Матема́тика в Росси́и, история развития математики в России с момента становления научной дисциплины и до современности. Как научная и образовательная дисциплина математика в России активно развивается с начала 18 в. Русская математическая школа всегда была и остаётся одной из ведущих математических школ в мире. Развитие математики в России произошло в ходе реформ Петра I, для реализации которых требовалась подготовка специалистов (для постройки флота, промышленности). Для этих целей было принято решение об открытии в России Академии наук, а также были созданы школы для профессионального обучения. Согласно указу Петра I от 14(25) января 1701 г. в Сухаревой башне была открыта Школа математических и навигацких наук, в которой Л. Ф. Магницкий написал первый учебник арифметики («Арифметика»), а позднее издал логарифмические и навигационные таблицы.

Большое значение для развития российской математики имели проведённые М. М. Сперанским реформы. Следствием этих реформ было создание в 1802 г. министерств, в том числе было сформировано Министерство народного просвещения и созданы учебные округа. Во всех крупных городах России были открыты гимназии, в которых преподавали и математику; частью курса были тригонометрия, алгебра, приложения к физике и другим наукам.

Первые крупные достижения российской математической мысли появились в 1830-х гг. (Н. И. Лобачевский, М. В. Остроградский, С. В. Ковалевская). Несмотря на войны и революции, к середине 20 в. отечественная математика стала одной из ведущих в мире. В СССР и России были созданы и осуществляют активную научную деятельность уникальные математические школы.

Математические науки в 1-й половине 20 в.

В начале 1920-х гг. тематика исследований московской математической школы расширилась. Ещё в годы Гражданской войны (1917–1922) Н. Н. Лузин и И. И. Привалов начали исследования в области теории функций комплексного переменного. В 1920 г. возобновились заседания лузинского семинара, в 1923–1924 гг. в состав семинара вошли Н. К. Бари, А. Н. Колмогоров, получившие в то время свои первые результаты по теории функций. В 1925 г. к этим исследованиям присоединился М. А. Лаврентьев. В конце 1920-х гг. Л. А. Люстерник, Л. Г. Шнирельман, А. И. Плеснер и А. Н. Колмогоров заложили основы советской школы функционального анализа, одним из первых воспитанников которой стал её будущий лидер И. М. Гельфанд.

Развитие математики в г. Москва

П. С. Урысон и П. С. Александров в 1920-х гг. приступили к исследованиям, заложившим основы советской топологической школы, из которой вышли А. Н. Тихонов и Л. С. Понтрягин. За последующие годы были решены многие известные задачи в этой области, особенно в теории размерности. За работы в общей топологии, включая работу о гомологических свойствах расположения комплексов и замкнутых множеств, П. С. Александрову была присуждена Сталинская премия 1-й степени (за 1942).

К традиционным для Москвы областям исследований относятся работы Д. Ф. Егорова, С. П. Финикова, С. С. Бюшгенса по дифференциальной геометрии, В. Ф. Кагана по тензорному анализу.

В. В. Степанов вёл работу в области теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Егоров продолжил исследования по теории дифференциальных уравнений с частными производными и теории интегральных уравнений. Позднее к ним присоединились В. В. Немыцкий и И. Г. Петровский.

В 1923 г. А. Я. Хинчин получил важные результаты по теории вероятностей, в конце 1920-х гг. этими вопросами начал заниматься А. Н. Колмогоров. Совместно с Б. В. Гнеденко он был награждён Золотой медалью имени П. Л. Чебышёва за монографию «Предельные распределения для сумм независимых случайных величин» (1951). Колмогоров и Гнеденко предложили общепринятую ныне аксиоматику теории вероятностей, их труды положили начало современной школе теории вероятностей.

В начале 1920-х гг. А. Я. Хинчин приступил к исследованиям в области теории чисел. В организованном им семинаре по теории чисел участвовали молодые учёные А. О. Гельфонд и Л. Г. Шнирельман. Наиболее крупные результаты в области аналитической теории чисел были получены И. М. Виноградовым, начавшим свою математическую деятельность в Петербурге (Ленинграде). За созданный им метод тригонометрических сумм Виноградов удостоился Сталинской премии 1-й степени в 1941 г., с формулировкой «за достижения последних 6–7 лет». Этот метод стал и остаётся мощнейшим инструментом для решения классических задач теории чисел. Благодаря этому методу Виноградовым была в асимптотической форме решена неприступная в течение многих лет нечётная проблема Гольдбаха (окончательное решение которой получил в 2013 перуанский математик Харальд Гельфготт), был достигнут новый существенный прогресс в проблеме Варинга. Учениками и последователями И. М. Виноградова был усовершенствован его метод, что позволило значительно продвинуться в исследовании ряда фундаментальных проблем. В дальнейшем значительных успехов в теории чисел добились А. Я. Хинчин, А. О. Гельфонд (доказательство трансцендентности широкого класса чисел), Л. Г. Шнирельман (плотностной подход к решению ряда классических проблем теории чисел), Л. А. Люстерник, Ю. В. Линник, Н. В. Кузнецов.

И. И. Жегалкин, В. И. Гливенко, А. Н. Колмогоров, а затем П. С. Новиков занимались проблемами математической логики и оснований математики.

С. А. Чаплыгин вёл исследования по прикладной математике и механике.

Значительные результаты в области алгебры получили Л. С. Понтрягин, ученик Д. А. Граве О. Ю. Шмидт. Ученик П. С. Александрова А. Г. Курош (Золотая медаль имени П. Л. Чебышёва за книгу «Теория групп», 1946), а позднее ученик А. Н. Колмогорова А. И. Мальцев начали исследования в новых направлениях алгебры.

Развитие математики в г. Петербург (Ленинград)

В 1920-х гг. шло развитие петербургской математической школы. Продолжая традиции А. М. Ляпунова и В. А. Стеклова, над проблематикой уравнений математической физики работали Н. М. Гюнтер и В. И. Смирнов, а затем и их ученик С. Л. Соболев. Задачами математической физики занимались также А. Н. Крылов, А. А. Фридман, Н. Е. Кочин.

Началась работа в области теории функций комплексного переменного и математической физики, прежде всего в трудах Смирнова и его ученика И. А. Лаппо-Данилевского, в области обобщённых функций – в трудах Гюнтера.

Л. В. Канторович занимался функциональным анализом, вычислительной математикой, линейным программированием, применением математики в экономике, А. Д. Александров (Золотая медаль имени Леонарда Эйлера за фундаментальный вклад в развитие математики, 1991; премия имени Н. И. Лобачевского, 1951) – геометрией, Ю. В. Линник – теорией вероятностей, математической статистикой, А. А. Марков – топологией (Золотая медаль имени П. Л. Чебышёва за цикл работ по неразрешимости проблемы гомеоморфизма, 1969).

Начал свою работу в области теории чисел И. М. Виноградов. Существенное развитие теория чисел получила в трудах Ю. В. Линника, Б. Н. Делоне, Б. А. Венкова, Р. О. Кузьмина, Я. В. Успенского.

Развитие математики в регионах СССР

В советский период развитие математики во всех союзных республиках было неразделимо. Научная математическая жизнь была общей для всего СССР. Ведущим центром этой жизни стал Математический институт имени В. А. Стеклова АН СССР под руководством И. М. Виноградова, работавший в тесном взаимодействии с Московским университетом (МГУ имени М. В. Ломоносова). В Ленинграде (ныне Санкт-Петербург) такими центрами были Ленинградское отделение Математического института и Ленинградский государственный университет (ЛГУ имени А. С. Пушкина). Математический институт и его Ленинградское отделение были созданы при разделении в 1934 г. Физико-математического института, существовавшего в 1921–1934 гг. Уже в конце 1920-х гг. ощущалась необходимость в координации математических исследований в масштабах всей страны. В 1927 г. по инициативе Д. Ф. Егорова в Москве был созван Всероссийский съезд математиков, в 1930 г. в Харькове прошёл 1-й Всесоюзный съезд математиков (471 участник из 54 городов страны, 167 докладов). В 1934 г. в Ленинграде прошёл 2-й Всесоюзный съезд математиков (732 участника из 50 городов, 235 докладов).

В Казанском университете (Казанский Приволжский федеральный университет) работали Н. Г. Чеботарёв, занимавшийся задачами алгебры и теории чисел, Н. Г. Четаев, развивавший аналитическую механику и теорию устойчивости движения (Ленинская премия, 1960), Б. Л. Лаптев (Золотая медаль имени П. Л. Чебышёва за цикл работ «Исследования по обобщённым пространствам», 1984).

В Свердловске (Екатеринбург) Ф. Д. Гахов вёл работу по дифференциальным уравнениям и интегральным уравнениям и теории функций комплексного переменного, С. Н. Черников – по алгебре. В Саратове Н. Г. Чудаков вёл работу по теории чисел и теории функций, В. В. Вагнер (специальная премия имени Н. И. Лобачевского, 1937) – по алгебраической геометрии, дифференциальной геометрии и алгебре; в Горьком (Нижний Новгород) А. А. Андронов – по теории дифференциальных уравнений, теории колебаний и теории автоматического регулирования; в Иванове А. И. Мальцев – по алгебре и математической логике; в Воронеже Н. В. Ефимов (премия имени Н. И. Лобачевского, 1951) – по геометрии; в Томском университете (Национальный исследовательский Томский университет) Ф. Э. Молин – по алгебре и теории эллиптических функций; в университете Ростова-на-Дону (Донской государственный технический университет) Д. Д. Мордухай-Болтовский, изучавший историю математики и внёсший вклад в теорию дифференциальных уравнений.

