#Геометрия Римана

Исследуйте Области знаний

У нас представлены тысячи статей

Тег

Геометрия Римана

Найденo 8 статей

Математика

Термины

Сопряжённая сеть

Сопряжённая сеть, сеть линий на поверхности, образованная двумя семействами линий – такими, что в каждой точке поверхности линии сети различных семейств имеют сопряжённые направления. Если координатная сеть является сопряжённой сетью, то коэффициент второй квадратичной формы поверхности тождественно равен нулю.

Класс риманова пространства

Класс ри́манова простра́нства , число такое, что может быть локально изометрически вложено в -мерное евклидово пространство и не может быть вложено в евклидово пространство меньшего числа измерений. От вложения требуется достаточно высокая регулярность [т. к. риманово пространство допускает локальное изометрическое вложение в виде -гладкой гиперповерхности в (теорема Нэша)]; класс аналитического риманова пространства не превосходит (теорема Жане – Картана). Класс риманова пространства равен нулю в том и только том случае, если тензор кривизны многообразия тождественно равен нулю.

Математика

Геодезическое отображение

Геодези́ческое отображе́ние, отображение , переводящее геодезические линии пространства в геодезические линии пространства . Геодезическое отображение , где и – пространства, в которых определены геодезические, локально гомеоморфно (диффеоморфно, если , – гладкие многообразия).

Математика

Научные направления

Геометрия Римана

Геоме́трия Ри́мана, одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на аксиомах, требования которых в значительной части отличны от требований аксиом евклидовой геометрии. Основными объектами, или элементами, трёхмерной геометрии Римана являются точки, прямые и плоскости; основные понятия геометрии Римана суть понятия принадлежности (точки прямой, точки плоскости), порядка (например, порядка точек на прямой или порядка прямых, проходящих через данную точку в данной плоскости) и конгруэнтности фигур. Требования аксиом геометрии Римана, касающиеся принадлежности и порядка, полностью совпадают с требованиями аксиом проективной геометрии.

Математика

Научные отрасли

Геометрия

Геоме́трия, раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также отношения и формы, сходные с пространственными по своей структуре. Геометрия, по свидетельству греческих историков, была перенесена в Грецию из Египта в 7 в. до н. э. Здесь на протяжении многих поколений она складывалась в стройную систему, накапливались новые геометрические знания, выяснялись связи между разными геометрическими фактами, формировались понятия о фигуре, о геометрическом предложении и о доказательстве. Этот процесс привёл к качественному изменению – геометрия превратилась в самостоятельную математическую науку, появились систематические изложения геометрии, в которых её предложения последовательно доказывались. В современном, более общем смысле геометрия объемлет разнообразные математические теории, принадлежность которых к геометрии определяется не только сходством (хотя порой и весьма отдалённым) их предмета с обычными пространственными формами и отношениями, но также тем, что они исторически сложились и складываются на основе геометрии в первоначальном её значении и в своих построениях исходят из анализа, обобщения и видоизменения её понятий. Геометрия в этом общем смысле тесно переплетается с другими разделами математики, и её границы не являются точными.

Математика

Научные направления

Риманова геометрия

Ри́манова геоме́трия, многомерное обобщение геометрии на поверхности, представляющее собой теорию римановых пространств, т. е. таких пространств, где в малых областях приближённо имеет место евклидова геометрия (с точностью до малых высшего порядка по сравнению с размером области). Риманова геометрия получила своё название по имени Б. Римана, заложившего её основы в 1854 г.

Математика

Инварианты тензора кривизны пространства-времени

Инвариа́нты те́нзора кривизны́ простра́нства-вре́мени, скаляры, построенные из различных свёрток тензора кривизны пространства-времени (тензора Римана) . Принадлежность к скалярам означает, что их значения в каждой мировой точке пространства-времени остаются неизменными при переходе от одной достаточно гладкой системы координат к другой (в отличие от компонент тензора). Таких скаляров может быть построено неограниченное количество, включая квадратичные (например, ), кубические (такие, как ) и др. (индексы пробегают значения 1, 2, 3, 4; по дважды повторяющимся индексам подразумевается суммирование). Часть из них, наиболее важная, представляет основные геометрические характеристики пространства-времени. Самым известным инвариантом является скалярная кривизна (где – метрический тензор). Обращение одного или нескольких таких инвариантов в бесконечность свидетельствует о геометрических особенностях пространства-времени в какой-либо мировой точке или наборе точек, для которых это имеет место.

Физика

Неевклидовы геометрии

Неевкли́довы геоме́трии, геометрические системы, отличные от геометрии Евклида; однако обычно термин «неевклидовы геометрии» применяется лишь к геометрическим системам (отличным от геометрии Евклида), в которых определено движение фигур, причём с той же степенью свободы, что и в евклидовой геометрии. Среди неевклидовых геометрий особое значение имеют геометрия Лобачевского и геометрия Римана. Геометрия Лобачевского – первая геометрическая система, отличная от геометрии Евклида, и первая более общая теория, включающая евклидову геометрию как предельный случай. Геометрия Римана, открытая позднее, в некоторых отношениях противоположна геометрии Лобачевского, но вместе с тем является её дополнением. Геометрия Лобачевского строится на основе тех же аксиом, что и евклидова, за исключением одной аксиомы о параллельных. В геометрии Римана принимается аксиома: каждая прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой, пересекает эту прямую. Эта аксиома противоречит части системы аксиом евклидовой геометрии. Различными в этих геометриях являются аксиомы, которые служат для обоснования т. н. отношений порядка геометрических элементов. Суть состоит в следующем: в евклидовой геометрии и в геометрии Лобачевского порядок точек на прямой является линейным, т. е. подобным порядку в множестве действительных чисел; в геометрии Римана порядок точек на прямой является циклическим, т. е. подобным порядку в множестве точек на окружности. В геометриях Евклида и Лобачевского каждая прямая, лежащая в данной плоскости, разделяет эту плоскость на две части; в геометрии Римана прямая не разделяет плоскость на две части, т. е. любые две точки плоскости, не лежащие на данной прямой, можно соединить в этой плоскости непрерывной дугой, не пересекая данную прямую. Требования аксиом, определяющих движение фигур, для всех трёх геометрий одинаковы.

Математика