Сфери́ческая геоме́трия, раздел геометрии, изучающий геометрические образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрические образы, находящиеся на плоскости.

Всякая плоскость, пересекающая сферу, даёт в сечении некоторую окружность; если секущая плоскость проходит через центр $O$ сферы, то в сечении получается т. н. большой круг. Через каждые две точки $A$ и $B$ на сфере (рис. 1), кроме случая диаметрально противоположных точек, можно провести единственный большой круг.

Рис. 1. Большой круг на сфере.Рис. 1. Большой круг на сфере.Большие круги сферы являются её геодезическими линиями и потому в сферической геометрии играют роль, аналогичную роли прямых в планиметрии. Однако, в то время как отрезок прямой является кратчайшим путём между его концами, дуга большого круга на сфере будет кратчайшей лишь в случае, когда она короче дополнительной дуги. Во многих других отношениях сферическая геометрия также отлична от планиметрии; так, например, в сферической геометрии не существует параллельных геодезических: два больших круга всегда пересекаются, причём в двух точках.

Рис. 2. Углы на сфере.Рис. 2. Углы на сфере.Длину отрезка $AB$ на сфере, т. е. дугу $AmB$ (рис. 1) большого круга, измеряют соответствующим, пропорциональным ей, центральным углом $AOB$. Угол $ABC$ (рис. 2), образованный на сфере дугами больших кругов, измеряют углом $A'BC'$ между касательными к соответствующим дугам в точке пересечения $B$ или двугранным углом, образованным плоскостями $OBA$ и $OBC$.

Рис. 3. Сферические двуугольники.Рис. 3. Сферические двуугольники.При пересечении двух больших кругов на сфере образуются четыре сферических двуугольника (рис. 3). Сферический двуугольник определяется заданием своего угла. Площадь сферического двуугольника определяется по формуле $S=2R^2A$, где $R$ – радиус сферы, $A$ – угол двуугольника, выраженный в радианах.

Три больших круга, не пересекающихся в одной паре диаметрально противоположных точек, образуют на сфере восемь сферических треугольников (рис. 4).

Рис. 4. Сферические треугольники.Рис. 4. Сферические треугольники.Зная элементы (углы и стороны) одного из них, можно определить элементы всех остальных. Поэтому обычно рассматривают соотношения между элементами лишь одного треугольника, притом того, все стороны которого меньше половины большого круга (такие треугольники называются эйлеровыми). Стороны $a, b, c$ сферического треугольника измеряются плоскими углами трёхгранного угла $OABC$ (рис. 5), углы $A, B, C$ – двугранными углами того же трёхгранного угла.

Рис. 5. Трёхгранный угол на сфере.Рис. 5. Трёхгранный угол на сфере.Свойства сферических треугольников во многом отличаются от свойств треугольников на плоскости (прямолинейных треугольников). Так, к известным трём случаям равенства прямолинейных треугольников для треугольников на сфере добавляется четвёртый: два треугольника равны, если равны их соответствующие углы (подобных треугольников на сфере не существует).

Равными треугольниками считаются те, которые могут быть совмещены после передвижения по сфере. Поэтому равные сферические треугольники имеют равные элементы и одинаковую ориентацию. Треугольники, имеющие равные элементы и различную ориентацию, называют симметричными, таковы, например, треугольники $АС'С$ и $BCC'$ (рис. 6).

Рис. 6. Симметричные треугольники на сфере.Рис. 6. Симметричные треугольники на сфере.Во всяком эйлеровом сферическом треугольнике каждая сторона меньше суммы и больше разности двух других; сумма всех сторон всегда меньше $2π$. Сумма углов сферического треугольника всегда меньше $3π$ и больше $π$. Разность $s-π=ε$, где $s$ – сумма углов сферического треугольника, называют сферическим избытком. Площадь сферического треугольника есть $S=R^2ε$, где $R$ – радиус сферы. О соотношениях между углами и сторонами сферического треугольника и об истории их изучения см. в статье Сферическая тригонометрия.