В УССР ведущими научными центрами были Киев, Харьков и Одесса. В Киеве Д. А. Граве занимался алгеброй и механикой, А. П. Котельников – геометрией, М. А. Лаврентьев – теорией квазиконформных отображений с её приложениями к газовой динамике и другим разделам механики сплошных сред, М. Ф. Кравчук – алгеброй, теорией функций, теорией вероятностей, Г. В. Пфейффер – дифференциальными уравнениями с частными производными, алгебраической геометрией, Е. Е. Слуцкий – теорией случайных процессов, математической статистикой. С 1927 г. Н. М. Крылов и его ученик Н. Н. Боголюбов начали разрабатывать теорию нелинейных колебаний, что привело к возникновению советской школы нелинейной механики. В Харькове научная жизнь концентрировалась вокруг университета. Здесь работали Д. М. Синцов, занимавшийся геометрией и дифференциальными уравнениями, до 1933 г. – С. Н. Бернштейн, основные труды которого относятся к теории дифференциальных уравнений, теории функций и теории вероятностей. Позднее исследования по геометрии проводились А. В. Погореловым (премия имени Н. И. Лобачевского, 1959). Работавший в Харькове Н. И. Ахиезер получил Золотую медаль имени П. Л. Чебышёва за работу «Лекции по теории аппроксимации» (1948).

Работы воспитанника петербургской школы Н. И. Мусхелишвили по математической теории упругости, интегральным уравнениям и теории функций и ученика Д. Ф. Егорова А. М. Размадзе по вариационному исчислению привели к созданию Тбилисского математического института (1933).

В Ташкенте работал воспитанник Петербургского университета В. И. Романовский, основные труды которого посвящены теории вероятностей и математической статистике.

Состояние математических исследований в годы Великой Отечественной войны

Великая Отечественная война изменила ход математических исследований, работа многих учёных получила военную направленность. Многие научные учреждения и учебные заведения были эвакуированы в восточные районы страны, их деятельность на новых местах положила начало новым математическим центрам, например в Казани, Алма-Ате, Ташкенте и Баку.

Многие математики не только принимали непосредственное участие в боевых действиях, но и своими научными работами способствовали развитию отечественной оборонной промышленности (А. А. Ляпунов, А. В. Погорелов, Ю. В. Линник и др.). М. А. Лаврентьев работал над проблемами оборонного характера (задачи направленного взрыва, задача пробивания танковой брони кумулятивным снарядом). Н. Г. Четаев определил оптимальную крутизну нарезки стволов орудия. Математическая теория вибраций (М. В. Келдыш). А. Н. Крылов разрабатывал теорию плавучести корабля. Под руководством С. Н. Бернштейна были созданы таблицы для определения местоположения судна по радиопеленгам, штурманские таблицы для повышения точности самолётовождения. Проводилось исследование рассеяния снарядов при стрельбе (А. Н. Колмогоров). Развивался раздел математики – номография (под руководством Н. А. Глаголева). Труды А. П. Александрова позволили разработать методы размагничивания боевых кораблей.

Достижения советских математиков в годы Великой Отечественной войны помогли, в том числе, созданию истребителей (А. С. Яковлев, С. А. Лавочкин), штурмовиков (С. В. Ильюшин), бомбардировщиков (А. Н. Туполев, Н. Н. Поликарпов).

Развитие математики в послевоенные годы

После окончания войны математическая жизнь в стране восстановилась и получила значительное развитие. Её центром оставалась Москва, где находились важнейшие математические учреждения, издавались основные журналы и работали крупнейшие отечественные математики: П. С. Александров (премия имени Н. И. Лобачевского, 1972), Н. Н. Боголюбов, И. Н. Векуа, И. М. Виноградов, А. А. Дородницын, М. В. Келдыш, А. Н. Колмогоров, М. А. Лаврентьев, П. С. Новиков, И. Г. Петровский, Л. С. Понтрягин, А. Н. Тихонов, С. Л. Соболев. Концентрация выдающихся учёных, их творческая активность, замечательная постановка математического образования на механико-математическом факультете МГУ сделали Москву одной из математических столиц мира. В последующие годы важные направления математических исследований и их приложений развивались в Вычислительном центре АН СССР (Вычислительный центр имени А. А. Дородницына РАН), Институте проблем передачи информации (Институт проблем передачи информации имени А. А. Харкевича), Московском физико-техническом институте [Московский физико-технический институт (национальный технический университет)], других вузах и НИИ, в 21 в. – в Высшей школе экономики.

Вторым центром по-прежнему оставался Ленинград: Ленинградское отделение Математического института, математико-механический факультет Ленинградского государственного университета (Ленинградский государственный университет имени А. С. Пушкина). Там Д. К. Фаддеев продолжил свои работы в алгебре, в том числе – в исследованиях гомологий в группах, теории Галуа, теории чисел, в вычислительной математике. А. Д. Александров развивал синтетический подход к дифференциальной геометрии, О. А. Ладыженская (ученица И. Г. Петровского и С. Л. Соболева) – теорию дифференциальных уравнений в частных производных. А. А. Марков (младший) начал заниматься математической логикой, теорией алгоритмов, заложил оригинальное направление оснований математики, связанное с конструктивными принципами, в дальнейшем оно развивалось в Ленинграде Н. А. Шаниным и др.

Из других российских центров выделялись Казань, Саратов, Ростов-на-Дону, Горький (ныне Нижний Новгород), Иваново, Свердловск (ныне Екатеринбург). Крупными математическими центрами в УССР были Киев, Харьков, Львов и Одесса. В 1950-х гг. развитие математики в стране создало предпосылки для организации новых сильных республиканских математических центров в Минске, Ереване и Вильнюсе. Благодаря активности С. Б. Стечкина в 1956 г. было создано Свердловское отделение Математического института имени В. А. Стеклова. С 1957 по 1967 гг. Стечкин работал заместителем директора этого отделения. В 1970 г. Свердловское отделение было реорганизовано в самостоятельную организацию, впоследствии Институт математики и механики имени Н. Н. Красовского УрО РАН. Важнейшую роль сыграло создание в 1957 г. центра математических исследований на базе Института математики Сибирского отделения АН СССР в Академгородке г. Новосибирск (сам институт был основан в 1957, в Новосибирск переехало лишь несколько исследователей, до 1960 там не было вычислительной машины, но был создан «отдел подготовки задач»). Первым его директором стал С. Л. Соболев. Руководителями математических исследований там стали также М. А. Лаврентьев (теория функций, приложения математики в механике, вычислительная математика), А. И. Мальцев, основавший отечественную школу, объединившую проблематику алгебры и математической логики.

Существенную роль в развитии математических исследований, в первую очередь прикладных, методов использования вычислительной техники, решении прикладных задач играли вычислительные центры АН СССР. В Москве такой центр был создан под руководством А. А. Дородницына в 1955 г. В Новосибирске вычислительный центр был сначала создан под руководством Г. И. Марчука как подразделение Института математики, с 1963 г. он стал независимой организацией – ВЦ СО АН СССР, а Г. И. Марчук – его директором, впоследствии ВЦ был преобразован в Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН.

В новых прикладных областях, где применение математических и компьютерных методов, как и сами эти области, не всегда поддерживалось руководителями различного уровня, принципиально важную координирующую роль играл Научный совет АН СССР по комплексной проблеме «Кибернетика», созданный под руководством А. И. Берга в 1959 г. В дальнейшем Научный совет вошёл в состав ВЦ РАН, затем – в ФИЦ ИУ РАН, в качестве Института кибернетики и образовательной информатики имени А. И. Берга.

К середине 20 в. советская математика охватывала практически все разделы современной математики и стала существенно влиять на её развитие в мире. 1950–1980-е гг. – время расцвета советской математики. К традиционным разделам математики, разрабатывавшимся ранее, добавились новые, как в фундаментальных областях, так и в прикладных разделах.

Развитие математики в 20–21 вв.

Теория чисел

Развитие теории чисел продолжалось в трудах И. М. Виноградова (Ленинская премия, 1972), Ю. В. Линника. В области теории чисел работал также К. К. Марджанишвили, изучавший аддитивные задачи теории чисел с помощью метода тригонометрических сумм. А. А. Карацуба построил p-адический метод в теории тригонометрических сумм, ему принадлежит ряд важных результатов, относящихся к функции Римана (Золотая медаль имени П. Л. Чебышёва за цикл работ «Многомерная проблема делителей Дирихле», 1981; премия имени И. М. Виноградова за цикл работ «Суммы характеров с простыми числами», 2001). Ю. В. Нестеренко (премия имени А. А. Маркова за цикл работ «Трансцендентность и алгебраическая независимость чисел», 2006) принадлежит ряд результатов об алгебраической независимости чисел, его исследования удостоены международных премий Островского (1997), Харди – Рамануджана (1997).

Также важны работы Н. М. Коробова (Золотая медаль имени П. Л. Чебышёва за работы «Числа с ограниченным отношением и их приложения к вопросам диофантовых приближений», «О вполне равномерном распределении и совместно нормальных числах», «Приближённое вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел», 1957), Г. И. Архипова (премия имени А. А. Маркова за цикл работ «Проблема Гильберта – Камке», 1992), В. А. Абрашкина (премия имени И. М. Виноградова за цикл работ по алгебраической теории чисел, 1995), А. И. Виноградова (премия имени И. М. Виноградова за работу «О плотностной гипотезе для L-рядов Дирихле», 1998), В. Х. Салихова (премия имени И. М. Виноградова за цикл работ «О мере иррациональности некоторых чисел», 2013), С. В. Конягина (премия имени И. М. Виноградова за цикл работ «Аналитические и комбинаторные методы в теории чисел», 2016), М. А. Королёва (премия имени И. М. Виноградова за цикл работ «Поведение дзета-функции Римана на критической прямой», 2019).

