Колеба́ния, движения или поведение системы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Колебания свойственны всем явлениям природы: пульсирует излучение звёзд, внутри которых происходят циклические термоядерные реакции; с высокой степенью периодичности вращаются планеты Солнечной системы (а всякое вращение можно представить себе как два одновременных колебания во взаимно перпендикулярных направлениях); движение Луны вызывает приливы и отливы на Земле; ветры возбуждают колебания и волны на поверхностях водоёмов и т. д. Внутри любого живого организма – от одиночных клеток до их высокоорганизованных популяций – непрерывно происходят разнообразные повторяющиеся процессы (биение сердца, колебания психических состояний и др.). В виде сложнейшей совокупности колебаний частиц и полей (электронов, фотонов, протонов и др.) можно представить «устройство» микромира.

Колебания могут быть регулярными, т. е. строго периодическими, или хаотическими (нерегулярными). Хаотические колебания возможны не только в сложных системах (с большим числом степеней свободы), но и в очень простых, например, в связанных маятниках (см. Связанные системы ).

Различные виды колебаний.Различные виды колебаний.В технике колебания либо выполняют определённые функциональные обязанности (колесо, маятник, колебательный контур, генератор колебаний и др.), либо возникают как неизбежное проявление физических свойств (вибрации машин и сооружений, неустойчивости и вихревые потоки при движении тел в газах и т. п.).

В физике особо выделяются колебания двух видов – механические и электромагнитные, а также их электромеханические комбинации. Это обусловлено той исключительной ролью, которую играют гравитационные и электромагнитные взаимодействия в масштабах, характерных для жизнедеятельности человека. Распространяющиеся колебания (механические, электромагнитные и др.) представляют собой волны. С помощью распространяющихся механических колебаний плотности и давления воздуха, воспринимаемых нами как звук, а также колебаний электрических и магнитных полей, воспринимаемых нами как свет, мы получаем бóльшую часть прямой информации об окружающем мире.

В системах с малой диссипацией энергии колебания физических величин сопровождаются попеременным превращением энергии одного вида в другой. Так, оттягивая маятник (груз на нити) от положения равновесия, мы увеличиваем потенциальную энергию груза, запасённую в поле тяжести. Когда груз отпускаем, он начинает падать, вращаясь около точки подвеса как около центра, и в крайнем нижнем положении вся потенциальная энергия превращается в кинетическую. Поэтому груз проскакивает равновесное положение и процесс перекачки энергии повторяется, пока рассеяние (диссипация) энергии, обусловленное, например, трением, не приведёт к полному прекращению колебаний. В случае колебаний электрических зарядов и токов или электрических и магнитных полей в электромагнитных волнах роль потенциальной энергии обычно играет энергия электрического поля, а кинетической – магнитного поля.

Теория колебаний и волн

Изучение колебаний играло стимулирующую роль в развитии науки. Так, исследования периодических колебаний маятника дали возможность Г. Галилею более точно измерять промежутки времени (1636), изучение законов обращения планет вокруг Солнца привело И. Ньютона к созданию начал классической механики (1686). Дж. Максвелл, следуя идеям М. Фарадея и связав свойства электрических колебаний с волновыми характеристиками света, построил основы классической электродинамики (1864). В результате корпускулярно-волнового рассмотрения материи появилась квантовая механика.

По мере изучения колебаний различной физической природы возникло убеждение о возможности общего, «внепредметного» подхода к ним, основанного на свойствах и закономерностях колебательных процессов вообще. Вследствие этого появилась теория колебаний и волн (называемая часто нелинейной динамикой), которая на основе математических и физических моделей устанавливает общие свойства колебательных и волновых процессов в реальных системах, не рассматривая детали их поведения (обусловленные их природой – физической, химической, и др.), и определяет связь между параметрами системы и её колебательными (волновыми) характеристиками.

