А́лгебра Ли (лиева алгебра), унитарный $k$-модуль $L$ над коммутативным кольцом $k$ с единицей, который снабжён билинейным отображением $(x, y) \mapsto[x, y]$ прямого произведения $L \times L$ в $L$, обладающим следующими двумя свойствами:

1) $[x, x]=0$ (откуда вытекает антикоммутативность $[x, y]=-[y, x])$;

2) $[x,[y, z]]+[y,[z, x]]+[z,[x, y]]=0$ (тождество Якоби).

Таким образом, алгебра Ли является алгеброй над $k$ (не обязательно ассоциативной); обычным образом определяются понятия подалгебры, идеала, факторалгебры и гомоморфизма алгебр Ли. Алгебра Ли $L$ называется коммутативной, если $[x, y]=0$ для всех $x$, $y \in L$.

Наиболее важным является случай, когда $k$ – поле (в особенности $k=\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$), а $L$ – векторное пространство (вообще говоря, бесконечномерное) над $k$.

Алгебра Ли появились в математике в конце 19 в. в связи с изучением групп Ли (см. также Локальная группа Ли, Группа Ли преобразований, Теорема Ли), а в неявной форме несколько раньше в механике. Общей предпосылкой возникновения этого понятия было понятие «инфинитезимального преобразования», восходящее по меньшей мере ко времени возникновения исчисления бесконечно малых. Замкнутость интегралов класса $C_2$ уравнения Гамильтона относительно скобок Пуассона, удовлетворяющих тождеству Якоби, – одно из самых ранних замечаний, выраженное, собственно, на языке алгебры Ли (Шевалле. 1958; Humphreys. 1972). Сам термин «алгебра Ли» был ввёден Г. Вейлем в 1934 г. (до этого времени использовались термины «инфинитезимальные преобразования рассматриваемой группы», или «инфинитезимальная группа»). С течением времени роль алгебры Ли возрастала пропорционально месту, занимаемому группами Ли в математике (особенно в геометрии), а также в классической и квантовой механике. Этим в первую очередь объясняется особое место алгебры Ли среди многих других многообразий универсальных алгебр. В наше время аппарат алгебры Ли воспринимается уже не только как полезное и мощное средство линеаризации теоретико-групповых задач (будь то в теории групп Ли или в значительной мере поглотившей её и чрезвычайно разросшейся теории алгебраических групп, или же в стоящей несколько особняком теории конечных групп); это также источник красивых и трудных задач линейной алгебры.

Имеется несколько естественных источников, доставляющих важнейшие примеры алгебры Ли.

1) В рамках общей алгебры значение алгебры Ли определяется прежде всего тем, что множество $\operatorname{Der}(A)$ всех дифференцирований любой $k$-алгебры является алгебра Ли с операцией$$\left[D_1, D_2\right]=D_1 \circ D_2-D_2 \circ D_1.$$Дифференцирования алгебры Ли $L$ вида$$\operatorname{ad} x: y \longmapsto[x, y], x, y \in L,$$называется внутренними дифференцированиями, или присоединёнными эндоморфизмами. Они образуют в $\operatorname{Der}(L)$ подалгебру $\operatorname{ad}L$, а отображение $x \rightarrow \operatorname{ad}x$ является гомоморфизмом алгебры Ли $L \rightarrow \operatorname{Der}(L)$ (присоединённое представление алгебры Ли $L$); его образ $\operatorname{ad}L$ изоморфен факторалгебре алгебры $L$ по её центру$$Z(L)=\{x \in L \mid[x, y]=0 \forall y \in L\}.$$2) Ещё один существенный источник алгебры Ли связан со следующим простым наблюдением. Если $L$ – ассоциативная алгебра над $k$ с умножением $(x, y) \longmapsto x y$, то умножение в $k$-модуле $L$, задаваемое правилом$$(x, y) \longmapsto[x, y]=x y-y x,$$наделяет $L$ структурой алгебры Ли над $k$. Говорят, что ( $L$, [ , ]) – алгебра Ли, ассоциированная с ассоциативной алгеброй $(L, \cdot)$. Так, классический пример алгебры Ли $(L,[, ])$ получится, если в качестве $(L, \cdot)$ взять (ассоциативную) алгебру $M_n(k)$ всех квадратных матриц порядка $n$ над $k$.