Математическая логика и теория алгоритмов, основания математики. Теоретическая информатика

П. С. Новиков доказал алгоритмическую неразрешимость проблемы тождества слов в группах (Ленинская премия, 1957). Ученик Новикова С. И. Адян получил Золотую медаль имени П. Л. Чебышёва за работы по алгоритмическим вопросам теории групп и полугрупп (1963). Ю. В. Матиясевич доказал алгоритмическую неразрешимость 10-й проблемы Гильберта о диофантовых уравнениях (премия имени А. А. Маркова за цикл работ по диофантовым и экспоненциально диофантовым представлениям перечислимых множеств, 1980). Новиков и его ученики интенсивно работали в области математической логики, теории алгоритмов, дискретной математики и кибернетики: А. А. Мучником была решена проблема Поста – установлено существование промежуточных степеней неразрешимости; Ю. И. Журавлёв, О. Б. Лупанов, С. В. Яблонский получили Ленинскую премию (1966) за цикл работ по некорректным задачам. А. Л. Семёнову принадлежит ряд результатов в теории определимости, в том числе относящихся к разрешимым расширениям арифметики сложения.

Важные исследования велись в области, объединяющей алгебру и математическую логику. А. И. Мальцев доказал неразрешимость элементарной теории конечных групп, ему была присуждена Ленинская премия за цикл работ по приложению математической логики к алгебре и теории моделей (1964). На этом пути была выяснена алгоритмическая природа ряда классических аксиоматических теорий, получены важные результаты в теории групп и полей, создана теория нумераций. Лидером школы А. И. Мальцева стал Ю. Л. Ершов (премия имени А. И. Мальцева за монографию «Теория нумераций», 1992); здесь получено много важных результатов по теории алгоритмов, теории моделей, булевым алгебрам, локальным полям, в том числе С. С. Гончаровым (премия имени А. И. Мальцева за монографию «Счётные булевы алгебры и разрешимость», 1997).

Проблематика цифровых технологий и искусственного интеллекта делает ещё более важным изучение логических исчислений. Классические работы А. Н. Колмогорова 1920–1930-х гг. по интуиционистской логике и логике задач получили развитие в отечественных исследованиях в области неклассических логик. Значительные результаты здесь были получены П. С. Новиковым. Л. Д. Беклемишев получил важные результаты в теории доказательств, Л. Л. Максимова (премия имени А. И. Мальцева за серию научных работ «Неявная определимость и интерполяция в неклассических логиках», 2009) и В. Б. Шехтман – в модальных логиках. В. А. Воеводский инициировал и внёс решающий вклад в программу создания унивалентных оснований математики – формального языка для абстрактных разделов математики, поддерживающих автоматическую проверку доказательств на компьютере.

А. Н. Колмогоров осознал важность математики сложности в начале 1960-х гг. А. А. Карацуба, решая предложенную Колмогоровым задачу, открыл свой, ставший знаменитым алгоритм быстрого умножения. «Алгоритм четырёх русских» (В. Л. Арлазаров, Е. А. Диниц, М. А. Кронрод, И. А. Фараджев) использования дискретных матриц получил широкое применение в проектировании эффективных вычислений. Алгоритм Г. М. Адельсон-Вельского и Е. М. Ландиса построения сбалансированных деревьев (АВЛ-деревьев) породил большое количество применений и дальнейших исследований. Л. Г. Хачияну была присуждена премия Фалкерсона за создание полиномиального алгоритма рационального линейного программирования, развивающего исходную конструкцию А. С. Немировского. К области нижних оценок сложности вычислений, полученных в школе Колмогорова, относятся работы Л. А. Левина (премия Кнута, 2012), А. А. Разборова (премия Неванлинны, 1990).

Работы самого Колмогорова по сложности объектов породили целое направление в теории алгоритмов и теории информации (В. А. Успенский, А. Л. Семёнов, Н. К. Верещагин, Ан. А. Мучник, за рубежом П. Витаньи, П. Гач и др.). А. Л. Семёнов и Ан. А. Мучник исследовали варианты понятий колмогоровской сложности и случайности (премия имени А. Н. Колмогорова за серию работ «Об уточнении оценок А. Н. Колмогорова, относящихся к теории случайности», 2006).

Ключевая роль математической логики и теории алгоритмов в начавшей бурное развитие на рубеже 1950-х гг. вычислительной технике привела к работам А. А. Ляпунова, А. С. Кронрода (младших представителей школы Н. Н. Лузина). Научная школа А. А. Ляпунова интенсивно разрабатывала математические вопросы кибернетики (Ю. И. Журавлёв, О. Б. Лупанов) и вопросы теоретического программирования [А. П. Ершов (премия имени А. Н. Крылова за цикл работ «Теория и применение смешанных вычислений», 1983)]. В. М. Глушков построил теорию цифровых автоматов (Ленинская премия, 1964), которая была эффективно использована при решении различных прикладных задач. Разделы дискретной математики, в которых разрабатывались теории управляющих и функциональных систем, а также теория автоматов были развиты в трудах О. Б. Лупанова и его учеников.

Предтечами современного прогресса в сфере искусственного интеллекта оказались многие отечественные исследования в этой области. Продуктивные алгоритмы распознавания образов, построенные Ю. И. Журавлёвым и его учеником К. В. Рудаковым, нашли широкое практическое применение. В. Н. Вапник и А. Я. Червоненкис предложили ключевую характеристику алгоритмов спецификации, разработали статистическую теорию восстановления зависимостей по эмпирическим данным.

Алгебра и алгебраическая геометрия

В московской и новосибирской математических школах развивались исследования по комбинаторике алгебраических систем: групп, полугрупп, ассоциативных и неассоциативных колец. Выдающимся результатом стало решение П. С. Новиковым и его учеником С. И. Адяном проблемы Бёрнсайда: они построили пример бесконечной группы фиксированной экспоненты с конечным числом образующих. В проблематике, связанной с проблемой Бёрнсайда, важные результаты были получены Е. С. Голодом, А. И. Кострикиным, Е. И. Зельмановым (премия Филдса, 1994), А. Я. Беловым. Работы Г. С. Маканина (премия имени И. М. Виноградова за цикл работ «Проблема распознавания разрешимости уравнений в свободных группах и полугруппах», 2010) широко используются и цитируются в мире.

Крупные результаты в алгебре были получены Б. Н. Делоне (премия имени Н. И. Лобачевского, 1977), М. И. Каргаполовым, А. Н. Паршиным. В. П. Платонов получил в 1978 г. Ленинскую премию за цикл работ «Арифметика алгебраических групп и приведённая K-теория».

Л. С. Понтрягин (премия имени Н. И. Лобачевского, 1966) своими работами заложил основы исследований в области алгебраической топологии и топологической алгебры в нашей стране. Им, а также А. И. Мальцевым и В. М. Глушковым были получены выдающиеся результаты в области групп и алгебр Ли. Эти исследования получили новый импульс в конце 1950-х – начале 1960-х гг., когда молодым в то время математиком С. П. Новиковым были опубликованы работы по дифференцируемым многообразиям, сразу получившие мировое признание. За эти работы С. П. Новикову была в 1967 г. присуждена Ленинская премия, а в 1970 г. – премия Филдса. Созданная С. П. Новиковым крупная научная школа в области алгебраической топологии и дифференциальной геометрии является одной из ведущих в мире. Характерной её чертой является тесная связь исследований, проводимых в этих областях математики, с задачами математической физики, причём задачи физики не только инициируют новые постановки математических задач, но часто подсказывают и методы их решения. С другой стороны, многие основные понятия физики формулируются в чисто математических терминах, и соответствующие физические задачи решаются математическими методами. В. А. Васильевым (премия имени И. Г. Петровского за цикл работ «Лакуны гиперболических операторов и ветвление интегралов», 2019) решён ряд топологических задач, которые находят эффективные применения при изучении квантовой теории твёрдого тела в магнитных полях.

Глубокие результаты в области алгебры, алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел были получены в школах Д. К. Фаддеева и И. Р. Шафаревича (Золотая медаль имени Леонарда Эйлера за выдающийся вклад в теорию чисел и алгебраическую геометрию, 2017). Здесь следует особо выделить работы по исследованию полей алгебраических чисел, которые привели к решению ряда давно стоявших проблем и послуживших одним из оснований решения в 1997 г. английским математиком Э. Уайлзом проблемы Ферма. Эти исследования были тесно связаны с работами И. Р. Шафаревича и созданной им школы в области алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел, достижения которой получили широкое мировое признание: Ю. И. Манин (Ленинская премия, 1967, за цикл работ по теории алгебраических кривых и абелевых многообразий.), В. А. Исковских (премия имени А. А. Маркова за цикл работ «Бирациональная теория рациональных поверхностей», 2000), А. Н. Паршин (Золотая медаль имени П. Л. Чебышёва за цикл работ «Теория двумерных локальных полей и дискретных групп Гейзенберга», 2012; премия имени И. М. Виноградова за цикл теоретико-числовых работ, 2004), А. Н. Тюрин, В. А. Колывагин и др.

За открытие общего закона взаимности и решение обратной задачи Галуа для разрешимых групп И. Р. Шафаревич был удостоен Ленинской премии (1959). В. Г. Дринфельд (медаль Филдса, 1990; премия Вольфа, вместе с А. А. Бейлинсоном, 2018) доказал гипотезу Ленглендса для GL(2) над функциональным полем. А. А. Бейлинсон (премия Шао, 2020, совместно с Д. А. Кажданом) получил важные результаты в алгебраической геометрии и теории струн. В. А. Воеводский получил фундаментальные результаты на стыке алгебраической геометрии и алгебраической топологии, построил теорию мотивных когомологий и получил её средствами доказательство гипотезы Милнора и гипотезы Блоха – Като, составлявших существенную проблемную часть алгебраической K-теории (медаль Филдса, 2002).

Исследования в области групп и алгебр Ли продолжались в работах Е. Б. Дынкина, И. И. Пятецкого-Шапиро, Э. Б. Винберга. В последнее время И. В. Аржанцев получил ряд результатов по алгебраическим группам преобразований, группам автоморфизмов алгебраических многообразий, кольцам Кокса, торическим многообразиям, геометрической теории инвариантов, градуированным алгебрам и локально нильпотентным дифференцированиям.