Изучение любого динамического явления в каждом конкретном случае начинается с идеализации реальной системы, т. е. с построения модели и составления для неё соответствующих уравнений. Идеализации одних и тех же систем могут быть различными в зависимости от того, какое явление исследуется. Например, для нахождения условий раскачки качелей при периодическом изменении их длины модель может быть совсем простой – линейный осциллятор с периодически меняющейся собственной частотой. Когда же необходимо определить амплитуду установившихся колебаний таких качелей, нужно уже учитывать нелинейность (зависимость частоты колебаний качелей от амплитуды колебаний) и использовать модель физического маятника, т. е. нелинейного осциллятора с периодически изменяемым параметром.

Теория колебаний и волн изучает явления (резонанс, автоколебания, синхронизация, самофокусировка и др.) и модели колебательных систем (линейная и нелинейная системы, система с сосредоточенными или распределёнными параметрами, система с одной или несколькими степенями свободы и др.). На основе сложившихся представлений теории колебаний можно связать те или иные явления в конкретной системе с её характеристиками, фактически не решая задачу всякий раз заново. Например, преобразование энергии одних колебаний в другие в слабонелинейной системе (волны на воде, электромагнитные колебания в ионосфере или колебания маятника на пружинке) возможно, только если выполнены условия резонанса собственных частот подсистемы.

Методы теории колебаний и волн – это методы анализа уравнений, описывающих модели реальных систем. Поэтому большинство из них являются общими с методами теории дифференциальных или разностных уравнений (метод фазового пространства, метод отображений А. Пуанкаре и др.), асимптотическими методами решения дифференциальных и других уравнений (метод Ван дер Поля, метод усреднения и т. д.). Специфика методов теории колебаний и волн состоит в том, что при изучении моделей интересуются общими свойствами решений соответствующих уравнений, которые характеризуют её различные колебательные возможности.

Основные разделы теории колебаний и волн – теория устойчивости линеаризованных систем, теория параметрических систем и адиабатических инвариантов, теория автоколебательных и автоволновых процессов, теория ударных волн и солитонов, кинетика колебаний и волн в системах с большим числом степеней свободы, теория динамического хаоса. Если классическая теория колебаний и волн изучала, как правило, лишь регулярные (периодические) процессы, то во 2-й половине 20 в. усилился интерес к статистическим задачам, связанным с анализом процессов «рождения» хаоса в детерминированных системах. В этой части, а также в части исследования сложных колебательных и волновых структур в неравновесных средах современная теория колебаний и волн пересекается с синергетикой.

Характеристики колебаний

Для простоты рассмотрим колебания, описываемые функцией времени ${u(t)}$, хотя с кинематической точки зрения пространственные и временны́е колебания взаимно сводятся друг к другу при переходе из одной системы отсчёта в другую.

На рисунке приведены диаграммы а – г, демонстрирующие периодические колебания различной формы, в которых любое значение ${u(t)}$ повторяется через одинаковые промежутки времени ${T}$, называемые периодом колебаний, т. е. ${u(t+T)=u(t)}$. Величину, обратную периоду ${T}$ и равную числу колебаний в единицу времени, называют частотой колебаний ${ν=1/T}$; нередко пользуются также круговой, или циклической, частотой ${ω=2πν}$. Обычно частота измеряется в герцах (Гц), что соответствует числу колебаний, совершаемых в 1 с. В случае пространственных колебаний вводят аналогичные понятия пространственного периода (или длины волны $\lambda$) и волнового числа ${\boldsymbol{k}=2π/λ}$.

