Симплекти́ческая геоме́трия, раздел дифференциальной геометрии, изучающий симплектические многообразия, т. е. многообразия, снабжённые симплектической структурой – замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой. Диффеоморфизмы, сохраняющие симплектическую структуру, называются симплектическими диффеоморфизмами, или симплектоморфизмами. Основная задача симплектической геометрии – классификация симплектических многообразий с точностью до симплектоморфизма.

Локальная симплектическая геометрия

Согласно теореме Дарбу, все симплектические многообразия одной размерности (а она обязательно чётна) локально симплектоморфны стандартному симплектическому пространству с симплектической структурой$$d p_{1} \wedge d q_{1}+\ldots+d p_{n} \wedge d q_{n}.$$Кроме того, связное симплектическое многообразие является однородным пространством своей группы симплектоморфизмов – симплектическим диффеоморфизмом можно перенести любую точку в любую другую. Это свойство – проявление «принципа гибкости» в симплектической геометрии.

Другое проявление этого – относительная теорема Дарбу: «внешняя» симплектическая геометрия подмногообразия симплектического пространства локально определяется его «внутренней» симплектической геометрией, т. е. ограничением на него симплектической структуры.

Это ограничение уже может быть вырожденной замкнутой $2$-формой, и внутренняя геометрия может быть сложной. Однако если ограничение имеет постоянный ранг, то и внутренняя локальная геометрия оказывается универсальной – она определяется рангом и коразмерностью подмногообразия. Так, изотропные (ранг равен нулю), инволютивные (коранг равен коразмерности) и лагранжевы (и то и другое) подмногообразия имеют постоянный ранг и тем самым в подходящих координатах Дарбу являются линейными подпространствами. Например, ось $q_1$ является локальной моделью любой кривой в симплектическом пространстве (кривая всегда изотропна), гиперплоскость $p_1=0$ – любой гладкой гиперповерхности (она всегда инволютивна), а подпространство $p=0$ служит универсальной локальной моделью лагранжевых подмногообразий.

Группа симплектоморфизмов обеспечивает значительную свободу действий по меньшей мере в локальных вопросах. Это отличие симплектической геометрии от римановой, где группа автоморфизмов, как правило, тривиальна и всегда конечномерна, показывает, что локальная дифференциальная геометрия симплектических многообразий едва ли может служить предметом глубокого изучения. Содержательная теория симплектических многообразий – это их глобальная геометрия, т. е. симплектическая топология.

Симплектическая топология

Основные проблемы симплектической топологии ещё не решены, а полученные результаты в большинстве трудны и неэлементарны.

Открытым остаётся вопрос об условиях существования хотя бы одной симплектической структуры на данном замкнутом многообразии и о классификации таких структур, если они существуют. Очевидно, старшая внешняя степень $\omega^n$ симплектической структуры $\omega$ является формой объёма (мера Лиувилля), так что симплектическое многообразие ориентируемо, и из фундаментального класса когомологий извлекается корень $n$-й степени ($[\omega]^n\neq 0$). Достаточны ли эти условия для существования симплектической структуры и какие классы в $H^{2}\left(M^{2n}, \mathbb{R}\right)$ реализуются симплектическими формами, неизвестно.

При фиксированном когомологическом классе гомотопные симплектические структуры диффеоморфны, но известны примеры, когда классов гомотопий много и соответствующие структуры недиффеоморфны.

Для открытых многообразий (т. е. некомпактных, без края), напротив, вопрос о существовании симплектических структур решён: каждую невырожденную дифференциальную $2$-форму можно продеформировать в замкнутую, сохраняя невырожденность.

В то же время при $n>1$ существуют симплектические многообразия, диффеоморфные $\mathbb{R}^{2n}$, но не симплектоморфные никакому подмножеству стандартного $2n$-мерного симплектического пространства, и классификация подобных нестандартных структур в $\mathbb{R}^{2n}$ неизвестна.

Симплектические диффеоморфизмы сохраняют меру Лиувилля, но обратное неверно. Следующая теорема показывает, что не только дифференциальные, но и более грубые топологические свойства симплектических многообразий могут улавливать эту разницу: группа симплектоморфизмов $C^{0}$-замкнута в группе диффеоморфизмов; другими словами, диффеоморфизм, равномерно приближаемый симплектическими (он сохраняет меру), сам является симплектическим. По сути это утверждение о существовании симплектической топологии, призванной изучать инвариантные свойства симплектических многообразий, разрушаемые более общими преобразованиями. Пример результатов такого сорта: пусть $\bigcap_{i=1}^{n}\left\{p_{i}^{2}+q_{i}^{2} \leqslant 1\right\}$ – полидиск в стандартном симплектическом пространстве $\mathbb{R}^{2n}$; он содержится в шаре радиуса $\sqrt{n}$ значительно большего объёма при $n>1$; этот полидиск невозможно поместить симплектическим диффеоморфизмом в шар меньшего радиуса.

