Топологи́ческая а́лгебра, 1) универсальная алгебра, являющаяся топологическим пространством, в котором непрерывны все сигнатурные операции.

2) Алгебра (в смысле «операторное кольцо») $A$ над топологическим полем или коммутативным кольцом $R$, являющаяся топологическим пространством, операции сложения и умножения в котором, а также отображение $R\times A\to A$ $((r,a)\mapsto ra)$, непрерывны. Пример топологической алгебры над полем комплексных чисел – банаховы алгебры.

3) Раздел алгебры, который занимается изучением топологических алгебраических систем, т. е. групп, полугрупп, колец, решёток, векторных пространств, модулей и др., наделённых топологиями, в которых рассматриваемые алгебраические операции непрерывны.

Понятие топологической группы возникло в связи с рассмотрением групп непрерывных преобразований. Так, во 2-й половине 19 в. С. Ли и его школа создали развитую теорию важного класса топологических групп – групп дифференцируемых преобразований многообразий в себя, получивших впоследствии название групп Ли. Изучение общих топологических групп началось в 1920-х гг. (Schreier. 1926; Schreier. 1925; Lеja. 1927). С начала 30-х гг. топологические группы, кольца и поля подверглись уже систематическому изучению.

А. Н. Колмогоровым (Kolmogoroff. 1932) был развит аксиоматический подход к исследованию топологических проективных геометрий. Их классификация существенно зависела от описания локально компактных тел. Полное описание связных локально компактных тел было дано в 1932 г. Л. С. Понтрягиным (см. Понтрягин. 2004. Гл. 4).

Многочисленные проблемы анализа привели к общему определению банахова пространства (см. также Бурбаки. 1959), что создало предпосылку для систематического изучения топологических модулей над топологическими кольцами и банаховых алгебр (см. Гельфанд. 1960; Наймарк. 1968).

Основными разделами топологической алгебры являются: топологические группы и их обобщения (в частности, топологические полугруппы и квазигруппы), топологические кольца (в частности, топологические поля и тела) и топологические модули над ними (в частности, топологические векторные пространства), топологические решётки (в частности, топологические проективные плоскости), топологические универсальные алгебры (см. Скорняков. 1954; Бурбаки. 1959; Мальцев. 1976; Арнаутов. 1981; Arhangel’skii. 2008).

В топологической алгебре можно выделить следующие направления исследований: существование топологий в алгебраических системах (группах, кольцах и др.), превращающих их в топологические алгебраические системы с различными свойствами; вопросы продолжения топологий на расширения алгебраических систем и возможности вложения в топологические алгебраические системы определённых классов; свойства топологии топологических алгебраических систем, в частности возможность задания топологий метрикой или нормой; строение различных классов топологических алгебраических систем (включая теорию радикалов топологических алгебраических систем); свободные топологические алгебраические системы; вопросы двойственности топологических алгебраических систем.