Разновидностями периодических колебаний являются прямоугольные меандры (рисунок, б), пилообразные колебания (рисунок, в) и наиболее важные синусоидальные (гармонические) колебания (рисунок, г). Последние могут быть записаны в виде:

${u(t)=Asinφ=Asin(ωt+{φ}_{0})},$где ${A}$ – амплитуда, $\varphi$ – фаза, $\varphi_{0}$ – её начальное значение. Для строго гармонических колебаний величины ${A}$, $\omega$ и $\varphi_{0}$ не зависят от времени. Часто используют также комплексную запись синусоидальных колебаний:

${ \tilde{u}(t)=\tilde{A}e^{iωt}=Acos(ωt+φ_{0})+iAsin(ωt+φ_{0})},$в которой комплексная амплитуда $\tilde{A}=Ae^{iφ_{0}}$ объединяет в себе действительные значения амплитуды и фазы колебаний. В частности, для показанного на рисунке, д затухающего колебания $u(t)=\tilde{A}e^{−δt}e^{iωt}$, где декремент затухания $\delta$ можно либо считать мнимой частью частоты $\tilde{ω}=ω+iδ$, либо относить к экспоненциально убывающей амплитуде. При отрицательном значении $\delta$ этот коэффициент называют инкрементом, а соответствующее колебание превращается в экспоненциально растущее (рисунок, е). У колебаний с убывающей амплитудой периодичность нарушается, но при $\delta ≪ \omega$ их всё же можно считать почти периодическими (квазипериодическими), а при $\delta ≫ \omega$ – почти апериодическими, т. е. по существу уже не колебаниями, а монотонными движениями.

Для передачи информации применяются модулированные колебания, амплитуда, фаза или частота которых изменяются по закону кодирования информации; например, в радиовещании высокочастотные колебания модулируются колебаниями звуковых частот, передающими речь и музыку. Наиболее часто используют модулированные колебания вида ${u(t)=A(t)cosφ(t)}$, где амплитуда ${A(t)}$ медленно изменяется в масштабах периода колебаний, а фаза ${φ(t)}$ обладает медленно изменяющейся производной, равной мгновенной частоте колебаний, т. е. ${ω=dφ/dt≫ω^{−1}dω/dt}$. Колебание называется амплитудно-модулированным (рисунок, ж), если ${ω=const}$, ${φ_{0}=const}$. В частности, при синусоидальной модуляции ${A(t)=A_{0}(1+αsin(Ωt))}$ такое колебание есть сумма трёх синусоидальных колебаний с частотами $\omega_{0}$, $\Omega_{+} \omega_{0}$+ω0, $Ω_{−} \omega_{0}$:

$A_{0}(1+αsin(Ωt))cos(ω_{0}t+φ_{0})=\frac{αA_{0}}{2}sin[(Ω+ω_{0})t+φ_{0}]+\frac{αA_{0}}{2}sin[(Ω−ω_{0})t−φ_{0}]++A_{0}cos(ω_{0}t+φ_{0}).$Когда модулирующий сигнал ${A(t)}$ имеет сложный периодический характер, результирующее колебание представляется сплошным набором колебаний всех частот (непрерывный спектр), симметрично сгруппированных около центральной (несущей) частоты $ω_{0}$. При ${A=const}$, ${φ=ω_{0}t+φ(t)}$ колебание называется модулированным по фазе, при ${A=const}$, ${φ= \int ω(t)dt}$ модуляция является частным случаем фазовой. На рисунке, з и рисунке, и приведены колебания, модулированные по амплитуде, частоте и фазе.

При стохастических процессах колебания являются частично и полностью случайными (см. статью Стохастические колебания). На рисунке, к дан пример синусоидальных колебаний, модулированных по амплитуде и фазе случайными функциями; на рисунке, л приведена одна из реализаций совершенно неупорядоченного процесса (белого шума), который лишь условно можно отнести к колебаниям.

В природе и во многих технических устройствах часто возникают движения, почти не отличающиеся (на протяжении больших промежутков времени) от чисто гармонических или равномерно вращательных. Физические приборы, называемые анализаторами спектра, выделяют из произвольных процессов наборы колебаний, близких к гармоническим. Возможна и обратная процедура синтеза гармонических колебаний, математически соответствующая рядам и интегралам Фурье, которая позволяет воссоздать любой временной процесс сложением или интегрированием гармонических колебаний различных частот и амплитуд.