Эта теорема – одно из проявлений «принципа жёсткости» в симплектической топологии. Другие его известные проявления – теоремы о неподвижных точках симплектоморфизмов и пересечениях лагранжевых многообразий, впервые сформулированные В. И. Арнольдом в 1965 г. и восходящие к теории Морса и геометрической теореме Пуанкаре.

Контактная структура

Контактная структура на (нечётномерном) многообразии – это «максимально неинтегрируемое» поле касательных гиперповерхностей. Контактная геометрия находится примерно в таком же отношении к симплектической геометрии, как проективная к аффинной. Её часто рассматривают как младшую сестру симплектической геометрии – и не без некоторых оснований. А именно, имеются операции контактизации и симплектизации, сопоставляющие симплектическому (соответственно контактному) многообразию контактное (соответственно симплектическое) на единицу большей (в обоих случаях) размерности. Первая операция определена при некоторых условиях квантования и известна также под названием «предквантование Сурьо – Костанта». Вторая определена всегда и сводит геометрию контактных многообразий к геометрии симплектических с дополнительной структурой – свободным действием мультипликативной группы $\mathbb{R}^{*}$ растяжений, относительно которых симплектическая структура однородна степени $1$. Некоторые результаты контактной топологии оказываются шире своих симплектических двойников. Причина, видимо, в некомпактности группы $\mathbb{R}^{*}$, неудобной в топологических вопросах, а также в естественности упомянутых условий квантования, имеющих глобально-топологический характер.

Симплектическая геометрия играет фундаментальную роль в классической, статистической и квантовой механике. Дело в том, что симплектическая структура оказывается естественной геометрической структурой фазовых пространств гамильтоновых систем. Все атрибуты гамильтонова формализма переносятся на любое симплектическое многообразие, а в координатах Дарбу принимают привычный вид.

Фазовое пространство

Пусть $X$ – конфигурационное пространство механической системы, $M=T^{*} X$ – пространство его кокасательного расслоения. Точка из $M$ – это ковектор $p$ (обобщённый импульс), приложенный к какой-либо точке $q$ на X. Симплектическая структура $\omega$ на $M$ определяется как дифференциал $1$-формы действия $\omega=d\alpha$. Значение формы действия $\alpha$ на касательном векторе $v$ к $M$ в точке $p$ задаётся как значение ковектора $p$ на образе вектора $v$ при проекции $T^{*} X \rightarrow X$: $p \mapsto q$ в координатах $\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$ на $X$ и двойственных координатах $\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)$ обобщённого импульса.

Картина Шрёдингера

Гамильтониан $H$, т. е. гладкая функция на симплектическом многообразии $(M,\omega)$, задаёт векторное поле ${v}_{H}$ на $M$ по правилу: $\omega\left(\cdot, v_{H}\right)=d H$. Движение фазовой точки со скоростью $v_{H}$ описывается системой дифференциальных уравнений, которая в координатах Дарбу принимает вид уравнений Гамильтона:$$\dot{p}=-H_{q},\quad \dot{q}=H_{p}.$$

Картина Гейзенберга

Формула$$\{F, G\}=\omega\left(v_{F}, v_{G}\right)$$задаёт скобку Пуассона в пространстве функций на симплектическом многообразии. В координатах Дарбу $$\{F, G\}=\sum \frac{\partial F}{\partial p_{i}} \frac{\partial G}{\partial q_{i}}-\frac{\partial G}{\partial p_{i}} \frac{\partial F}{\partial q_{i}}.$$Геометрическая интерпретация функции $\{H, F\}$ как производной функции $F$ вдоль потока поля $v_{H}$ означает, что картина Шрёдингера эквивалентна картине Гейзенберга: физические величины (т. е. функции на фазовом пространстве) меняются во времени согласно уравнению $F=\{H,F\}$. Из этой эквивалентности вытекают основные свойства законов сохранения: сохранение энергии ($\{H,H\}=0$); теорема Нётер – если поток поля $v_{F}$ сохраняет функцию Гамильтона $H$, то $F$ – первый интеграл потока поля ${v}_{H}$$$(\{F, H\}=0 \Rightarrow\{H, F\}=0);$$теорема Пуассона – скобка Пуассона $\{F, G\}$ первых интегралов – снова первый интеграл, это следует из тождества Якоби$$\{H,\{F, G\}\}+\{F,\{G, H\}\}+\{G,\{H, F\}\}=0.$$

