Тео́рия разме́рности, часть топологии, в которой для каждого компакта, а впоследствии и для более общих классов топологических пространств тем или иным естественным образом определяется числовой топологический инвариант – размерность, совпадающий, если $X$ есть полиэдр (в частности, многообразие), с его числом измерений в смысле элементарной или дифференциальной геометрии. Первое общее определение размерности было дано Л. Брауэром (1913) для компактов и даже более широкого класса полных метрических пространств. Определение строится по индукции следующим образом. Пустому множеству приписывается размерность – $1$. В предположении, что определены пространства, а значит и лежащие в них множества, размерности $\leqslant n$, говорят, что пространство $X$ имеет размерность $\leqslant n+1$, если между любыми двумя дизъюнктными замкнутыми множествами $A$ и $B$ пространства $X$ имеется перегородка $\Phi$ размерности $\leqslant n$ (при этом перегородкой между множествами $A$ и $B$ в пространстве $X$ называется такое замкнутое множество $\Phi$ этого пространства, что дополнение $X\setminus\Phi$ есть сумма двух дизъюнктных открытых множеств $C$ и $D$, из которых одно содержит множество $A$, а другое – множество $B$). В 1921 г. П. С. Урысон и К. Менгер независимо от Л. Брауэра и друг от друга пришли к эквивалентному в случае компактов и даже любых сепарабельных метрических пространств определению, отличающемуся от брауэровского тем, что одно из двух замкнутых множеств $A$, $B$ предполагается состоящим из одной точки. Определения размерности в смысле Брауэра и в смысле Урысона и Менгера могут быть сформулированы для любых хаусдорфовых пространств, и определяемые ими топологические инварианты называются соответственно большой и малой индуктивной размерностями и обозначаются $\mathrm{Ind}X$ и $\mathrm{ind}X$, причём всегда $\mathrm{ind}X\leqslant\mathrm{Ind}X$.

Совершенно иной подход к понятию размерности берёт начало от А. Лебега, высказавшего следующую теорему: $n$-мерный в смысле элементарной геометрии куб $Q^n$ при любом положительном числе $\varepsilon$ может быть покрыт конечным числом замкнутых множеств (даже кубов) диаметра $<\varepsilon$ таким образом, что кратность этого покрытия равна $n+1$, тогда как при достаточно малом $\varepsilon>0$ не существует покрытия куба $Q^n$, которое имеет кратность $<n+1$ и состоит из замкнутых множеств диаметра $<\varepsilon$ (при этом кратностью какой-либо (конечной) совокупности множеств называется наибольшее целое число $m$ такое, что в данной совокупности имеется $m$ множеств с непустым пересечением). Теперь можно теорему Лебега сформулировать так. Число измерений куба $Q^n$ есть наименьшее такое целое число $n$, для которого имеется сколь угодно мелкое (т. е. состоящее из элементов сколь угодно малого диаметра) покрытие кратности $n+1$ замкнутыми множествами. Эта теорема, впервые доказанная лишь Л. Брауэром, приводит к следующему определению. Размерностью $\dim X$ компакта $X$ (определённой посредством покрытий) называется наименьшее число $n$ такое, что при любом $\varepsilon>0$ компакт $X$ имеет покрытие кратности $n+1$, состоящее из замкнутых множеств диаметра $\leqslant\varepsilon$. Не меняя содержания этого определения, можно заменить в его формулировке замкнутые множества открытыми.

При определении размерности компакта $X$ применяется понятие диаметра множества, относящееся к метрике, а не к топологии компакта $X$. Однако доказывается, что определённое так число $\dim X$ тем не менее является топологическим инвариантом компакта $X$, т. е. что два гомеоморфных между собою компакта имеют одну и ту же размерность $\dim X$. Этот факт устанавливается непосредственно, но его легко вывести и из того, что числу $\dim X$ можно дать и непосредственно топологическое определение, опирающееся лишь на топологию компакта $X$.

Покрытием данного топологического пространства называется любая конечная совокупность его открытых множеств, дающих в своей сумме всё это пространство. Покрытие $\alpha^\prime$ мельче покрытия $\alpha$, если $\alpha^\prime$ вписано в $\alpha$, т. е. если каждый элемент покрытия $\alpha^\prime$ является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия $\alpha$. Оказывается, размерность $\dim X$ можно определить так: число $\dim X$ есть наименьшее целое число $n$ такое, что для всякого покрытия пространства $X$ существует вписанное в него покрытие кратности $n+1$. Но это определение, очевидно, может быть сформулировано не только для компактов, а для любых топологических пространств, и позволяет определить для них размерность. Размерность $\dim X$, определённая таким образом для топологических пространств, позволяет построить содержательную и богатую математическими фактами теорию, оставаясь, по крайней мере, в классе нормальных пространств (а значит, в частности, и метризуемых пространств).

Одной из главных проблем теории размерности является выяснение наиболее широких условий, в которых имеет место так называемое основное тождество Урысона, а именно:

$$\mathrm{ind}X=\mathrm{Ind}X=\dim X.$$Оказывается, оно имеет место для всех сепарабельных метризуемых пространств, т. е. для всех нормальных пространств со счётной базой, а также для пространств локально бикомпактных групп (теорема Б. А. Пасынкова). Без предположения сепарабельности для метризуемых пространств можно утверждать лишь справедливость формулы М. Катетова

$$\mathrm{ind}X\leqslant\mathrm{Ind}X = \dim X,$$а для бикомпактов – формулы П. С. Александрова

$$\dim X \leqslant \mathrm{ind}X \leqslant \mathrm{Ind}X,$$причём имеются бикомпакты $X$, для которых

$$\dim X \ne \mathrm{ind}X$$(пример А. Л. Лунца – О. В. Локуциевского), и бикомпакты $X$, для которых

$$\mathrm{ind}X \ne \mathrm{Ind}X$$(пример В. В. Филиппова).