Свободные (собственные) колебания

Свободные колебания являются движением системы, предоставленной самой себе, при отсутствии внешних воздействий. При малых отклонениях от состояния равновесия движения системы удовлетворяют принципу суперпозиции, согласно которому сумма двух произвольных движений также представляет собой допустимое движение системы; такие движения описываются линейными (в частности, дифференциальными) уравнениями. Если система ещё и консервативна (т. е. в ней нет потерь и притока энергии извне), а её параметры не изменяются во времени, то любое собственное колебание может быть однозначно представлено как сумма нормальных колебаний, синусоидально изменяющихся во времени с определёнными собственными частотами. В колебательных системах с сосредоточенными параметрами, состоящих из ${N}$ связанных осцилляторов (например, цепочка из колебательных контуров или из соединённых упругими пружинками шариков), число нормальных колебаний (мод) равно ${N}$. В системах с распределёнными параметрами (струна, мембрана, полый или открытый резонатор) таких колебаний существует бесконечное множество. Например, для струны длиной ${L}$ с закреплёнными концами моды различаются числом полуволн, которые можно уложить на всей длине струны: ${L= \frac{nλ}{2}, (n=0,1,…,∞)}$. Если скорость распространения волн вдоль струны равна ${υ}$, то спектр собственных частот определяется формулой:

$ω_{n}=k_{n}υ=2π/Tn=2πυ/λn=nπυ/L, \quad(n=0,1,…,∞).$Наличие дисперсии волн [зависимости ${υ=υ(ω)}$] искажает это простое эквидистантное распределение частот, спектр которых определяется уже из т. н. дисперсионного уравнения: ${ω_{n}=ω(k_{n})=(nπ/L)υ(ω_{n})}$. В реальных системах собственные колебания затухают из-за потерь, поэтому их можно считать приближённо гармоническими лишь в интервале времени, меньшем ${1/δ}$. Затухающее колебание (рисунок, д) можно представить в виде пакета гармонических колебаний, непрерывно заполняющих интервал частот $ω_{0}±Δω$, тем более узкий, чем меньше ${δ(Δω∼δ)}$. В этом случае говорят об уширении спектральной линии, иногда характеризуя её добротностью ${Q}$, равной отношению запасённой энергии ${W}$ к потерям ${P}$ за период колебаний ${2π/ω}$, т. е. ${Q=ωW/P≈ω/2δ}$. Таким образом, сгущение спектра из-за потерь влечёт за собой превращение дискретного спектра в сплошной, когда ширина линий становится приблизительно равной интервалу между ними, т. е. ${Δω≈(ω_{n+1}−ω_{n})}$.

Собственные колебания нелинейных систем менее доступны для классификации. Нелинейность систем с дискретным спектром собственных частот приводит к «перекачке» энергии колебаний по спектральным компонентам; при этом возникают процессы конкуренции мод – выживание одних и подавление других.

Возбуждение колебаний

Возбуждение колебаний происходит либо путём непосредственного воздействия на состояние колебательной системы (раскачка маятника периодическими толчками, включение периодической ЭДС в колебательный контур и т. п.), либо путём периодического изменения параметров этой системы (длины подвеса маятника, ёмкости или самоиндукции контура, коэффициента упругости струны и т. п.), либо благодаря «самовозбуждению» колебаний, т. е. возникновению колебательных движений внутри самой системы. В первом случае говорят о вынужденных колебаниях, во втором – о параметрическом возбуждении колебаний, в третьем – об автоколебаниях.

Особое значение при возбуждении колебаний имеет явление, состоящее в резком увеличении отклика системы (амплитуды колебаний) при приближении частоты внешнего воздействия к некоторой резонансной частоте, характеризующей систему. Если последняя линейна и параметры её не зависят от времени, то резонансные частоты совпадают с частотами её собственных колебаний и соответствующий отклик тем сильнее, чем выше добротность колебательной системы. Раскачка происходит до тех пор, пока энергия, вносимая извне (например, при каждом отклонении маятника), превышает потери за период осцилляции. Для линейных колебаний энергия, получаемая от источника, пропорциональна первой степени амплитуды, а потери растут пропорционально её квадрату, поэтому баланс энергий всегда достижим.

