в этом случае метрическим тензором. Метрический тензор определяет изоморфизм $\gamma: V \rightarrow V^*$ по формуле

$$\gamma(x)(y)=g(x, y), \quad x, y \in V.$$Пусть $p>0$ и пусть фиксирован индекс $\alpha$, $1 \leqslant \alpha \leqslant p$. Тогда формула

$$\begin{gathered} x_1 \otimes \ldots \otimes x_p \otimes h_1 \otimes \ldots \otimes h_q \mapsto \\ \mapsto x_1 \otimes \ldots \otimes x_{\alpha-1} \otimes x_{\alpha+1} \otimes \ldots \otimes x_p \otimes \\ \otimes \gamma\left(x_\alpha\right) \otimes h_1 \otimes \ldots \otimes h_q \end{gathered}$$определяет изоморфизм $\gamma^\alpha: T^{p, q}(V) \rightarrow T^{p-1, q+1}(V)$, называемый опусканием $\alpha$-го контравариантного индекса. Иначе:

$$\gamma^\alpha(t)=Y_1^\alpha(g \otimes t).$$В координатах опускание индекса имеет вид

$$\gamma^\alpha(t)_{j_1 \ldots i_{q+1}}^{i_1 \ldots i_{p-1}}=g_{i j_1} t_{j_2 \ldots j_{q+1}}^{i_1\ldots i_{\alpha-1}i i_{\alpha+1} \ldots i_{p-1}}.$$Аналогично определяется изоморфизм подъёма $\beta$-го ковариантного индекса ($1 \leqslant \beta \leqslant q$):

$$\begin{aligned} \gamma_\beta: & x_1 \otimes \ldots \otimes x_p \otimes h_1 \otimes \ldots \otimes h_q \mapsto \\ & \mapsto x_{1} \otimes \ldots \otimes x_p \otimes \gamma^{-1}\left(h_\beta\right) \otimes \\ \otimes & h_1 \otimes \ldots \otimes h_{\beta-1} \otimes h_{\beta+1} \otimes \ldots \otimes h_q, \end{aligned}$$отображающий $T^{p, q}(V)$ на $T^{p+1, q-1}(V)$. В координатах подъём индекса записывается формулой

$$\gamma_\beta(t)_{j_1 \ldots j_{q-1}}^{i_1 \ldots i_{p+1}}=g^{j i_{p+1}} t_{j_1 \ldots j_{\beta-1} j j_\beta \ldots j_{q-1}}^{i_1 \ldots i_p},$$где $\left\|g^{k l}\right\|=\left(\left\|g_{i j}\right\|^{\top}\right)^{-1}$. В частности, подъём сначала 1-го, а потом и оставшегося ковариантного индекса метрического тензора $g$ приводит к тензору типа $(2,0)$ с координатами $g^{k l}$ (контравариантный метрический тензор). Иногда опущенный (поднятый) индекс не передвигают на первое (последнее) место, а пишут на том же месте в нижней (верхней) группе индексов, ставя на образовавшемся пустом месте точку. Например, для $t \in T^{2,0}(V)$ координаты тензора $\gamma^2(t)$ записывают в виде $t_j^{i\cdot}=g_{k j} t^{i k}$.

Любое линейное отображение $f: V \rightarrow W$ векторных пространств над $k$ естественным образом определяет линейные отображения

$$T^{p, 0}(f)=\stackrel{p}{\bigotimes} f: T^{p, 0}(V) \rightarrow T^{p, 0}(W)$$и

$$T^{q, 0}\left(f^*\right)==\stackrel{q}{\bigotimes} f^*: T^{0, q}(W) \rightarrow T^{0, q}(V).$$Если $f$ – изоморфизм, то определяется также линейное отображение

$$T^{p, q}(f): T^{p, q}(V) \rightarrow T^{p, q}(W),$$причём $T^{0, q} (f)=T^{q, 0}\left(f^*\right)^{-1}$. Соответствие $f \longmapsto T^{p, q}(f)$ обладает функториальными свойствами. B частности, оно определяет линейное представление $a \longmapsto T^{p, q}(a)$ группы $\operatorname{GL}(V)$ в пространстве $T^{p, q}(V)$ (тензорное представление).