Ме́тод тригонометри́ческих сумм, один из общих методов аналитической теории чисел. Две проблемы теории чисел потребовали для своего решения создание метода тригонометрических сумм: проблема распределения дробных долей многочлена и проблема представления натурального числа суммою слагаемых определённого вида (аддитивные проблемы теории чисел).

Пусть $f(x)$ – действительная функция, $x = 1,2\dots, P$, $P\to\infty$; говорят, что дробные доли $f(x)$ распределены равномерно, если при любых $\alpha$ и $\beta$, $0\le\alpha<\beta<1$, число $\sigma$ дробных долей $f(x)$, попадающих на интервал $(\alpha,\beta)$, пропорционально длине этого интервала, т. е.$$\sigma = (\beta-\alpha)P+o(P).$$Пусть теперь $\psi(x)$ – характеристическая функция интервала $(\alpha, \beta)$, т. е.$$\psi(x) = \left\{\begin{aligned} & 1,\quad\text{если}\ \alpha<x<b,\\ & 0,\quad\text{если}\ 0\le x\le\alpha,\quad \beta\le x\le 1.\end{aligned}\right.$$Продолжая $\psi(x)$ периодически на всю прямую, т. е. полагая $\psi(x+1) = \psi(x)$, имеют$$\sigma = \sum_{x=1}^P \psi(f(x)).$$Разлагая $\psi(x)$ в ряд Фурье, находят$$\psi(x) = \sum_{m=-\infty}^{+\infty} c(m) e^{2\pi i m x},\quad c(0) = \beta-\alpha.$$Тем самым$$\sigma = (\beta - \alpha)P +\sum_{m=-\infty,\ m\ne 0}^{+\infty} c(m) \sum_{x=1}^P e^{2\pi i m f(x)}.\tag{1}$$Последнее соотношение, вообще говоря, не верно, т. к. могут быть такие $x$, что $\{f(x)\}=\alpha$ или $\{f(x)\}=\beta$; но числа $\alpha$ и $\beta$ можно заменить близкими $\alpha'$ и $\beta'$ и такими, что при всех $x = 1,2,\dots,P$, $\{f(x)\}\ne\alpha'$, $\{f(x)\}\ne\beta'$; от такой замены точность соотношения практически не изменится и оно станет верным. Точно так же функцию $\psi(x)$ можно так «сгладить» («подправить»), что величина $\sigma$ практически не изменится, а коэффициенты $c(m)$ ряда Фурье будут «быстро» убывать с ростом $m$, т. е. будет «быстро» сходиться ряд$$\sum_{m=-\infty}^{+\infty} |c(m)|.$$Второе слагаемое в равенстве (1) по абсолютной величине не превосходит $\varkappa$,$$\varkappa = \sum_{m=-\infty,\,m\ne 0}^{+\infty} |c(m)| \Big|\sum_{x = 1}^P e^{2\pi i m f(x)}\Big|.$$Если известно, что$$|S| = \Big|\sum_{x=1}^P e^{2\pi i m f(x)}\Big| \le P\Delta,\tag{2}$$где $\Delta = \Delta(P) \to 0$ при $P\to+\infty$, то для $\sigma$ получают$$\sigma = (\beta-\alpha) P +o(P),\quad o(P) = cP\Delta,$$т. е. дробные доли $f(x)$ распределены равномерно. Таким образом, надо уметь оценивать сверху модуль тригонометрической суммы. Так как каждое слагаемое в $S$ по модулю равно $1$, то тривиальная оценка $|S|$ есть $P$, т. е. тривиальная оценка – это число слагаемых суммы $S$. Оценка вида (2) называется нетривиальной, если $\Delta < 1$, а $\Delta$ называется понижающим множителем.

В задаче о дробных долях $f(x)$ за счёт сглаживания $\psi(x)$ можно добиться того, что оценку (2) надо получать для «небольшого» числа значений $m$, например для $m$ из промежутка $0<|m|<({\rm ln}\, P)^A$, $A>0$ – некоторая постоянная.

Такой же подход применяется при выводе асимптотической формулы для суммы$$\sum_{x=1}^P \{f(x)\},$$которая возникает в задачах о числе целых точек в областях на плоскости и в пространстве.

В аддитивных проблемах теории чисел тригонометрические суммы появляются следующим образом.