Большое общепознавательное значение имеет следующая теорема Нёбелинга – Понтрягина: необходимое и достаточное условие для того, чтобы топологическое пространство $X$ было гомеоморфно подпространству какого-либо евклидова пространства конечного числа измерений, заключается в том, чтобы $X$ было нормальным пространством конечной размерности, имеющим счётную базу. Это позволяет при изучении конечномерных компактов и вообще конечномерных нормальных пространств со счётной базой рассматривать их как подпространства евклидовых пространств.

В связи с этим приобретает особый интерес так называемая теорема об $\varepsilon$-сдвигах: для того чтобы компакт $X$, лежащий в каком-либо евклидовом пространстве $\R^m$, имел размерность $\dim X\leqslant n$, необходимо и достаточно, чтобы при любом $\varepsilon>0$ этот компакт мог быть превращён в полиэдр размерности $\leqslant n$ посредством $\varepsilon$-сдвига в пространстве $\R^m$ (при этом $\varepsilon$-сдвигом подпространства $X$ в евклидовом пространстве $\R^m$ называется такое непрерывное отображение $f$ этого подпространства $X$ в содержащее его евклидово пространство $\R^m$, при котором расстояние $\rho(x, fx)$ любой точки $x\in X$ от её образа $fx$ меньше числа $\varepsilon$). Интуитивное содержание этой теоремы состоит в том, что всякий компакт данной конечной размерности $n$, рассматриваемый как множество, лежащее в каком-либо евклидовом пространстве $\R^m$, может быть сколь угодно малым непрерывным видоизменением (к чему и сводится его $\varepsilon$-сдвиг) превращён в полиэдр той же, но не меньшей, размерности. Эта теорема так же, как и определение размерности $\dim X$ для компактов, может быть переформулирована в чисто топологических терминах, причём снова «сколь угодно малые» числа $\varepsilon>0$ заменяются «сколь угодно мелкими» покрытиями $\omega$. Это позволяет аналогичную теорему сформулировать для любых нормальных пространств и прийти к заключению, что в некотором (все же наглядном) геометрическом смысле всякое $n$-мерное нормальное пространство «похоже» и даже «сколь угодно мало отличается» от $n$-мерного полиэдра.

Одной из важнейших теорем теории размерности является так называемая теорема о существенных отображениях, лежащая в основе значительной части всей этой теории. Пусть $f$ – непрерывное отображение (нормального) пространства $X$ на $n$-мерный шар $Q^n$ с границей $S^{n-1}$. Пусть $\Phi\subset X$ – прообраз сферы $S^{n-1}$ при этом отображении, $\Phi=f^{-1}S^{n-1}$. Отображение $f : X\to Q^n$ называется существенным, если всякое непрерывное отображение $g : X\to Q^n$, совпадающее с $f$ во всех точках $x\in\Phi$, есть отображение на весь шар $Q^n$. Упомянутая теорема Александрова утверждает, что нормальное пространство $X$ тогда и только тогда имеет размерность $\dim X\geqslant n$, когда пространство $X$ можно существенно отобразить на $n$-мерный шар. Из этой теоремы выводится теорема суммы (доказанная для компактов П. С. Урысоном и К. Менгером ещё в самом начале развития теории размерности): если (нормальное) пространство $X$ размерности $\dim X=n$ является объединением конечного или счётного числа своих замкнутых множеств $\Phi_k$, то по крайней мере для одного из этих $\Phi_k$ имеет место $\dim\Phi_k=n$.

Теорема о существенных отображениях лежит в основе так называемой гомологической теории размерности, позволяющей применить к изучению размерности в весьма общих предположениях методы алгебраической топологии. Понятие гомологической размерности связано с понятиями цикла и гомологии и поэтому предполагает, что наряду с топологическим пространством $X$ дана и некоторая коммутативная группа $\mathfrak{S}$, которая называется группой коэффициентов. Тогда можно говорить о циклах компакта $X$ по этой группе коэффициентов, об их носителях $\Phi\subset X$ и, в частности, о циклах, гомологичных нулю в $X$ по области коэффициентов $\mathfrak{S}$, причём эти понятия можно эквивалентным образом понимать как в смысле теории гомологий Александрова – Чеха, так и в смысле гомологической теории Вьеториса.

После этого можно определить гомологическую размерность компакта $X$ по группе коэффициентов $\mathfrak{S}$ как наибольшее целое число $n$ такое, что в компакте $X$ имеется $(n-1)$-мерный цикл $Z^{n-1}$, гомологичный нулю в $X$, но не гомологичный нулю на некотором своём носителе $\Phi$. Оказывается, что $\dim X$ есть гомологическая размерность по группе $\varkappa$, являющейся факторгруппой группы всех действительных чисел по подгруппе целых чисел, и она является наибольшей среди всех вообще гомологических размерностей.

Если от циклов и гомологии перейти к коциклам и когомологиям, то получится когомологическая размерность, причём когомологическая размерность компакта по данной дискретной группе $\mathfrak{A}$ равна гомологической размерности по бикомпактной группе $\mathfrak{B}$, двойственной группе $\mathfrak{A}$ в смысле теории характеров Понтрягина. Отсюда следует, что размерность $\dim X$ совпадает с когомологической размерностью по группе целых чисел.