Следующие четыре бесконечные серии подалгебр в алгебре Ли указанного типа называются классическими ($k$ – поле нулевой характеристики):$$A_n=\left\{x \in M_{n+1}(k) \mid \operatorname{tr} x=0\right\},\quad n \geqslant 1;$$$$B_n=\left\{x \in M_{2 n+1}(k) \mid x B+B^t x=0\right\},\quad n \geqslant 2,$$$$B=\left\|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & E_n \\ 0 & -E_n & 0 \end{array}\right\|,\quad E_n=\left\|\begin{array}{ccc} 1&& \\ &\ddots & \\ &&1 \end{array}\right\| \in M_n(k);$$$$C_n=\left\{x \in M_{2 n} \mid x C+C^t x=0\right\}, \quad n \geqslant 3,\quad C=\left\|\begin{array}{cc} 0 & E_n \\ -E_n & 0 \end{array}\right\|;$$$$D_n=\left\{x \in M_{2 n} \mid x D+D^t=0\right\},\quad n \geqslant 4, \quad D=\left\|\begin{array}{ll} 0 & E_n \\ E_n & 0. \end{array}\right\|.$$При этом $\operatorname{dim} A_n=n(n+2)$, $\operatorname{dim} B_n=n(2 n+1)$, $\operatorname{dim} C_n=n(2 n+1)$, $\operatorname{dim} D_n=\operatorname{con}(2 n-1)$.

Если, кроме того, поле $k$ алгебраически замкнуто, то эти алгебры Ли замечательны тем, что ими и ещё пятью особыми алгебрами Ли $G_2$, $F_4$, $E_6$, $E_7$, $E_8$ размерностей $14$, $52$, $78$, $133$ и $248$ соответственно исчерпываются, с точностью до изоморфизма, все простые (т. е. некоммутативные и не содержащие идеалов, отличных от 0 и самой алгебры) конечномерные алгебры Ли над $k$.

3) Еще один источник алгебры Ли – векторные поля на многообразии (см. Годбийон. 1973; Дубровин. 1979). Пусть $F$ – кольцо $C^{\infty}$-гладких функций на $C^{\infty}$-гладком многообразии $M$. Векторное пространство $\operatorname{Vect}(M)$ всех $C^{\infty}$-гладких векторных полей на $M$ образует алгебра Ли относительно операции коммутирования (см. в статье Скобка Ли), играющую важную роль в теории многообразий; алгебра Ли $\operatorname{Vect}(M)$ совпадает с алгеброй Ли $\operatorname{Der}(F)$. Эта алгебра, вообще говоря, бесконечномерна. Если $M$ – группа Ли, то подпространство в $\operatorname{Vect}(M)$, состоящее из всех левоинвариантных векторных полей, является конечномерной подалгеброй и называется алгеброй Ли группы Ли $M$; она играет важную роль в теории групп Ли, позволяя переформулировать многие свойства групп Ли в терминах алгебры Ли. См. также Алгебра Ли алгебраической группы, Алгебра Ли аналитической группы.

Если в приведённом выше примере заменить кольцо $F$ на коммутативную алгебру $\mathscr{O}_n(k)=k\left[\left[X_1, \ldots, X_n\right]\right]$ формальных степенных рядов над полем $k$, то вместо $\operatorname{Vect}(M)$ получается алгебра Ли $W_n$ формальных векторных полей, состоящая из дифференциальных операторов$$D=\sum_{i=1}^n f_i \frac{\partial}{\partial X_i}, \quad f_i \in \mathscr{O}_n(k).$$Подалгебры $S_n \subset W_{n+1}$, $H_n \subset W_{2 n}$, состоящие из дифференцирований, аннулирующих соответственно внешние дифференциальные формы$$\begin{aligned} & \omega=d X_1 \wedge \ldots \wedge d X_{n+1}, \\ & \omega=\sum_{i=1}^n d X_i \wedge d X_{i+n}, \end{aligned}$$a также подалгебра $K_n \subset W_{2 n-1}$ дифференцирований, умножающих форму$$\omega=d X_{2 n-1}+\sum_{i=1}^{n-1}\left(X_i d X_{i+n-1}-X_{i+n-1} d X_i\right)$$на элементы из $\mathscr{O}_n(k)$, вместе с алгеброй $W_n$ составляют важный класс простых бесконечномерных алгебр Ли (алгебры Ли картановского типа). Алгебра $W_n$ называется общей, $S_n$ – специальной, $H_n$ – гамильтоновой, $K_n$ – контактной. Эти алгебры встречались ещё у C. Ли при изучении псевдогрупп преобразований ($k=\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$), а затем исследовались по разным поводам Э. Картаном и др. (см. Кострикин. 1972; Гийемин. 1966; Кац. 1968; Кац. 1974; Кострикин. 1969).

4) Следующая общая конструкция позволяет строить $\mathbb{Z}$-алгебру Ли $L$ по любой группе $G$; она находит применение в теории групп (см. в статье Проблема Бёрнсайда, Кострикин. 1957; Кострикин. 1959; Кострикин. 1970). Пусть$$G=G_1 \supseteq G_2 \supseteq \cdots$$– нижний центральный ряд группы $G$. Тогда $L$ – это прямая сумма аддитивно записанных факторгрупп $G_i / G_{i+1}$, причём, по определению, произведение элементов $\bar{x} \in G_i / G_{i+1}$ и $\bar{y} \in G_j / G_{j+1}$ есть элемент из $G_{i+j} / G_{i+j-1}$, являющийся классом коммутатора элементов $x \in G_i$ и $y \in G_j$, представляющих соответственно $\bar{x}$ и $\bar{y}$. На произвольные элементы из $L$ эта операция распространяется по дистрибутивности. Имеются (Кострикин. 1957; Кострикин. 1959; Кострикин. 1970) некоторые обобщения этой конструкции.