Также важны работы В. Н. Ремесленникова (премия имени И. М. Виноградова за цикл работ «Алгебраическая геометрия для свободных групп и алгебр Ли», 2007), В. П. Шункова (премия имени А. И. Мальцева за цикл работ «Теория локально конечных групп», 1994), А. Ю. Ольшанского (премия имени А. И. Мальцева за цикл работ по комбинаторной и геометрической теории групп, 2000), А. В. Яковлева (премия имени А. И. Мальцева за цикл работ «Прямые разложения абелевых групп и модулей», 2003), А. С. Кондратьева (премия имени А. И. Мальцева за цикл работ по теории конечных групп и их представлений, 2006), А. А. Махнёва (премия имени А. И. Мальцева за серию научных работ «Конечные группы и их приложения к теории графов», 2012), А. Г. Мясникова и О. Г. Харлампович (премия имени А. И. Мальцева за серию научных работ «Исследования по фундаментальным теоретико-модельным проблемам алгебры», 2015), В. Д. Мазурова (премия имени А. И. Мальцева за серию научных работ «Периодические группы с заданными порядками элементов», 2018), И. Ш. Калимуллина (премия имени А. И. Мальцева за серию научных работ «Исследования по теории вычислимых структур», 2021).

Анализ

Достижения в теории функций действительного переменного в России связаны с московской математической школой. Для различных классов функций С. М. Никольским (Золотая медаль имени П. Л. Чебышёва за монографию «Приближение функций многих переменных и теоремы вложения», 1972; премия имени И. М. Виноградова за цикл работ по теории приближений функций и вложений функциональных классов и по её приложениям, 1992; премия имени А. Н. Колмогорова за цикл работ «Приближение функций на многообразиях и их продолжение», 2000), С. Л. Соболевым, О. В. Бесовым установлены теоремы вложения. Работы в теории тригонометрических рядов, наилучших приближений Н. К. Бари, А. Н. Колмогорова, Д. Е. Меньшова (Золотая медаль имени П. Л. Чебышёва за цикл работ «Пределы неопределённости и предельные функции тригонометрических и ортогональных рядов», 1975) были продолжены П. Л. Ульяновым.

В школе С. М. Никольского, наряду с работами классического направления – изучение приближений функций, сходимости рядов, теорем вложения, всё большую значимость приобретали связи с вычислительной математикой [П. Л. Ульянов, Л. Д. Кудрявцев, О. В. Бесов, В. Я. Козлов, Б. С. Кашин (премия имени А. Н. Колмогорова за цикл работ «Поперечники по Колмогорову, $n$-членные приближения, оценки норм подматриц», 2012)]. В этом круге проблем удалось разработать новые вычислительные методы, находящие широкие применения при решении актуальных задач. Исследования в теории функций комплексного переменного получили мощное развитие в научных школах М. В. Келдыша, М. А. Лаврентьева, В. И. Смирнова, И. И. Привалова. Их классические работы по теории аппроксимаций, теории потенциала, теории квазиконформных отображений были продолжены в 1950-х гг. в работах С. Н. Мергеляна, К. И. Бабенко и др. Эти исследования продолжились в научной школе А. А. Гончара и А. Г. Витушкина. Работы учёных этой научной школы характерны применением очень широкого спектра методов из других областей математики – теории римановых поверхностей, уравнений математической физики, теории чисел, вариационных методов. В последнее время методы, развитые в теории аппроксимаций Паде, находят неожиданное применение в разработке принципиально новых вычислительных методов и вычислительных алгоритмов. Интересные результаты в других направлениях теории функций комплексного переменного были получены А. Ф. Леонтьевым и В. В. Напалковым (г. Уфа).

Фундаментальные исследования в теории приближения функций комплексного переменного многочленами провели М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев. Эти исследования были продолжены А. Г. Витушкиным (премия имени А. Н. Колмогорова за цикл работ «Аналитическая ёмкость в задачах теории приближений», 2003), А. А. Гончаром (Золотая медаль имени М. В. Келдыша за работы по теории аппроксимации, 1993), А. Ф. Леонтьевым, С. Н. Мергеляном. Важные результаты по граничным задачам теории аналитических функций получены И. Н. Векуа и Н. И. Мусхелишвили. За свою работу по обобщённым аналитическим функциям Векуа получил Ленинскую премию (1963).

Б. М. Левитан и В. А. Марченко (Ленинская премия, 1962), а в последующие годы В. А. Садовничий (Государственная премия, 1989; Государственная премия, 2001; Золотая медаль имени М. В. Келдыша, 2006) рассматривали обратные задачи спектрального анализа дифференциальных операторов.

В созданной И. М. Гельфандом школе функционального анализа был получен ряд блестящих результатов и созданы методы, оказавшие большое влияние на развитие смежных областей математики (алгебра, топологическая алгебра, геометрия, дифференциальные уравнения и динамические системы, теория вероятностей) и математическую физику. Представителем этой школы А. А. Кирилловым были получены важные результаты в теории представлений (в частности, создан метод орбит) топологических групп и групп Ли. Д. Б. Фукс совместно с Гельфандом развивал гомологическую теорию бесконечномерных алгебр Ли. В. Г. Кац получил важные результаты в теории бесконечномерных алгебр Ли и суперсимметрий, был (совместно с Р. Муди) удостоен медали Вигнера за открытие алгебр Каца – Муди. Он также получил премию Стила (2015).

Ученик Я. Г. Синая Г. А. Маргулис в 1978 г. получил медаль Филдса за инновационный анализ структуры групп Ли, работы в области комбинаторики, дифференциальной геометрии, эргодической теории, динамических систем. За значительный вклад в алгебру, в особенности теорию решёток в полупростых группах Ли, а также за выдающиеся применения её в эргодической теории, теории представлений, теории чисел, комбинаторике и теории меры в 2005 г. Г. А. Маргулис был удостоен премии Вольфа. Премия Абеля за 2020 г. была вручена ему как первопроходцу применения вероятностных и динамических методов в теории групп, теории чисел и комбинаторике.

Также важны работы В. И. Богачёва (премия имени А. Н. Колмогорова за цикл работ «Стационарные уравнения Колмогорова», 2018, вместе с С. В. Шапошниковым и А. И. Кирилловым), А. И. Аптекарева (премия имени А. А. Маркова за цикл работ «Асимптотики совместно ортогональных многочленов и их приложения к теории чисел и теории случайных матриц», 2018) по комплексному анализу и рациональным аппроксимациям, асимптотике ортогональных многочленов, спектральной теории дискретных несимметричных операторов и дискретных интегрируемых динамических систем.

Геометрия и топология

Современная российская школа геометрии продолжает более чем вековую традицию: В. Ф. Каган, С. П. Фиников, С. С. Бюшгенс. Значительный вклад в развитие топологии внесли П. С. Александров и его ученики. Например, В. А. Рохлин – это топология, геометрия, эргодическая теория, теория меры, алгебраическая геометрия. Ученики Рохлина: М. Л. Громов, Я. М. Элиашберг, А. М. Вершик – теория представлений.

В школе А. Д. Александрова и А. В. Погорелова была создана теория выпуклых многогранников, разработаны новые методы изучения поверхностей, с помощью которых были получены важные для практики результаты в нелинейной теории оболочек. Работы этой научной школы, а также выросшей из неё научной школы исследования в области геометрии тесно связаны с изучением проблем теории дифференциальных уравнений. За исследования по геометрии «в целом» А. В. Погорелов был удостоен Ленинской премии (1962).

Важнейший вклад в развитие геометрии и топологии внесли Д. В. Аносов, С. П. Новиков (премия имени Н. И. Лобачевского, 1980), А. Н. Колмогоров (премия имени Н. И. Лобачевского, 1986), В. И. Арнольд (премия имени Н. И. Лобачевского, 1992), А. Н. Тихонов, А. Т. Фоменко, Г. А. Маргулис (премия имени Н. И. Лобачевского, 1996).

А. Т. Фоменко решил многомерный вариант проблемы Плато в классе спектральных бордизмов римановых многообразий и доказал существование глобальной минимальной «спектральной поверхности». В его работах по топологической классификации невырожденных гамильтоновых динамических систем общего типа открыты инварианты, с помощью которых можно описать топологический тип особенностей динамических систем и классифицировать слоения Лиувилля (Государственная премия за цикл работ «Исследование инвариантов гладких многообразий и гамильтоновых динамических систем», совместно с А. С. Мищенко, 1996). В результате была получена классификация интегрируемых невырожденных гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. А. Т. Фоменко вместе со своим учеником С. В. Матвеевым применил алгоритмические и компьютерные методы в геометрии и топологии.

М. М. Постников развил гомотопическую теорию непрерывных отображений (Ленинская премия, 1961).

Н. В. Ефимов получил Ленинскую премию (1966) за исследования по возникновению особенностей на поверхностях отрицательной кривизны.

В 2006 г. премия Филдса была присуждена Г. Я. Перельману за доказательство гипотезы Пуанкаре (однако учёный от неё отказался).

Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы

Группа исследователей (В. В. Немыцкий, В. В. Степанов, И. Г. Петровский и др.) внесла основополагающий вклад в развитие теории обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений. В Горьком (Нижний Новгород) активно работала школа А. А. Андронова (представителями которой были М. Т. Грехова, В. И. Гапонов, Е. А. Леонтович, А. Г. Любина) по качественной теории дифференциальных уравнений, теории управления, теории нелинейных колебаний и по прикладным вопросам математики. Новые применения результатов теории дифференциальных уравнений к вычислительной математике были найдены А. А. Дородницыным. Основанной Е. Ф. Мищенко научной школе принадлежат глубокие результаты в области сингулярно возмущённых систем дифференциальных уравнений. Крупнейшим достижением в области дифференциальных уравнений явилось отрицательное решение, полученное А. А. Болибрухом (премия имени А. М. Ляпунова за цикл работ «21-я проблема Гильберта для линейных фуксовых систем», 1995) 21-й проблемы Гильберта, относящейся к нормальным формам Биркгофа систем линейных дифференциальных уравнений.