Пуассоновы структуры

Если в алгебре функций на многообразии задана скобка Пуассона, то многообразие разбивается в объединение симплектических многообразий, называемых симплектическими листами. Таким образом, свойства скобки Пуассона, принятые за аксиомы, приводят к обобщению симплектических многообразий – понятию пуассоновой структуры, может быть, более фундаментальному, чем понятие симплектической структуры. Важный класс пуассоновых структур – линейные, т. е. коалгебры Ли. Если $\mathfrak{G}^{*}$ – двойственное пространство алгебры Ли группы Ли $G$, то коммутатор в $\mathfrak{G}$ задаёт скобку Пуассона функций на $\mathfrak{G}^{*}$ (сперва – линейных, а затем – по формуле Лейбница – гладких). Симплектические листы в $\mathfrak{G}^{*}$ – это орбиты коприсоединённого действия группы $G$, снабжённые симплектической формой Ли – Березина – Костанта – Кириллова. Она играет существенную роль в теории представлений группы $G$, а также в теории вполне интегрируемых систем (и вообще, при понижении порядка гамильтоновых систем с помощью группы симметрий – симплектической редукции).

Уравнение Эйлера

Пусть гамильтониан – левоинвариантная риманова метрика на группе Ли $G$, рассматриваемая как послойно квадратичная функция на фазовом пространстве $T^{*} G$. Симплектическая редукция сводит изучение такой системы к интегрированию потоков на орбитах, задаваемых квадратичным гамильтонианом в $\mathfrak{G}^{*}$. Такова, например, природа уравнения Эйлера, описывающего свободные вращения твёрдого тела ($G$ – группа вращений $\mathbb{R}^{3}$), уравнения вихря в гидродинамике идеальной жидкости ($G$ – группа сохраняющих объём диффеоморфизмов), уравнения Кортевега – де Фриза ($G$ – группа Вирасоро, одномерное центральное расширение группы диффеоморфизмов окружности) и многих других уравнений в математической физике.

Статистическая механика

Поток векторного поля на симплектическом многообразии $M^{2n}$ сохраняет симплектическую структуру $\omega$, если и только если это поле локально гамильтоново. В частности, гамильтоновы потоки сохраняют меру Лиувилля $\omega^{n}$. Этот факт лежит в основе статистической механики. Эволюция фазовой плотности $\rho\omega^{n}$ под действием поля ${v}_{H}$ описывается уравнением Лиувилля $\dot{\rho}=\{\rho, H\}$. Отсюда вытекает, например, стационарность распределения Гиббса $\exp (-\beta H) \omega^{n}$. В координатах Дарбу:$$\omega^{n}=n ! d p_{1} \wedge d q_{1} \wedge \ldots \wedge d p_{n} \wedge d q_{n}.$$Более тонкие, нежели мера, инварианты симплектических областей, сохраняемые гамильтоновыми потоками, ещё ждут своего применения в статистической механике. Так, были сопоставлены области в стандартном $\mathbb{R}^{2n}$ и спектр $0<\alpha_{1} \leqslant \alpha_{2} \leqslant \ldots$ симплектических ёмкостей – инвариантов размерности симплектической площади – и доказано нелинейное неравенство Куранта: когда область увеличивается, все ёмкости растут.

Пример: для шара радиуса $R$ спектр $\lambda=(\pi R^{2}$ $n$ раз, $\lambda=2 \pi R^{2}$ $n$ раз, $\ldots)$, для полидиска $\lambda=\left(\pi r^{2},2\pi r^{2},\ldots\right)$, где $r$ – радиус наименьшего диска-сомножителя, откуда вытекает теорема невложимости:$$\pi R^{2} \geqslant n \pi r^{2}.$$

Вариационные принципы

По-видимому, самым старым вариационным принципом в математической физике является принцип Ферма, утверждающий, что световые лучи минимизируют время движения от источника. Вместе с принципом Гюйгенса (последний означает эквивалентность лучевого описания языку волновых фронтов – поверхностей уровня функции времени) принцип Ферма составляет основу геометрической оптики. Функция времени, вообще говоря, многозначна (в одну точку может приходить несколько лучей), и характер её ветвлений служит предметом глубокого изучения в теории лагранжевых и лежандровых особенностей, выявившей загадочные связи геометрической оптики с классификацией простых групп Ли и правильных многогранников. Путь в симплектическую и контактную геометрию проходит здесь через метод характеристик (сводящий задачу Коши для уравнения с частными производными 1-го порядка к интегрированию обыкновенного дифференциального уравнения – поля характеристик на гиперповерхности в контактном пространстве), частным случаем (и прообразом) которого является эквивалентность «лучевого» и «фронтального» подходов.