Строение алгебр Ли. Одним из общих результатов, показывающих, в частности, что конструкция 2) имеет в известном смысле универсальный характер, является теорема Биркгофа – Витта, согласно которой для любой алгебры Ли $L$ над полем $k$ существует такая ассоциативная $k$-алгебра $U$, что $L$ изоморфно вкладывается в алгебру Ли $(U,[,])$ , ассоциированную с $U$. Если при этом $L$ конечномерна, то можно считать, что и $U$ конечномерна (см. в статье Универсальная обёртывающая алгебра).

Пусть $L$ – конечномерная алгебра Ли над полем $k$ нулевой характеристики. Тогда $L$ линейна, то есть изоморфна подалгебре некоторой алгебры Ли $M_n(k)$ (теорема Адо). В $L$ имеется наибольший разрешимый идеал $R$, называемый радикалом (см. Разрешимая алгебра Ли). Кроме того, в $L$ существует подалгебра $S$ (называемая подалгеброй Леви) такая, что $L$ – прямая сумма векторных пространств $S$ и $R$, причём любая другая подалгебра с таким свойством переводится в $S$ автоморфизмом алгебры $L$ (теорема Леви – Мальцева). Подалгебра $S$ является полупростой (то есть её радикал равен нулю), и она может быть охарактеризована как максимальная полупростая подалгебра в $L$. Таким образом, $L$ является полупрямой суммой полупростой и разрешимой алгебры Ли, что сводит задачу классификации конечномерных алгебр Ли над полем нулевой характеристики к описанию алгебры Ли этих двух типов. Хотя разрешимые алгебры Ли в некотором смысле «получаются» из тривиально устроенных одномерных (а именно, обладают цепочкой подалгебр $L=L_0 \supset L_1 \supset \dots L_n=0$ таких, что $L_i$ – идеал в $L_{i-1}$ и $L_{i-1} / L_i$ одномерна); строение их настолько сложно, что к настоящему времени (1982) фактически отсутствует даже корректная постановка задачи о классификации разрешимых алгебр Ли. Напротив, конечномерные полупростые алгебры Ли над полем нулевой характеристики допускают полное описание: всякая такая алгебра разлагается в прямую сумму простых идеалов (и обратно, прямая сумма простых алгебр Ли – полупроста). В случае алгебраически замкнутого поля все простые алгебры Ли явно перечислены (см. пункт 2); в случае произвольного поля $k$ имеется процедура их нахождения, с помощью которой в ряде случаев (например, при $k=\mathbb{R}$ ) также найдена явная классификация.

Конечномерные алгебры Ли над полем характеристики $p>0$ исследованы значительно менее полно (даже для алгебраически замкнутых полей). Эти алгебры Ли обладают многими специфическими свойствами. Например, весьма нетривиальным оказался даже вопрос описания полупростых алгебр Ли в терминах простых алгебр (Block. 1969). При любом $p$ существуют параметрические семейства простых алгебр Ли, попарно неизоморфных друг другу. Теория алгебр Ли для этого случая находится в процессе становления, причудливым образом отражая в себе черты двух разных классов комплексных алгебр Ли – конечномерных простых и бесконечномерных транзитивных простых, соответствующих примитивным псевдогруппам Ли (cм. Гийемин. 1966; Кац. 1968; Кац. 1974; Кострикин. 1969).

Изучение бесконечномерных алгебр Ли началось ещё в 19 в. одновременно с изучением конечномерных. Такие алгебры Ли естественно появляются при классификации примитивных псевдогрупп преобразований, предпринятой в 1909 г. Э. Картаном (Cartan. 1909). Эти алгебры обладают фильтрацией, для которой ассоциированная градуированная алгебра Ли имеет вид $\oplus_{i=1}^{\infty} G_i$ и транзитивна. Бесконечномерные градуированные алгебры Ли являются предметом интенсивных исследований, в которых обнаруживаются связи этих алгебр Ли не только с классическими геометрическими вопросами, но и со многими другими областями математики (Гийемин. 1966; Singer. 1965). Важные примеры бесконечномерных алгебр Ли появлялись в последнее время в теории уравнений математической физики (например, для уравнения Кортевега – де Фриза) и в формальном вариационном исчислении (Дубровин. 1979).

Абстрактная теория бесконечномерных алгебр Ли (см., например, Amayo. 1974) находится пока в начальной фазе своего развития. Для построения структурной теории алгебр Ли и для большинства приложений в физике важную роль играет теория представлений алгебры Ли.

См. также Супералгебра, Многообразие алгебр Ли.