Теория А. Н. Колмогорова, В. И. Арнольда, Ю. Мозера (КАМ-теория) дала мощный толчок исследованиям динамических систем. Арнольд и Колмогоров получили Ленинскую премию (1965) за цикл работ по проблеме устойчивости гамильтоновых систем. В том же году Ю. А. Митропольский получил Ленинскую премию за цикл работ по теории нелинейных дифференциальных уравнений и теории нелинейных колебаний. Развитый А. Н. Колмогоровым и В. И. Арнольдом метод ускоренной сходимости нашёл важные применения в решении ряда задач механики, астрономии, техники.

В теории динамических систем, заложенной А. Н. Колмогоровым и Н. Н. Боголюбовым, ныне продолжают работать научные школы Д. В. Аносова (премия имени А. М. Ляпунова за цикл работ по осреднению в системах обыкновенных дифференциальных уравнений с быстроколеблющимися решениями, 2001, вместе с А. И. Нейштадтом), В. И. Арнольда и Я. Г. Синая (премия Вольфа, 1997; премия Стила, 2013; премия Пуанкаре, 2009). За фундаментальный вклад в изучение динамических систем, эргодическую теорию и математическую физику Я. Г. Синай (премия имени А. А. Маркова за цикл работ по предельным теоремам для динамических систем и процессов с сильной зависимостью, 1989) получил в 2014 г. премию Абеля.

Признанными мировыми лидерами в области теории устойчивости и оптимального управления явились научные школы, основанные Л. С. Понтрягиным и Н. Н. Красовским (Золотая медаль имени А. М. Ляпунова, 1992). Сформулированный Л. С. Понтрягиным и доказанный им «принцип максимума Понтрягина» стал краеугольным камнем всего развития оптимального управления в последнее десятилетие. Работы школы Л. С. Понтрягина в теории оптимального управления были продолжены Р. В. Гамкрелидзе. Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко получили в 1962 г. Ленинскую премию за цикл работ по обыкновенным дифференциальным уравнениям и их приложениям к теории оптимального управления, теории нелинейных колебаний и теории автоматического регулирования.

Работы В. В. Козлова относятся к проблеме точной интегрируемости уравнений движения, вариационным методам механики, теории устойчивости движения, динамике твёрдого тела, неголономной механике, теории удара, теории интегральных инвариантов, математическим вопросам статистической механики, эргодической теории и математической физике. Им решён ряд классических задач: задача Пуанкаре о несуществовании дополнительных законов сохранения для тяжёлого несимметричного твёрдого тела с неподвижной точкой, задача Пенлеве – Голубева о ветвлении решений уравнений динамики в плоскости комплексного времени и наличии полного набора голоморфных первых интегралов уравнений Гамильтона, задача Чаплыгина о падении твёрдого тела в безграничном объёме идеальной жидкости. Было впервые дано полное и строгое доказательство теоремы о неустойчивости равновесий в поле с гармоническим потенциалом, высказанной Ирншоу.

Представители школы В. В. Козлова продолжают исследования в широком спектре направлений: С. В. Болотин (теория динамических систем), А. В. Борисов (динамика твёрдого тела, теория вихревых структур, неголономная механика; премия имени С. В. Ковалевской за серию монографий, посвящённых интегрируемым системам гамильтоновой механики, 2012, вместе с И. С. Мамаевым), Д. В. Трещёв (динамические системы классической механики; премия имени А. М. Ляпунова за цикл работ «Сепаратрисное отображение и его применение в задачах гамильтоновой механики», 2007), Н. Г. Мощевитин (геометрия чисел, эргодическая и комбинаторная теория чисел), М. В. Шамолин (теория интегрируемости многомерных динамических систем с диссипацией, дифференциальная диагностика, теория фракталов, прикладная дискретная математика) и др.

Существенный вклад в теорию обыкновенных дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений внесли Д. В. Аносов, А. М. Ильин, Л. Э. Эльсгольц, А. Б. Куржанский, Ю. С. Осипов (Золотая медаль имени Леонарда Эйлера за выдающиеся результаты в области математики и физики, 1997), А. И. Субботин, А. Ф. Филиппов.

Также важны работы В. В. Петрова (премия имени А. А. Андронова за цикл работ по теории управления и принципам построения нелинейных систем и сервомеханизмов, 1971), А. Г. Бутковского (премия имени А. А. Андронова за цикл работ по управлению системами с распределёнными параметрами, 1974), М. В. Меерова (премия имени А. А. Андронова за цикл работ по структурному синтезу систем управления и новым принципам построения многосвязных систем, 1977), Н. Н. Баутина (премия имени А. А. Андронова за цикл работ на тему «Качественное исследование автономных динамических систем», 1980), Л. П. Шильникова (премия имени А. М. Ляпунова за цикл работ «Теория бифуркаций систем со сложным поведением траекторий», 1998), М. А. Красносельского (премия имени А. А. Андронова за цикл работ по теории систем управления со сложными нелинейными звеньями, 1983, вместе с А. В. Покровским), М. И. Зеликина (Золотая медаль имени П. Л. Чебышёва за цикл работ «Минимизация интегралов от дифференциальных форм на решениях дифференциальных включений», 1987; премия имени А. М. Ляпунова за цикл работ «Оптимальные режимы с накоплением переключений», 2010, вместе с В. Ф. Борисовым), Г. А. Каменского, А. Д. Мышкиса, Я. З. Цыпкина (премия имени А. А. Андронова за цикл работ «Робастность в задачах оценивания, оптимизации и устойчивости», 1994, вместе с Б. Т. Поляком), Н. Н. Нехорошева (премия имени А. Н. Колмогорова за цикл работ «Экспоненциальная оценка времени устойчивости гамильтоновых систем», 1997), С. В. Нестерова (премия имени А. А. Андронова за цикл работ «Развитие методов теории нелинейных колебаний для систем с распределёнными параметрами», 1997, вместе с Л. Д. Акуленко), С. В. Емельянова (премия имени А. А. Андронова за монографию «Геометрические методы в вариационных задачах», 2000, вместе с С. К. Коровиным и Н. А. Бобылевым), А. В. Ленского (премия имени А. А. Андронова за цикл работ «Управление неустойчивыми механическими системами», 2006, вместе с Ю. Г. Мартыненко и А. М. Формальским), Г. А. Леонова (премия имени А. А. Андронова за цикл работ «Развитие методов синхронизации и анализа периодических и хаотических колебаний в коллективных системах автоматического фазового управления», 2012, вместе с В. И. Некоркиным и В. Д. Шалфеевым).

Уравнения в частных производных

Начиная с основополагающих работ И. Г. Петровского и С. Л. Соболева, А. Н. Крылова и Н. Е. Кочина, достижения российских учёных во многом определили мировое развитие теории дифференциальных уравнений в частных производных. Соболевым создана теория обобщённых функций и доказаны теоремы вложения для функциональных пространств, И. Г. Петровским разработана общепринятая ныне классификация уравнений в частных производных.

Большой вклад в развитие теории дифференциальных уравнений с частными производными внесли И. Г. Петровский, А. В. Бицадзе, И. Н. Векуа, Л. Д. Кудрявцев, А. Н. Колмогоров, М. А. Лаврентьев, О. А. Ладыженская (Золотая медаль имени П. Л. Чебышёва за работу «Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа», 1966, вместе с Н. Н. Уральцевой; премия имени С. В. Ковалевской за цикл работ «Аттракторы для полугрупп и эволюционных уравнений», 1992), В. А. Марченко, О. А. Олейник (премия имени И. Г. Петровского за цикл работ «Асимптотические методы в математической физике», 1995, вместе с А. М. Ильиным), С. И. Похожаев, С. Л. Соболев, В. И. Смирнов, В. П. Михайлов (Золотая медаль имени П. Л. Чебышёва за цикл работ «О первой краевой задаче для дифференциальных уравнений в частных производных», 1978; премия имени И. Г. Петровского за цикл работ «Граничные свойства решений эллиптических уравнений и их приложения», 2001, вместе с А. К. Гущиным).

В 2020-х гг. здесь активно работают научные школы О. А. Ладыженской, О. А. Олейник и В. П. Маслова. Маслову в составе группы учёных принадлежат значительные результаты в области операторного исчисления (Ленинская премия, 1978), глобальных асимптотических методов в теории линейных уравнений с частными производными (Ленинская премия, 1986). Важные задачи в теории дифференциальных и интегральных уравнений, уравнений математической физики решены Н. Н. Боголюбовым (мл.), А. М. Ильиным, В. А. Ильиным, С. И. Похожаевым, М. И. Иманалиевым, П. И. Плотниковым (премия имени М. А. Лаврентьева за цикл работ «Математические задачи теории волновых движений идеальной жидкости», 1995).

Теория решений некорректно поставленных задач математической физики нашла эффективные применения в технике: А. Н. Тихонов (Золотая медаль имени М. В. Келдыша за цикл работ «О методах регуляризации широких классов неустойчивых задач математической физики», 1990), М. М. Лаврентьев (премия имени М. А. Лаврентьева за цикл работ «Развитие новых математических методов в приложениях к механике», 2003, вместе с Т. И. Зеленяком и А. В. Кажиховым), В. К. Иванов, В. Г. Романов.

В работах Ю. Г. Решетняка отражена новая математическая теория пространственных отображений с обогащёнными производными (премия имени М. А. Лаврентьева, 2018, за цикл работ «Решение задачи М. А. Лаврентьева об устойчивости в теореме Лиувилля» о конформных отображениях областей в n-мерном пространстве, поставленной М. А. Лаврентьевым в 50-х гг. 20 в. в связи с задачами гидромеханики).