Общая причина появления симплектической геометрии в вариационных задачах – наличие универсального вариационного принципа в самой симплектической геометрии. Пусть двум траекториям с общими концами на симплектическом многообразии $(M,\omega)$ сопоставлена симплектическая площадь $\left(S=\int \omega\right)$ соединяющей их $2$-мерной плёнки. Эта площадь, по существу, не зависит от плёнки ($d\omega=0$) и определяет поэтому функционал $S$, называемый действием на пространстве таких траекторий (он определён с точностью до постоянного слагаемого и, вообще говоря, может быть многозначным). Экстремали действия в классе траекторий на фиксированном уровне гамильтониана $H$ суть в точности траектории поля ${v}_{H}$ – это следует из косоортогональности поля ${v}_{H}$ к уровням $H=\operatorname{const}$:$$\langle d H, v\rangle=0 \Leftrightarrow \omega\left(v, v_{H}\right)=0.$$Этот геометрический принцип наименьшего действия является подоплёкой всех вариационных принципов математической физики.

Имеется и обратная связь – пространство экстремалей (по-видимому, любой) вариационной задачи несёт естественную симплектическую структуру. Простейшим подтверждением этого тезиса служит переход от лагранжева формализма к гамильтонову с помощью преобразования Лежандра. Выигрыш от такого перехода – расширение пространства вариаций (траектории в $T^{*}X$ вместо траекторий в $X$) и большая свобода в преобразованиях.

Пример: биллиардное отображение. Оно сопоставляет единичному вектору скорости биллиардного шара, приложенному в точке отражения от борта, аналогичный вектор в точке следующего отражения. В этой конструкции участвует очень жёсткая структура – выпуклая гиперповерхность (борт биллиарда) в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^{n}$. Оказывается, однако, что биллиардное отображение может быть определено в терминах лишь симплектической структуры в $T^{*}\mathbb{R}^{n}$ и пары гиперповерхностей: $\|p\|=1$ (евклидова структура) и $F(q)=0$ (уравнение борта). На пересечении гиперповерхностей в симплектическом пространстве определены две инволюции – движение по гамильтоновым траекториям на первой гиперповерхности до повторного пересечения со второй и наоборот. Их композиция и есть биллиардное отображение. Оно тем самым коммутирует с любым симплектоморфизмом $T^{*}\mathbb{R}^{n}$, сохраняющим обе гиперповерхности.

Квантование

В квантовой механике физические величины изображаются операторами в комплексном гильбертовом «фазовом» пространстве. Задача построения квантовомеханической системы, исходя из её классического предела (постоянная Планка $\hbar \rightarrow 0$), в математической постановке означает построение неприводимого унитарного представления алгебры Ли функций Гамильтона (по возможности – всех) на данном симплектическом многообразии в подходящем гильбертовом пространстве. Эта проблема служит мотивировкой многих важных математических теорий и конструкций. Так, теория унитарных представлений группы Ли $G$ с этой точки зрения сводится к квантованию $G$-однородных симплектических многообразий, т. е. орбит в коалгебрах Ли. Уже простейший пример группы трансляций стандартного симплектического пространства (может быть, бесконечномерного) приводит к эквивалентности «координатного» и «импульсного» представлений Фока, к теории индекса Маслова и представлению Шейла – Вейля симплектической группы, к теории тета-функций и автоморфных форм Зигеля и многому другому.

Изучение плоского случая показывает, что квантование требует введения на симплектическом многообразии дополнительной структуры – поляризации, но результат квантования от неё не зависит (теорема Стоуна – фон Неймана). В нелинейном случае необходимы также некоторые дополнительные условия квантования на симплектическое многообразие $(M,\omega)$, важнейшее из которых – однозначность фейнмановской плотности $\exp(2\pi iS)$ на пространстве петель в $M$ (т. е. целочисленность периодов симплектической формы).

Один из специальных случаев поляризации – комплексная поляризация – задаёт на $M$ структуру кэлерова многообразия, что вместе с условием квантования превращает $M$ в комплексное алгебраическое многообразие. Вложение алгебраического многообразия в комплексное проективное пространство на квантовомеханическом языке означает вложение классического фазового пространства в квантовое. Впрочем, не всякое симплектическое многообразие допускает кэлерову или хотя бы комплексную структуру. Другой крайний случай поляризации – вещественная поляризация – иллюстрируется структурой кокасательного расслоения: $M=T^{*}X$. Результатом квантования служит алгебра дифференциальных операторов на $X$. Поэтому симплектическая геометрия выступает в теории дифференциальных операторов в качестве «коротковолнового предела». Так, главный символ (псевдо)дифференциального оператора – это послойно-однородная функция на $T^{*}X$. Интегральные операторы Фурье действуют на главные символы однородными симплектоморфизмами (теорема Егорова) и т. д.