За́мкнутое мно́жество в топологическом пространстве $X$, множество $A\subset X$, содержащее все свои предельные точки, т. е. удовлетворяющее условию $A^{\mathrm d}\subset A$ (здесь $A^{\mathrm d}$ обозначает производное множество множества $A$). Равносильное определение: множество $A$ замкнуто, если оно совпадает с множеством своих точек прикосновения, т. е. со своим замыканием: $A=\overline A$.

Примеры замкнутых множеств на прямой $\mathbb R$: отрезок $[a,b]$, множество натуральных чисел $\mathbb N$, множество $\{0\}\cup\{\frac{1}{n} : n\in\mathbb N \}$; на плоскости $\mathbb R^2$: прямоугольник

$$[a,b]\times[c,d]=\{(x,y): a\leqslant x\leqslant b,\ c\leqslant y\leqslant d\},$$круг (вместе с границей) радиуса $r>0$ с центром в точке $(x_0,y_0)$

$$\{(x,y): \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\leqslant r\},$$график произвольной непрерывной функции $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

$$\Gamma(f)=\{(x,f(x)):x\in\mathbb{R}\}.$$Множество $A$ замкнуто в $X$ в том и только в том случае, если его дополнение $X\setminus A$ открыто.

Пустое множество $\varnothing$ и всё пространство $X$ замкнуты; объединение конечного числа и пересечение произвольного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством – эти свойства семейства замкнутых множеств могут быть положены в основу определения топологического пространства в качестве аксиом (см. в статье Топологическое пространство). Один из типичных примеров определения топологии в терминах замкнутых множеств – топология Зариского.

Специальными видами замкнутых множеств являются совершенные множества, канонические замкнутые множества, функционально замкнутые множества, замкнутые Gδ-множества.

Подмножество метрического пространства (и, более общо, топологического пространства с первой аксиомой счётности) замкнуто в том и только в том случае, если вместе с каждой сходящейся последовательностью своих точек (необязательно различных) оно содержит предел этой последовательности. В учебной литературе данное свойство иногда принимается в качестве определения замкнутого множества в метрическом пространстве, вместе с тем в неметризуемых топологических пространствах оно может и не иметь места (ср. понятие секвенциального пространства).

Определение множества, замкнутого (нем. abgeschlossene) в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^n$ (как множества, содержащего своё производное множество), ввёл Г. Кантор (Cantor. 1884. S. 470; рус. пер.: Кантор. 1985. С. 122).

Термин «замкнутое» по отношению к множествам широко применяется в математике и в ином, алгебраическом, смысле, а именно когда говорят о замкнутости подмножества $A\subset X$ относительно некоторых операций на $X$ (одной или нескольких; операции могут быть не всюду определены). Под этим понимается следующее: вместе с каждым набором аргументов операции множество содержит и соответствующий данному набору результат этой операции. Примеры использования такой терминологии:

• множество натуральных чисел, как подмножество множества целых чисел, замкнуто относительно операции сложения, но незамкнуто относительно операции вычитания;

• подгруппа $H$ группы $G$ может быть определена как непустое подмножество $H\subset G$, замкнутое относительно операции произведения и операции перехода к обратному элементу;

• множество всех распределений хи-квадрат на прямой замкнуто относительно операции свёртки.