Важны работы М. И. Вишика (премия имени И. Г. Петровского за цикл работ «Дифференциальные уравнения с частными производными и их приложения», 1992), В. А. Кондратьева (премия имени И. Г. Петровского за цикл работ «Исследование спектра эллиптических операторов», 1998, вместе с Ю. А. Егоровым), Н. М. Ивочкиной (премия имени С. В. Ковалевской за цикл работ «Нелинейные уравнения с частными производными», 1997), В. С. Рябенького (премия имени И. Г. Петровского за монографию «Метод разностных потенциалов и его приложения», 2007), С. Б. Куксина (премия имени А. М. Ляпунова за цикл работ «Теория Колмогорова – Арнольда – Мозера для уравнений в частных производных», 2016), А. Л. Скубачевского (премия имени И. Г. Петровского за цикл работ «Неклассические краевые задачи», 2016).

Теория вероятностей и математическая статистика

Основы развития современной теории вероятностей, теории случайных процессов и математической статистики были заложены в работах С. Н. Бернштейна, А. Н. Колмогорова и Ю. В. Линника. Это развитие было продолжено в научных школах Ю. В. Прохорова, Я. Г. Синая, Б. А. Севастьянова, А. Н. Ширяева (г. Москва), А. А. Боровкова (г. Новосибирск) и И. А. Ибрагимова (г. Санкт-Петербург).

И. А. Ибрагимов, Ю. В. Прохоров, Ю. А. Розанов, Ю. В. Линник получили Ленинскую премию (1970) за цикл работ по предельным теоремам теории вероятностей. А. Н. Ширяев получил премию имени А. А. Маркова за цикл работ по стохастическим уравнениям марковских процессов (1977), премию имени А. Н. Колмогорова за цикл работ «Задача Колмогорова о "разладке", методы её решения и их развитие» (1994), Золотую медаль имени П. Л. Чебышёва за выдающиеся результаты в области математики (2017). А. А. Боровков получил премию имени А. А. Маркова за цикл работ по предельным теоремам для случайных процессов (2003), премию имени А. Н. Колмогорова за цикл работ «Расширенный принцип больших уклонений для траекторий случайных блужданий» (2015) вместе с А. А. Могульским. Ю. Г. Прохоров получил премию имени А. А. Маркова за цикл работ «Вырождения поверхностей дель Пеццо» (2021).

Важны работы В. В. Петрова (премия имени А. А. Маркова за цикл работ по предельным теоремам для независимых величин для цепей Маркова, 1971, вместе с В. М. Золотарёвым и В. А. Статулявичусом), А. Ф. Лаврика (премия имени А. А. Маркова за цикл работ «Приближенные функциональные уравнения для дзета-функций», 1974), Б. Ф. Скубенко (премия имени А. А. Маркова за «Цикл работ по неоднородным и однородным задачам геометрии чисел», 1986), А. С. Холево (премия имени А. А. Маркова за цикл работ «Некоммутативная теория вероятностей», 1997), А. Ю. Зайцева (премия имени А. А. Маркова за цикл работ «Оценки точности аппроксимации распределений сумм независимых слагаемых», 2009), С. В. Бочкарёва (премия имени А. А. Маркова за цикл работ «Тригонометрические и ортогональные ряды», 2015).

Математическая статистика развивалась в трудах Л. Н. Большева, Н. В. Смирнова, Е. С. Вентцель и др. Важны работы Т. В. Арака (премия имени А. А. Маркова за цикл работ «Равномерные предельные теоремы для сумм независимых случайных величин», 1983), А. И. Буфетова (премия имени С. В. Ковалевской за цикл работ «Эргодическая теория и её применения к случайным процессам, представлениям и теории Тейхмюллера», 2015), Б. М. Гуревича (премия имени А. Н. Колмогорова за цикл работ «Эргодическая теория и смежные вопросы», 2009, вместе с В. И. Оселедцем и А. М. Стёпиным), А. В. Булинского (премия имени А. Н. Колмогорова за цикл работ «Предельные теоремы и их приложения», 2021).

Наряду с классической тематикой (центральная предельная теорема, асимптотические методы) всё больший интерес вызывают исследования в теории случайных процессов, связанных с задачами управления, теории массового обслуживания, аналитической статистики и др. Важные результаты в теории кодирования и других направлениях теории вероятностей и математической статистики получены Б. А. Севастьяновым, В. Я. Козловым и Г. А. Михайловым. Значительное развитие получила актуарно-финансовая математика (А. Н. Ширяев), непосредственно связанная с проблемами новых финансовых отношений, складывающихся в нашей стране.

Математическая физика

Современной математической физике принадлежит решающая роль в развитии математики. Конкретные прикладные физические задачи приводят к новым постановкам математических задач, и, наоборот, развитые в этих областях математики мощные методы позволили получить глубокие продвижения в физике.

Важные математические результаты в теоретической физике получены в научных школах Н. Н. Боголюбова, В. С. Владимирова, Л. Д. Фаддеева (Золотая медаль имени Леонарда Эйлера за выдающиеся результаты в области математики и физики, 2002).

Революционное влияние на развитие математической и теоретической физики во всём мире оказали работы Н. Н. Боголюбова. Применение им новых математических методов – теории возмущений и асимптотических разложений, функционального анализа, комплексного анализа, динамических систем и уравнений в частных производных позволило не только решить давно стоявшие задачи, но и заложить новые методологические основы дальнейшего развития математической и теоретической физики. На основе этого он получил выдающиеся результаты в статистической физике, разработал новые принципы квантовой теории поля, микроскопической теории сверхтекучести и сверхпроводимости. Можно утверждать, что развитие этой науки во 2-й половине 20 в. проходит под влиянием этих идей. Особенно важны созданные Н. Н. Боголюбовым и Н. М. Крыловым эффективные асимптотические методы нелинейной механики. Эти исследования были в дальнейшем продолжены в работах Ю. А. Митропольского (Золотая медаль имени А. М. Ляпунова, 1986), которые нашли самое широкое применение в физике, механике и технике, в частности при расчёте ускорителей элементарных частиц.

Научные школы, возглавляемые В. С. Владимировым (Золотая медаль имени А. М. Ляпунова, 1971; Золотая медаль имени Н. Н. Боголюбова, 1999), А. Н. Тавхелидзе, В. Н. Матвеевым, Д. В. Ширковым (Золотая медаль имени Н. Н. Боголюбова, 2004) и Я. Г. Синаем, продолжили исследования Н. Н. Боголюбова, развили его методы. Были получены глубокие физические результаты (автомодельная асимптотика для электромагнитных форм-факторов нуклонов, введение цветности и «очарования» кварков и т. д.), а также найдены применения методов, развитых в квантовой теории поля, для исследования важнейших задач для гиперболических уравнений и для общих систем в свёртках.

Из научной школы В. А. Фока (Почётный отзыв на международном конкурсе имени Н. И. Лобачевского с присвоением звания почётного члена Казанского физико-математического общества, 1937) в 1960-х гг. в Ленинграде выросла научная школа Л. Д. Фаддеева в области математической физики [С. П. Меркурьев, А. А. Славнов (Золотая медаль имени Н. Н. Боголюбова, 2014) и др.], уже первые достижения которой (решение квантово-механической задачи трёх частиц, исследования в области обратных задач) нашли широкое мировое признание. Введённое в этой школе понятие калибровочного поля, имеющее чёткую геометрическую интерпретацию как связность в векторном расслоении, играет фундаментальную роль в квантовой теории элементарных частиц и твёрдого тела. Новейшие математические методы алгебры, геометрии, анализа стали источником крупных достижений в теории струн, в современной квантовой теории гравитации.

Теория солитонов, имеющая приложение в самых разнообразных областях физики, космологии и современных технологий (теория плазмы, распространение сигналов в оптоволоконных линиях связи, переходные эффекты в полупроводниках и т. д.), явилась подлинным триумфом применения математических методов. Здесь работы российских математиков и физиков оказали решающее влияние на развитие этой области, в которой ныне активно работают научные школы, возглавляемые Л. Д. Фаддеевым, С. П. Новиковым (Золотая медаль имени Н. Н. Боголюбова, 2009; Золотая медаль имени Леонарда Эйлера за глубокий вклад в применение топологических методов в квантовой физике, 2012), В. Е. Захаровым (Золотая медаль имени Н. Н. Боголюбова, 2019), В. П. Масловым (Золотая медаль имени А. М. Ляпунова, 1983). Л. Д. Фаддеев получил Государственную премию за развитие математической физики (2005), В. П. Маслов – Государственную премию за разработку математических основ современной термодинамики (2014).

Также важны работы И. В. Воловича (Золотая медаль имени П. Л. Чебышёва за цикл работ «Метод стохастического предела исследования динамических свойств квантовых моделей», 2007), А. Б. Богатырёва (премия имени С. В. Ковалевской за цикл работ «Экстремальные многочлены и римановы поверхности», 2009), В. Е. Назайкинского – по методам построения асимптотических решений дифференциальных уравнений волнового типа, приложениям методов теории разбиений и аналитической теории чисел к задачам статистической физики и информатики, А. И. Шафаревича – по математической физике, дифференциальной геометрии, тензорной алгебре и анализу, математической теории уравнений гидродинамики.

А. М. Поляков получил премию Милнера за открытия, сделанные в теории поля и теории струн, а также открытие монополей в калибровочных теориях с определённой схемой нарушения симметрии, инстантонов, теории струн в некритических измерениях, открытие калибровочно-струнного соответствия и многое другое. Его идеи определили развитие физики в этих областях на многие десятилетия.

Пример широкого спектра результатов в различных областях математики, их синтеза и приложения в физике принадлежит М. Л. Концевичу. Он получил медаль Филдса (1998) за доказательство гипотезы Виттена об эквивалентности двух моделей квантовой гравитации, нахождение лучшего (на тот момент) инварианта узлов с помощью предложенного им интеграла. Он получил премию Шао за ряд пионерских исследований в алгебре, геометрии и математической физике, премию Милнера «Фундаментальная физика» за обширный вклад в исследования на стыке современной теоретической физики и математики, поднявший их на новый уровень, включающий разработку гомологической зеркальной симметрии и исследования явлений узлов пересечений стены.