При бо́льших амплитудах колебания становятся нелинейными, происходят смещение собственных частот системы и обогащение их спектра гармониками и субгармониками. Ограничение амплитуды колебаний может быть обусловлено как нелинейной диссипацией энергии, так и уходом системы из резонанса. При возбуждении колебаний в системах с распределёнными параметрами максимальные амплитуды достигаются в случае пространственно-временнóго резонанса, когда не только частота внешнего воздействия, но и его распределение по координатам хорошо «подогнаны» к структуре нормальной моды или когда наступает совмещение не только их частот (резонанс), но и волновых векторов (синхронизм).

Существует некоторый класс вынужденных колебаний, в котором внешнее воздействие, не являясь чисто колебательным, имеет, однако, настолько богатый частотный спектр, что в нём всегда содержатся резонансные частоты. Например, заряженная частица, пролетающая между двумя плоскостями, возбуждает почти весь набор нормальных волн и колебаний, свойственный этой системе. Сюда же следует отнести излучение Вавилова – Черенкова, или тормозное излучение частицы в однородных средах, когда и спектр внешнего воздействия, и спектр собственных колебаний – сплошные, т. е. в них представлены все возможные частоты. Наконец, есть и совсем аномальный случай вынужденных колебаний в системах с непрерывным спектром собственных частот типа ротатора (маховик, колесо, электрон в магнитном поле и др.), где вращательное движение (а следовательно, два ортогональных колебательных движения) может возбуждаться силами, неизменными во времени.

Параметрическое возбуждение колебаний происходит в результате развития т. н. параметрической неустойчивости, возникающей при периодическом воздействии на те параметры системы, которые определяют величину запасённой колебательной энергии; в электрическом контуре – это индуктивность или ёмкость (но не сопротивление), у маятника – длина нити или масса груза (но не коэффициент трения). Параметрическое возбуждение колебаний проявляется с наибольшей эффективностью при равенстве частоты изменения параметра удвоенной собственной частоте. Сама же система остаётся линейной (см. также статьи Параметрическая колебательная система, Параметрический резонанс).

В нелинейной диссипативной системе при наличии источника энергии (в том числе неколебательной) могут зарождаться и устойчиво существовать автоколебания. Во многих системах процесс формирования автоколебаний состоит в последовательном самосогласовании движений. Пусть начальное состояние системы неустойчиво – либо по отношению к ничтожно малым флуктуациям (мягкий режим возбуждения), либо по отношению к определённым конечным возмущениям (жёсткий режим возбуждения). В любом случае спонтанно (случайно) возникшее колебание начнёт увеличиваться по амплитуде (процесс усиления колебаний). Эти усиленные колебания через элемент положительной обратной связи, обеспечивающий самосогласованность фаз, снова «подаются» вместо своего возникновения и снова усиливаются, и т. д. Получается очень быстрый (чаще всего экспоненциальный) рост колебаний. Ограничение наступает из-за конечности энергетических ресурсов, а иногда и раньше – из-за рассогласованности фаз.

Автоколебательные системы обладают большим разнообразием поведения (периодические, многопериодические, хаотические) и широко представлены как в природе, так и в технике: радиотехнические, акустические, оптические, квантовые (лазеры) генераторы, генераторы с сосредоточенными и распределёнными параметрами, механические автоколебательные системы – часы, ветровые волны на воде, турбулентные процессы в аэро- и гидродинамике, флаттер крыльев самолётов и др. Часто встречаются более сложные автоколебательные системы, где происходит взаимная синхронизация колебаний и волн или хаотизация колебаний: стимуляция сердца, синхронизация мод в лазерах, индуцированные излучатели электромагнитных волн, переход к турбулентности в гидродинамических течениях вязкой жидкости, рождение шума в системах связанных генераторов и т. д.