Обобщённая фу́нкция, линейный функционал над тем или иным пространством функций, обобщение классического понятия функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих математических и физических задачах. Понятие обобщённой функции, с одной стороны, даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность массы материальной точки, (пространственная) плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т. д. С другой стороны, в понятии обобщённой функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в достаточно малых окрестностях данной точки. Поэтому обобщённые функции являются адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин, в связи с чем обобщённые функции иногда называют распределениями.

Обобщённые функции введены в конце 1920-х гг. П. Дираком в его исследованиях по квантовой механике, где он систематически использовал понятие $δ$-функции и её производных. Основы математической теории обобщённых функций заложены С. Л. Соболевым (1936); он использовал обобщённые функции при решении задачи Коши для гиперболических уравнений. Во 2-й половине 1940-х гг. Л. Шварц дал систематическое изложение теории обобщённых функций. В дальнейшем теория обобщённых функций интенсивно развивалась многими математиками, главным образом в связи с потребностями математической физики и теории дифференциальных уравнений. Теория обобщённых функций имеет многочисленные применения и всё шире входит в обиход физиков, математиков и инженеров.

Формально обобщённые функции определяются как непрерывные линейные функционалы над тем или иным векторным пространством {$φ(x)$} основных функций. Основным пространством функций является, например, совокупность бесконечно дифференцируемых финитных функций, снабжённая надлежащей сходимостью. При этом обычные локально суммируемые функции $f(x)$ отождествляются с функционалами (регулярными обобщёнными функциями) вида

$$\displaystyle(f, φ) =\int^{\infty}_{-\infty} f(x)φ(x)dx. \tag1$$Производная обобщённой функции $f$ определяется как функционал $f'$, задаваемый равенством

$$(f', φ) = -(f, φ').\tag2$$При таком соглашении каждая обобщённая функция бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле). Равенство $(2)$в силу равенства $(1)$ есть не что иное, как обобщение формулы интегрирования по частям для дифференцируемых в обычном смысле функций $f(x)$, так что в этом случае оба понятия производной совпадают.

Сходимость на (линейном) множестве обобщённых функций вводится как слабая сходимость функционалов. Оказывается, что операция дифференцирования обобщённых функций непрерывна, а сходящаяся последовательность обобщённых функций допускает почленное дифференцирование любое число раз.

Вводятся и другие операции над обобщёнными функциями, например свёртка функций, преобразование Фурье, преобразование Лапласа. Теория этих операций приобретает наиболее простую и законченную форму в рамках понятия обобщённых функций, расширяющих возможности классического математического анализа. Поэтому использование обобщённых функций существенно расширяет круг рассматриваемых задач и к тому же приводит к значительным упрощениям, облегчая элементарные операции.

Примером обобщённой функции является $δ$-функция Дирака, определяемая равенством $(δ, φ)=φ(0)$, которая описывает плотность единичной массы (заряда), сосредоточенной в точке $x=0$, а также единичный импульс. Другой пример даёт функция Хевисайда $θ(x)=0, x⩽0;\,\, θ(x)=1, x>0$; производная от неё равна единичному импульсу.