С. К. Смирнов в 2010 г. был удостоен премии Филдса за доказательство конформной инвариантности двумерной перколяции и модели Изинга в статистической физике.

И. А. Тайманов (премия имени С. В. Ковалевской за цикл работ «Топологические препятствия к интегрируемости геодезических потоков», 2018) развил аналог теории Морса – Новикова для периодических орбит в магнитном поле, нашёл нетривиальный критерий существования несамопересекающихся траекторий в двумерном случае, а также получил теоремы существования периодических траекторий в многомерном случае. Он установил, что геодезические потоки на компактных аналитических многообразиях могут быть аналитически вполне интегрируемы, только если фундаментальная группа многообразия почти коммутативна. Им осуществлена редукция известной гипотезы Уиллмора (доказана в 2012) для поверхностей в трёхмерном евклидовом пространстве к задачам теории солитонов, найдена нижняя оценка для функционала Уиллмора в терминах размерности ядра оператора Дирака, получены аналоги этих конструкций (в частности, представления Вейерштрасса) для поверхностей в трёхмерных группах Ли. Эта программа приобрела широкую популярность. Методами теории солитонов получены важные частные результаты об аналоге проблемы Римана – Шоттки для многообразий Прима двулистных накрытий, остававшиеся неперекрытыми более 20 лет.

Прикладная математика, в том числе в создании и применении цифровых технологий

Начиная с 20 в. в России активно работают научные школы Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина по теоретической механике и прикладной математике. Их работы по применению теории функций комплексного переменного в области аэромеханики продолжались в трудах М. В. Келдыша. Уже в 1920–1930-х гг. были выполнены выдающиеся работы в области вычислительной математики, создания новых численных методов, начатые научными школами, основанными М. В. Келдышем и А. Н. Тихоновым, крупнейшими представителями которой были О. М. Белоцерковский, А. А. Самарский, В. В. Русанов.

Важные применения теории дифференциальных уравнений в вычислительной математике были найдены в школе А. Н. Тихонова. Был проведён цикл исследований по созданию однородных разностных схем решения обыкновенных дифференциальных уравнений (А. Н. Тихонов, А. А. Самарский). Вышеназванные работы привели А. А. Самарского, О. М. Белоцерковского и их учеников к глубоким результатам по математическому моделированию различных процессов, встречающихся в многочисленных практических задачах: Н. Н. Калиткин, Д. П. Костомаров, В. П. Коробейников, А. С. Холодов, Б. Н. Четверушкин (премия имени А. Н. Крылова за работу «Математическое моделирование неустановившихся газодинамических течений с помощью многопроцессорных вычислительных систем», 2001, вместе с В. Ф. Тишкиным; Золотая медаль имени М. В. Келдыша за выдающиеся результаты в области прикладной математики и механики, 2021, и др.).

И. М. Гельфанд явился основателем одной из школ, в которой разработаны новые вычислительные методы, нашедшие широкое применение при решении важных народно-хозяйственных задач и при создании новой техники, прежде всего имеющей оборонное значение.

В прикладной математике также важное значение имеют работы А. А. Первозванского (премия имени А. А. Андронова за цикл работ «Декомпозиция и агрегирование при управлении большими системами», 1986), Ю. И. Неймарка (премия имени А. А. Андронова за цикл работ «Разработка и приложения метода точечных отображений», 1989), А. С. Алексеева, Н. Н. Боголюбова (Золотая медаль имени А. М. Ляпунова, 1989), В. М. Глушкова (премия имени А. Н. Крылова за серию работ на тему «Методы оптимизации в планировании и управлении», 1980), С. К. Годунова, А. А. Дородницына, Ю. И. Журавлёва, М. В. Келдыша, В. Я. Козлова, М. А. Лаврентьева, А. А. Ляпунова, И. М. Макарова, В. С. Пугачёва, Г. И. Марчука, Н. Н. Моисеева, А. С. Монина, А. Н. Тихонова. Выдающиеся результаты в механике были получены А. Ю. Ишлинским, Л. И. Седовым, Г. Г. Чёрным и С. С. Григоряном.

Следует отметить работу В.П. Маслова по математическому моделированию аварийного блока Чернобыльской АЭС (1987).

Также важны работы С. И. Яковленко (премия имени А. Н. Крылова за серию работ по теме «Численное моделирование механики многих кулоновских частиц из первопринципов», 1995, вместе с С. А. Майоровым и А. Н. Ткачёвым), В. И. Лебедева (Золотая медаль имени П. Л. Чебышёва за выдающиеся результаты в области математики, 2002), Д. В. Баландина (премия имени А. А. Андронова за цикл работ «Оптимальная защита объектов от ударных воздействий», 2003, вместе с Н. Н. Болотником), В. К. Кедринского (премия имени М. А. Лаврентьева за серию научных работ по единой тематике «Нестационарные явления в однородных и многофазных средах: динамика структуры, кумулятивные течения, ударные волны и кавитация», 2006), М. С. Иванова (премия имени А. Н. Крылова за серию работ «Гистерезис перехода между регулярным и маховским отражением стационарных ударных волн», 2007, вместе с А. Н. Кудрявцевым и Д. В. Хотяновским), В. В. Пухначёва (премия имени М. А. Лаврентьева за цикл работ «Задачи со свободной границей для уравнений Навье-Стокса», 2009, вместе с В. А. Солонниковым), В. А. Светлицкого (премия имени А. Н. Крылова за работу «Численные методы исследования задач статики и динамики стержневых элементов конструкций», 2010), А. П. Сейраняна (премия имени М. А. Лаврентьева за цикл работ «Новые решения задачи Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонны», 2012), Ю. М. Давыдова (премия имени А. Н. Крылова за серию работ по использованию вычислительной техники в решении актуальных нелинейных задач математической физики в области аэрогидромеханики и устойчивости движения в сфере обороны и безопасности, 2013), Н. Ф. Морозова (премия имени М. А. Лаврентьева за серию работ «Динамика стержня при продольном сжатии. Развитие идеи М. А. Лаврентьева и А. Ю. Ишлинского», 2015, вместе с А. К. Беляевым и П. Е. Товстиком), В. Д. Лахно (премия имени А. Н. Крылова за цикл работ по математическому моделированию переноса заряда в биополимерах, 2016), А. Л. Фрадкова (премия имени А. А. Андронова за цикл работ «Синхронизация и управление нелинейными колебаниями», 2018, вместе с И. И. Блехманом), А. Г. Петрова (Золотая медаль имени С. А. Чаплыгина за цикл работ по гидродинамике, 2020).

Бурный расцвет наблюдался в области математических методов в механике, когда были развёрнуты исследования в школах М. А. Лаврентьева, М. В. Келдыша, Л. И. Седова (Золотая медаль имени А. М. Ляпунова, 1974; премия имени А. Н. Крылова за работу «Одновременное моделирование вязкостного и волнового сопротивления корабля в опытовом бассейне», 1998, вместе с В. М. Пашиным и О. П. Орловым), В. Н. Челомея (Золотая медаль имени А. М. Ляпунова, 1977), А. А. Логунова (Золотая медаль имени А. М. Ляпунова, 1980), Я. Б. Зельдовича, Н. Г. Четаева, А. Ю. Ишлинского и А. А. Илюшина.

Достойное продолжение эти работы нашли в трудах Н. Н. Яненко, П. Я. Кочиной (Золотая медаль имени М. В. Келдыша за цикл работ по гидродинамике и теории фильтрации, 1996), Л. В. Овсянникова, Г. Г. Чёрного, В. М. Титова (премия имени М. А. Лаврентьева за цикл работ «Исследование механики процессов кумуляции и высокоскоростного удара», 1997), Ф. Л. Черноусько (Золотая медаль имени С. А. Чаплыгина за цикл работ по динамике систем при наличии сухого трения, 2005; премия имени А. А. Андронова за цикл работ «Методы управления нелинейными динамическими системами», 2015, вместе с И. М. Ананьевским и С. А. Решминым), В. М. Тешукова (премия имени М. А. Лаврентьева за цикл работ «Распределение нелинейных волн в жидкостях и газах», 2000), В. И. Арнольда, В. П. Коробейникова, Д. Е. Охоцимского (Золотая медаль имени М. В. Келдыша за выдающиеся результаты в области прикладной математики и механики, 2001), А. Г. Куликовского, В. В. Румянцева (премия имени А. М. Ляпунова за цикл работ по модификации и развитию метода функций Ляпунова в теории устойчивости и стабилизации движения по отношению к части переменных, 2004), И. И. Воровича, В. В. Козлова (премия имени С. В. Ковалевской за цикл работ «Тензорные инварианты уравнений динамики», 1999; Золотая медаль имени Леонарда Эйлера за цикл работ по нелинейным гамильтоновым системам дифференциальных уравнений, 2007; Золотая медаль имени С. А. Чаплыгина за цикл работ по аналитической механике и теории устойчивости движения, 2015), А. К. Платонова (премия имени А. А. Андронова за цикл работ «Динамика, управление, информационное обеспечение робототехнических и мехатронных систем», 2009, вместе с В. Е. Павловским и С. М. Соколовым), А. П. Маркеева (премия имени А. М. Ляпунова за цикл работ «Методы и алгоритмы исследования устойчивости и нелинейных колебаний в задачах классической и небесной механики», 2013), В. П. Мясникова (Золотая медаль имени С. А. Чаплыгина за цикл работ в области механики неупругих сред, 2000), Г. А. Тирского (Золотая медаль имени С. А. Чаплыгина за цикл работ «Термохимически неравновесная гидродинамика», 1995), В. Я. Нейланда (Золотая медаль имени С. А. Чаплыгина за цикл работ в области газовой динамики, 2010), Т. М. Энеева (Золотая медаль имени М. В. Келдыша за цикл работ по механике и управлению движением, 2010), М. Я. Марова (Золотая медаль имени М. В. Келдыша за выдающийся вклад в космические исследования и решение крупных научных проблем в области прикладной математики и механики, 2016), Г. А. Серёгина (премия имени С. В. Ковалевской за цикл работ по трёхмерным системам гидродинамики для вязких несжимаемых жидкостей, 2003), С. В. Манакова и В. В. Соколова (премия имени С. В. Ковалевской за цикл работ «Новые интегрируемые случаи в гамильтоновой механике с конечным числом степеней свободы», 2007) и др.