При целом $m$ справедлива формула$$\int_0^1 e^{2\pi i\alpha m}\, d\alpha = \left\{ \begin{aligned} & 1,\quad\text{если}\ m = 0,\\ & 0,\quad\text{если}\ m\ne 0.\end{aligned}\right.$$Поэтому, если через $I(N)$ обозначить число решений уравнения$$N = u_1 +\dots + u_k,\quad u_\nu\in U_\nu,\quad \nu=1,\dots,k,$$где $U_\nu$ – некоторые подмножества натурального ряда чисел, то$$I(N) = \int_0^1 S_1(\alpha)\dots S_k(\alpha) e^{-2\pi i\alpha N}\,d\alpha,$$где$$S_\nu(\alpha) = \sum_{u_\nu\in U_\nu} e^{-2\pi i\alpha u_\nu},\quad \nu = 1,\dots, k.$$Полагая, в частности, $U_\nu = U = \{ 1^n, 2^n, \dots\}$, получают проблему Варинга; при $k=3$, $U_\nu = U = \{2,3,5,7,11,\dots,p,\dots\}$ – тернарную проблему Гольдбаха и т. д. Как и в задаче о распределении дробных долей, главным вопросом здесь является вопрос об оценке сверху модуля $S_\nu(\alpha)$, т. е. вопрос о верхней грани $|S_\nu(\alpha)|$.

Тем самым широкий круг разнообразных проблем теории чисел формулируется единообразно на языке тригонометрических сумм.

Первая нетривиальная тригонометрическая сумма появилась у К. Ф. Гаусса (1811) в одном из его доказательств закона взаимности квадратичных вычетов:$$S = \sum_{x=1}^P e^{2\pi i F(x)},\quad F(x) = \frac{\alpha x^2}{P},$$и Гаусс точно вычислил значение $S$:$$S = \left\{\begin{aligned} (1+i)\sqrt{P},& \quad \text{если}\ P\equiv 0\ ({\rm mod}\ 4);\\ \sqrt{P},& \quad \text{если}\ P\equiv 1\ ( {\rm mod}\ 4);\\ 0,&\quad \text{если}\ P\equiv 2\ ( {\rm mod}\ 4);\\ i\sqrt{P},& \quad \text{если}\ P\equiv 3\ ( {\rm mod}\ 4).\end{aligned}\right.$$Целый ряд независимых работ с применением тригонометрических сумм появился в начале 20 в.

Г. Вейль (1916), изучая распределение дробных долей многочлена$$f(x) = \alpha_1 x +\dots+\alpha_n x^n$$с действительными коэффициентами $\alpha_1,\dots,\alpha_n$, рассмотрел суммы $S$ с функцией $F(x)$ вида $F(x) = mf(x)$, $m$ – целое число, $m\ne 0$. И. М. Виноградов (1917) при изучении распределения целых точек в областях на плоскости и в пространстве рассмотрел суммы $S$ с функцией $F(x)$, от которой требовалось только, чтобы её 2-я производная удовлетворяла условиям$$\frac{c_1}{A} \le F''(x)\le \frac{c_2}{A},$$где $c_1$, $c_2$ – некоторые абсолютные положительные постоянные, $A = A(P)\to +\infty$ при $P\to +\infty$. Г. Харди и Дж. Литлвуд (1918), получив приближённое функциональное уравнение дзета-функции Римана, рассмотрели сумму $S$ с функцией $F(x)$ вида$$F(x) = t\, {\rm ln}\,x,$$где $t$ – действительный параметр, $t=t(P)$.

Во всех указанных работах требовалось найти возможно лучшую оценку сверху модуля суммы $S$.

Общая схема исследования названных проблем теории чисел методом тригонометрических сумм такова: выписывается точная формула, выражающая число решений изучаемого уравнения или число дробных долей изучаемой функции, попадающих на заданный интервал, или число целых точек в заданной области, в виде интеграла от тригонометрической суммы или в виде ряда, коэффициентами которого являются тригонометрические суммы; точная формула представляется суммою двух слагаемых – главного и дополнительного (например, если рассматривается ряд Фурье характеристической функции интервала, то главный член получается от нулевого коэффициента ряда Фурье); главное слагаемое доставляет главный член асимптотической формулы, дополнительное – остаточный член. В аддитивных задачах, таких как проблема Варинга, проблема Гольдбаха и других, главное слагаемое исследуется методом, близким к круговому методу Харди – Литлвуда – Рамануджана (этот метод называется круговым методом Харди – Литлвуда – Рамануджана в форме тригонометрических сумм Виноградова). В большинстве других задач (распределение дробных долей, целые точки в областях и др.) главный член получается тривиально. Теперь возникает проблема оценки остаточного члена, и если удаётся доказать, что он является величиной меньшего порядка, чем главный, то тем самым и доказывается асимптотическая формула.

Основной задачей при оценке остаточного члена является задача возможно более точных оценок тригонометрических сумм. О методах оценок тригонометрических сумм и оценках см. статьи Тригонометрическая сумма, Метод Виноградова.