После 2-й мировой войны в ряде стран началось распространение математических методов на моделирование человеческого поведения и социальных систем, а также применение этих методов и подходов к техническим и биологическим системам. Соответствующие прикладные области получили название: кибернетика, исследование операций, теория принятия решений, теория игр, теория оптимизации, теория оптимального управления. К задачам из этих областей, с одной стороны, применялись методы классической математики. Например, в игровых терминах были интерпретированы результаты П. Л. Чебышёва по теории наилучших приближений. Фундаментальным результатом такого подхода считается принцип максимума Понтрягина из теории оптимального управления. Цикл работ под его руководством по обыкновенным дифференциальным уравнениям и их приложениям к теории оптимального управления и теории колебаний. В дальнейшем эта линия развивалась в теории дифференциальных игр Н. Н. Красовским, Ю. С. Осиповым и их учениками (А. И. Субботин, В. И. Бердышев, Б. Н. Пшеничный, В. В. Васин и др.), были созданы методы управления при неполной информации об объектах. Здесь были найдены подходы к решению проблем теории дифференциальных игр. Современный уровень мировой науки в этой области определяется достижениями школы Н. Н. Красовского и Ю. С. Осипова. Цикл работ Н. Н. Красовского, А. Б. Куржанского, Ю. С. Осипова; А. И. Субботина по математической теории управляемых систем получил Ленинскую премию за 1976 г. Цикл работ С. В. Емельянова, В. И. Уткина по теории систем с переменной структурой был удостоен Ленинской премии (1972). Цикл работ по теории автоматического управления А. А. Воронова – Ленинской премии (1988). Новые методы в этой области охватывали, в частности, игровое поведение и взаимодействие, не обязательно в ситуации противоположных или конфликтующих интересов. Они использовали методы из широкого спектра областей классической математики и новых направлений: теории вероятностей, теории информации, комбинаторной топологии. Принципиальный прогресс в приложениях здесь естественно связан с применением цифровых технологий.

В Ленинграде (и позже в Санкт-Петербурге) широкий спектр исследований был начат Н. Н. Воробьёвым, примером результата здесь является алгоритм решения биматричных игр, в дальнейшем получивший название алгоритма Воробьёва – Куна. Исследования Воробьёва и его учеников охватывали ситуации бескоалиционных и коалиционных игр. Линия дифференциальных игр была продолжена Л. А. Петросяном (игры преследования, неантагонистические дифференциальные игры). О. Н. Бондаревой были получены необходимые и достаточные условия непустоты ядра кооперативной игры с трансферабельной полезностью (теорема Бондаревой – Шепли). В. К. Доманский исследовал динамические игры: игры на случайных процессах, игровые стохастические модели распределения ресурсов, повторяющиеся игры с неполной информацией. Широким спектром математических задач, связанных динамическими и эволюционными играми, возникающих из социально-экономической сферы, экологии, биоэтики, занимался В. В. Мазалов.

Н. Н. Моисеев – основоположник целого ряда новых направлений в прикладной математике. Его работы посвящены механике и гидродинамике, численным методам в теории оптимального управления, теории иерархических систем, имитационному моделированию, автоматизации проектирования, междисциплинарным исследованиям экологических проблем.

В Москве развивалась также школа Ю. Б. Гермейера, который, в частности, сформулировал принцип наилучшего гарантированного результата, заложил основы теории игр с непротивоположными интересами. Исследования здесь продолжает Н. С. Кукушкин.

Из работ по функциональному анализу выросло линейное программирование и математическая экономика. Наибольших результатов в этом направлении добился Л. В. Канторович со своими учениками (В. Л. Макаров и др.). За работы в этой области в 1975 г. Л. В. Канторович был удостоен Нобелевской премии по экономике. Л. В. Канторович, В. С. Немчинов, В. В. Новожилов получили в 1965 г. Ленинскую премию за научную разработку метода линейного программирования и экономических моделей.

Работы по использованию вычислительной математики в различных направлениях науки и техники интенсивно развивались школой под руководством Г. И. Марчука (Золотая медаль имени М. В. Келдыша за цикл работ «Развитие и создание новых методов математического моделирования», 1980; Золотая медаль имени П. Л. Чебышёва за выдающиеся результаты в области математики, 1996). Так, были предложены численные методы расчёта ядерных реакторов, прогноза погоды и атмосферных процессов (Г. И. Марчук, В. П. Дымников, А. С. Саркисян), новые возможности использования вычислительной математики в геофизике (А. С. Алексеев), разработаны математические модели в иммунологии (Г. И. Марчук), развита теория распараллеливания алгоритмов (В. В. Воеводин). Для этого было необходимо создать принципиально новые методы самой вычислительной математики и численного анализа [Н. Н. Яненко, Н. С. Бахвалов, С. К. Годунов (премия имени А. Н. Крылова за цикл работ по использованию процессов, сопутствующих сварке взрывом, для изучения поведения металлов, 1972, вместе с А. А. Дерибасом и Н. С. Козиным; премия имени М. А. Лаврентьева за монографию «Элементы механики сплошной среды», 1993), Г. А. Михайлов, А. Н. Коновалов и др.].

Ключевая модель планирования в народном хозяйстве, основанная на товарно-денежных отношениях, была построена и реализована на компьютере А. С. Кронродом и Н. Н. Константиновым и стала основным инструментом в работе экономистов, анализирующих и планирующих эти отношения. В последние годы эти исследования продолжались А. А. Петровым, И. Г. Поспеловым, А. А. Шананиным.

Переход к автоматизированному системному проектированию позволил эффективно решать важнейшие прикладные проблемы (О. М. Белоцерковский, В. П. Иванников, П. С. Краснощёков, А. В. Забродин).

Вычислительные машины высокой производительности были созданы отечественными конструкторами С. А. Лебедевым, В. А. Мельниковым и др. А. А. Дородницыным (премия имени А. Н. Крылова за цикл работ по численным методам аэродинамики, 1977) и его учениками (Ю. Г. Евтушенко и др.) была организована работа по использованию вычислительных машин в науке и технике.

В области функционирования человеко-машинных систем Государственной премии 2001 г. была удостоена работа, выполненная под руководством В. А. Садовничего работа «Управление движением при сенсорных нарушениях в условиях микрогравитации и информационное обеспечение максиминного контроля качества визуальной стабилизации космических объектов».

Важные результаты были получены в создании мощных информационных и телекоммуникационных систем (Г. И. Савин, А. Б. Жижченко и др.).

Важны работы М. В. Якобовского по моделям вычислительной среды для решения широкого круга задач на системах сверхтерафлопного класса и на метакомпьютерах, алгоритмам сжатия и огрубления с контролируемой точностью результатов вычислительных экспериментов, системам интерактивной распределённой визуализации данных большого объёма и др.

В связи с развитием вычислительной техники возросло значение вычислительной математики и дискретной математики. Вычислительной математике посвящены труды Н. С. Бахвалова, В. В. Воеводина, А. А. Дородницына, М. М. Лаврентьева, Н. Н. Моисеева, А. Н. Тихонова, А. А. Самарского, Ю. И. Шокина, Н. П. Бусленко, Н. Н. Говоруна, С. К. Годунова, Е. В. Золотова, В. К. Иванова, Л. Н. Королёва, В. А. Мельникова, Г. А. Михайлова, В. В. Русанова, И. И. Ерёмина, А. А. Петрова, С. П. Курдюмова, Е. И. Моисеева, Ю. Н. Павловского, Ю. П. Попова.

Подготовка математических кадров

Начиная с 19 в. в российской математике сформировалась система кружков, семинаров, школ, где работающие математики разного уровня и разных поколений находились в постоянном взаимодействии с аспирантами и студентами. Именно к такой системе относилась «школа Лузина», из которой вышли выдающиеся представители российской математики в Москве. В течение десятилетий огромное значение играл семинар Гельфанда на мехмате МГУ, семинар «Алгебра и логика» в Новосибирске. То же можно сказать и о Ленинграде.

В конце 1930-х гг. в Ленинграде и Москве система кружков, объединяющих студентов и профессиональных математиков, была распространена на школьников. В начале 1960-х гг. эта система захватила и математические классы в общеобразовательных школах, одновременно были созданы школы-интернаты при четырёх ведущих университетах (по состоянию на 2023 – специализированные учебно-научные центры при Московском государственном университете, Санкт-Петербургском государственном университете, Новосибирском государственном университете и Уральском федеральном университете).

Для определённой части школьников существенной мотивацией для математического творчества были математические олимпиады, которые к тому же стали альтернативой для Единого государственного экзамена.

Концепция развития российского математического образования и подготовки кадров в области фундаментальной и прикладной математики была принята Правительством РФ в 2013 г. и дополнена в 2020 г. Согласно этой концепции, с необходимостью должна развиваться целостная структура, включающая в себя подготовку в высших учебных заведениях по профильным специальностям, подготовку в аспирантуре, научное развитие молодых специалистов (публикации, участие в научных конференциях и др.).

Основными математическими специальностями (по состоянию на 2021) являются следующие:

• 01.03.01. Математика;

• 01.03.04. Прикладная математика;

• 01.03.02. Прикладная математика и информатика;

• 01.05.01. Фундаментальные математика и механика;

• 01.03.03. Механика и математическое моделирование;

• 01.03.05. Статистика.

Всего в России (по состоянию на 2021) 50 вузов со специальностью «математика».

Подготовка математических кадров, в которой начиная с общеобразовательной школы традиционно принимали участие выдающиеся математики и научная молодёжь, является необходимым элементом преемственности и продолжения развития российской математики.